Биссектриса – определение и обозначение, теоремы

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

что и требовалось доказать.

Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

Тогда справедлива формула:

что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

Доказать, что выполнено равенство:

Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

Поскольку CE – высота, то

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

  • Определение биссектрисы угла треугольника
  • Свойства биссектрисы треугольника
    • Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
    • Свойство 2
    • Свойство 3
    • Свойство 4
    • Свойство 5
  • Пример задачи

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

  • BD – биссектриса угла ABC;
  • α = β.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Читайте также:
Обыкновенные дроби - основное свойство, примеры, действия

  • СD – внешняя биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • α = β.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

  • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
  • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Биссектриса — это луч разрезающий угол пополам, а также отрезок в треугольнике обладающий рядом свойств

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком термине, как БИССЕКТРИСА.

Это понятие широко применяется в геометрии. И каждый школьник в России знакомится с ним уже в 5 классе. А после эта величина часто используется для решения различных задач.

Биссектриса — это.

Биссектриса – это луч, который выходит из вершины треугольника и делит ее ровно на две части.

Также под биссектрисой принято понимать и длину отрезка (что это?), который начинается в вершине треугольника, а заканчивается на противоположной от этой вершины стороне.

Читайте также:
Площадь пирамиды определение, свойства усеченной и правильной фигуры

Есть еще понятие «биссектриса угла», которая является лучом и точно так же делит угол (любой, не обязательно треугольника) пополам:

Само понятие БИССЕКТРИСА пришло к нам из латинского языка. И название это весьма говорящее. Оно состоит из двух слов – «bi» означает «двойное, пара», а «sectio» можно дословно перевести, как «разрезать, поделить».

Вот и получается, что само слово БИССЕКТРИСА – это «разрезание пополам», что собственно и отражается в определении термина, который мы только что привели.

А сейчас задачка на закрепление материала. Посмотрите на эти рисунки и скажите, на каком изображена биссектриса. Подумали? Правильно, на втором.

На первом луч, выходящий из угла АОВ, явно не делит его пополам. На втором это соотношение углов более очевидно, а потому можно предположить, что луч ОД является БИССЕКТРИСОЙ. Хотя, конечно, на сто процентов это утверждать сложно.

Для более точного определения используют специальные инструменты. Например, транспортир. Это такой инструмент в виде полусферы из металла или пластмассы. Вот как он выглядит:

Хотя есть еще вот такие варианты:

Наверняка у каждого такие были в школе. И пользоваться ими весьма просто. Надо только ровненько совместить основание транспортира (прямоугольная линейка) с основанием треугольника, а после на полусфере отметить значение, которое соответствует размеру угла.

И точно по такой же схеме можно поступить наоборот – имея транспортир, начертить угол необходимого размера. Чаще всего – от 0 до 180 градусов. Но на втором рисунке у нас транспортир, который помогает начертить градусы от 0 до 360.

Количество биссектрис в треугольнике

Но вернемся к нашей главной теме. И ответим на вопрос – сколько БИССЕКТРИС есть в треугольнике?

Ответ в общем-то логичен, и он заложен в самом названии нашей геометрической фигуры. Треугольник – три угла. А соответственно, и биссектрис в нем будет тоже три – по одной на каждую вершину.

Снова посмотрим на наши рисунки. В данном случае наглядно видно, что у треугольника АВС (именно так в геометрии обозначается эта фигура – по наименованию ее вершин) три БИССЕКТРИСЫ. Это отрезки AD, BE и CF.

На чертежах БИССЕКТРИСЫ обозначатся следующим образом. Видите одинарные выгнутые черточки между отрезками АС /AL1 и АВ/AL1? Так обозначаются углы. А то, что они оба обозначены одинаковыми черточками, говорит о том, что углы равны. А значит, отрезок AL1 является БИССЕКТРИСОЙ.

То же самое относится и к углам между АВ/DL2 и ВС/BL2. Они обозначены одинаковыми двойными черточками. А значит, отрезок BL2 – биссектриса. А углы АС/CL3 и ВС/CL3 обозначены тройными черточками. Соответственно, это показывает, что отрезок CL3 также является биссектрисой.

Пересечение биссектрис треугольника

Как можно было заметить по приведенным выше рисункам, у биссектрис треугольника есть одно важное свойство. А именно:

Читайте также:
Производная корень из Х формула, функции корня, примеры решений

Биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой инцентром!

Это правило является аксиомой (что это такое?) и не допускает никаких исключений. Другими словами, вот такого быть не может:

Если вы видите такую картину, то перед вами точно не БИССЕКТРИСЫ. Во всяком случае, минимум один отрезок таковой не является. А может и все три.

А есть еще один интересный факт, связанный с пересечением биссектрис треугольника.

