Функция y=k/х свойства и график, область определения функции, коэффициент

Функция « y = kx » и её график

Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Функция « y = kx » — это первый тип функции, который изучается в математике.

Буквенный множитель « k » в функции « y = kx » называют числовым коэффициентом .

На месте « k » может стоять любое число (положительное, отрицательное или дробь).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » стоит число.

Примеры функций вида « y = kx ».

  • y = 4x
  • y = −1,5x
  • y =
    1
    2

    x

Давайте определим для каждой из функций выше, чему в них равен числовый коэффициент « k » .

Как построить график функции « y = kx »

Графиком функции « y = kx » является прямая .

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательства), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из этой аксиомы, что чтобы построить график функции вида « у = kx » нам будет достаточно найти всего две точки.

Для примера построим график функции « y = −4x ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

x Расчет « y »
y(0) = −4 · 0 = 0
1 y(1) = −4 · 1 = −4

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика
функции « y = −4x ».

Запишем полученные координаты точек « y = −4x » в таблицу.

Точка Координата по оси « Оx » (абсцисса) Координата по оси « Оy » (ордината)
(·)A
(·)B 1 −4

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая и будет являться графиком функции « y = −4x ».

После построения не забудьте подписать график функции.

Как решать задачи на функцию « y = kx »

Построить график функции « y = −1,5x ». Найти по графику:

  1. значение « y » соответствующее значению « x