Центр пересечения биссектрис в треугольнике является центром окружности, который списан в эту фигуру.

Это свойство биссектрис на самом деле не только выглядит интересно на чертежах. Оно часто помогает в решение сложных задач.

Свойство основания биссектрисы

У каждой БИССЕКТРИСЫ есть основание. Так называют точку пересечения со стороной треугольника. Например, в нашем случае это будет точка К.

И с этим основанием связана одна весьма интересная теорема. Она гласит, что

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону, то есть точкой основания, на два отрезка. И их отношение равно отношению двух прилежащих сторон.

Звучит несколько тяжеловато, но на деле выглядит весьма просто. Отношение отрезков на основании биссектрисы – это ВК/КС. А отношение прилежащих сторон – это АВ/АС. И получается, что в нашем случае теорема выглядит вот так:

Интересно, что для данной теоремы будет справедливо и другое утверждение:

Ну, как часто бывает в математике – это правило работает и в обратном направлении. То есть, если вы знаете длины все сторон и их соотношения равны, то можно сделать вывод, что перед нами БИССЕКТРИСА, А соответственно, будет проще рассчитать размер угла треугольника.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Для начала напомним, что такое равнобедренный треугольник.

Это такой треугольник, у которого две стороны абсолютно равны (то есть имеет равные «бедра»).

Так вот в таком треугольнике БИССЕКТРИСА имеет весьма интересные свойства.

Она одновременно является еще и медианой (что это?), и высотой.

Эти понятия нам также знакомы по школьному курсу. Но если кто забыл, мы обязательно напомним:

  1. Высота – линия, которая выходит из вершины треугольника и опускается на противоположную сторону под прямым углом.
  2. Медиана – линия, которая выходит из вершины треугольника, и делит противоположную сторону на две ровные части.

А в равностороннем треугольнике или как его еще называют правильном (у которого все стороны и все углы равны) все три биссектрисы являются высотами и медианами. И плюс ко всему, их длины равны.

Вот и все, что нужно знать о таком понятии, как БИССЕКТРИСА. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Читайте также:
Возведение дроби в степень - как возвести алгебраическую дробь в степень

Комментарии и отзывы (3)

«Высота – линия, которая выходит из вершины треугольника и опускается на противоположную сторону под прямым углом.

Медиана – линия, которая выходит из вершины треугольника, и делит противоположную сторону на две ровные части.»

Некорректно, линия бывает разная,а речь здесь идет о прямой, или её порождениях: отрезок и луч.

Математика требует точности. Спасибо.

При ознакомлении с таким теоретическим материалом всегда возникает вопрос, как можно использовать знания о биссектрисе в реальной жизни, за пределами учебного заведения.

Необходимость делать уроки с собственным ребенком в счет не идет. Конечно, такая информация повышает общую эрудицию, но не несет никакой практической нагрузки, а потому надолго не задерживается в памяти.

Никогда не был силен в геометрии, но наука эта очень важна, знаю, потому как не раз приходилось подтягивать свои знания для решения практических задач.

Биссектриса угла

Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.

Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.

И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)

Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:

Примеры углов: острый, тупой и прямой

Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $angle AOB$).

Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.

Определение. — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.

Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:

Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла

Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).

Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла

На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:

Теорема. — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.

В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:

  1. Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
  2. И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.
Читайте также:
Теорема Вариньона - определение, формулировка, доказательство

Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:

Определение. — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.

Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $Hin l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.

Графическое представление расстояния от точки до прямой

Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:

Определяем расстояние от точки до сторон угла

Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.

Как и обещал, разобьём доказательство на две части:

1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы

Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:

Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M<_<1>>$ и $M<_<2>>$:

Провели перпендикуляры к сторонам угла

Получили два прямоугольных треугольника: $vartriangle OM<_<1>>$ и $vartriangle OM<_<2>>$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:

  1. $angle MO<_<1>>=angle MO<_<2>>$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);
  2. $angle M<_<1>>O=angle M<_<2>>O=90<>^circ $ по построению;
  3. $angle OM<_<1>>=angle OM<_<2>>=90<>^circ -angle MO<_<1>>$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M<_<2>>=M<_<1>>$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)

2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе

Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:

Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $angle MO<_<1>>=angle MO<_<2>>$.

Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:

Провели луч $OM$ внутри угла

Снова получили два прямоугольных треугольника: $vartriangle OM<_<1>>$ и $vartriangle OM<_<2>>$. Очевидно, что они равны, поскольку:

  1. Гипотенуза $OM$ — общая;
  2. Катеты $M<_<1>>=M<_<2>>$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);
  3. Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_<1>^<2>=OH_<2>^<2>=O<^<2>>-MH_<1>^<2>$.

Следовательно, треугольники $vartriangle OM<_<1>>$ и $vartriangle OM<_<2>>$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $angle MO<_<1>>=angle MO<_<2>>$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.

В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:

Биссектриса разбила угол $angle <_<1>>O<_<2>>$ на два равных

Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)

Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.

Биссектриса угла

Когда-то древние астрономы и математики открыли очень много интересных свойств биссектрисы угла треугольников и других фигур.

Эти знания сильно упростили жизнь людей. Стало легче строить, считать расстояния, даже корректировать стрельбу из пушек…

Нам же знание этих свойств поможет решить некоторые задания ЕГЭ!

Биссектриса угла — коротко о главном

Биссектриса угла — это линия, делящая угол пополам.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Теорема 1. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной в треугольник окружности.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.

Теорема 3. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Теорема 4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Теорема 5. Биссектрисы односторонних углов параллелограмма и трапеции пересекаются под прямым углом.

Теорема 6. Отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, такое же, как и отношение двух сторон, между которыми эта биссектриса прошла.

А теперь подробнее…

Определение биссектрисы угла

Помнишь шутку: «Биссектриса это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам»?

Так вот, настоящее определение биссектрисы угла очень похоже на эту шутку — биссектриса действительно делит пополам угол (а не отрезок, например):

Биссектриса угла – это линия, делящая угол пополам.

Или еще вот такое определение биссектрисы:

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла.

А вот определение биссектрисы треугольника:

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Тебе встретилась в задаче биссектриса? Постарайся применить одно (а иногда можешь и несколько) из следующих потрясающих свойств.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Но представляешь, это ещё не всё. Верна ещё и обратная теорема:

Если в треугольнике биссектриса, проведённая из какого-то угла, совпадает с медианой или с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Мы скоро докажем обе этих теоремы, а пока твердо запомни:

Биссектриса совпадает с высотой и медианой только в равнобедренном треугольнике!

Зачем же это твердо запоминать? Как это может помочь?

А вот представь, что у тебя задача:

Дано: ( AB=5,

Найти: ( displaystyle BC. )

Ты тут же соображаешь, (displaystyle BD ) биссектриса и, о чудо, она разделила сторону ( displaystyle AC ) пополам! (по условию…).

Если ты твердо помнишь, что так бывает только в равнобедренном треугольнике, то делаешь вывод, что AB=BC и значит, пишешь ответ: BC=5.

Здорово, правда? Конечно, не во всех задачах будет так легко, но знание обязательно поможет!

Доказательство теорем о совпадении биссектрисы с медианой и высотой в равнобедренном треугольнике

Почему в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Как это доказать?

Смотри: у ( triangle ABL ) и ( triangle CBL ) равны стороны ( AB ) и ( BC ), сторона ( BL ) у них вообще общая и ( angle 1=angle 2). (( BL ) – биссектриса!)

И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.

Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что ( triangle ABL=triangle CBL ), а значит ( AL )= ( CL ) и ( angle 3=angle 4 ).

( AL ) = ( CL ) – это уже хорошо – значит, ( BL ) оказалась медианой.

А вот что такое ( angle 3=angle 4 )?

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Будет немного сложнее, но пока мы отвлечемся на термины — повторим что такое биссектриса, медиана и высота, чем они похожи и чем они отличаются.

Биссектриса, медиана, высота — определения и отличия

Кстати, а помнишь ли ты все эти термины? Чем они отличаются друг от друга?

Если нет, не страшно. Сейчас разберемся.

  • Основание равнобедренного треугольника – это та сторона, которая не равна никакой другой. Посмотри на рисунок, как ты думаешь, какая это сторона? Правильно – это сторона ( AC. );
  • Медиана – это линия, проведенная из вершины треугольника и делящая противоположную сторону (это снова ( AC ) пополам. Заметь, мы не говорим: «Медиана равнобедренного треугольника». А знаешь почему? Потому что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам в ЛЮБОМ треугольнике.;
  • Высота – это линия, проведенная из вершины и перпендикулярная основанию. Ты заметил? Мы опять говорим о любом треугольнике, а не только о равнобедренном. Высота в ЛЮБОМ треугольнике всегда перпендикулярна основанию.

Чем биссектриса, медиана и высота похожи между собой?

Биссектриса, медиана и высота – все они «выходят» из вершины треугольника и упираются в противоположную сторону и «что-то делают» либо с углом из которого выходят, либо с противоположной стороной.

Чем биссектриса, медиана и высота отличаются между собой?

  • Биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.
  • Медиана делит противоположную сторону пополам.
  • Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне.

Вернемся к нашим баранам — к свойствам биссектрисы…

Угол между биссектрисами любого треугольника

B ( triangle ABC )проведем две биссектрисы ( AO )и ( OC ).

Они пересеклись. Какой же угол получился у точки ( O )?

Давай его посчитаем. Ты помнишь, что сумма углов треугольника равна ( 180<>^circ ) ?

Применим этот потрясающий факт. С одной стороны, из ( triangle ABC ):

( angle A+angle B+angle C=180<>^circ ), то есть ( angle B=180<>^circ text< >-text< >left( angle A+angle C right) ).

Теперь посмотрим на ( triangle AOC ):

( angle 2+angle 6+angle 3=180<>^circ )

Но биссектрисы, биссектрисы же!

Значит ( left( triangle AOC right) )

Вспомним про ( triangle ABC : angle A+angle C=180<>^circ -angle B )

Значит, ( angle 6=180<>^circ -frac<180<>^circ -angle B><2>=90+frac <2>)

Теперь через буквы

Не удивительно ли?

Получилось, что угол между биссектрисами двух углов зависит только от третьего угла!

Ну вот, две биссектрисы мы посмотрели. А что, если их три?! Пересекутся ли они все в одной точке?

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.

Доказательство

Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC) , (O) – точка пересечения (AD) и (BE) .

(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC) , тогда (DEparallel AB) , значит (angle ADE = angle BAD) , (angle BED = angle ABE) , следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников (ABO) и (DOE) : (dfrac = dfrac = dfrac<2><1>) .

Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_ = 0,5cdot ACcdot h) .

Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC) , тогда (AD = DC) .

(S_ = 0,5cdot ADcdot h) ,

(S_ = 0,5cdot DCcdot h) .

Так как (AD = DC) , то (S_ = S_) , что и требовалось доказать.

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC) , где (M) – середина гипотенузы (AC) .

Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD) . Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M) , причем (AM=MC=BM=MD) , чтд.

2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC) , то (angle B=90^circ) .

Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta) .

Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ) , то для (triangle ABC) :

(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ) , чтд.

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac>> = dfrac = dfrac]

В итоге (dfrac = dfrac>> = dfrac) , откуда (dfrac = dfrac) , что и требовалось доказать.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Доказательство

1) Докажем, что если (KA=KB) , то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK) : они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK) , чтд.

2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB) .
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB) , чтд.

Угол. Биссектриса. Виды углов.

теория по математике планиметрия

Угол – геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, которые исходят из этой точки. Лучи – стороны угла, а точка – вершина.

Обозначение углов: можно обозначать тремя заглавными латинскими буквами (в середине записи – буква, которая обозначает вершину угла); можно обозначать одной заглавной латинской буквой; также используется обозначение двумя прописными латинскими буквами.

Рассмотрим обозначение на рисунках, где на рисунке 1 показан угол АОС, на рисунке 2 – угол М, на рисунке 3 – угол (hc).

Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3

Измерение углов. Виды углов

Обычно за единицу измерения углов принимают градус – угол, равный одной стовосьмидесятой части развернутого угла. Эта единица измерения введена до нашей эры много веков назад и используется в наше время.

Число, которое указывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла.

Определенные части градуса носят такие названия, как минута и секунда, где минута – это 1/60 часть угла, а секунда – это 1/60 часть минуты.

Запись и чтение осуществляется следующим образом: 78 0 (78 градусов); 24 0 32 / 45 // — это 24 градуса 32 минуты 45 секунд. Определение

Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.

Также можно сказать, что одна сторона развернутого угла является продолжением другой стороны этого угла. На рисунке показан развернутый угол С. Его величина равна 180 градусам (180 0 ).

Определение

Угол, градусная мера которого равна 90 градусов, называется – прямой.

На рисунке показан угол К, равный 90 0 . Определение Угол, градусная мера которого меньше 90 градусов, называется – острый. На рисунке угол (сm) – острый. Определение Угол, градусная мера которого больше 90 градусов, называется – тупой. На рисунке угол P – тупой.

Биссектриса угла

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины и делящий его на два равных угла. На рисунке показан луч ML, который делит угол KMN пополам, то есть угол KML равен углу LMN.

Смежные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

На рисунке показаны углы ABD и DBC, которые являются смежными, у них сторона BD общая, а стороны АВ и ВС являются продолжениями одна другой.

По рисунку мы видим, что эти два смежных угла образуют развернутый угол. Таким образом, сумма смежных углов равна 180 градусов. Это свойство смежных углов.

Смежные углы

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла. Другими словами, при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.

На рисунке показаны две пары вертикальных углов, это пара углов 1 и 2, а также вторая пара – это 3 и 4.

По рисунку мы видим, что угол 4 смежный с углом 1 и 2. По свойству смежных углов: сумма углов 1 и 4 равна 180 0 , а сумма углов 4 и 2 тоже равна 180 0 . Значит, углы 1 и 2 равны, углы 4 и 3 тоже равны. Таким образом, получим свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: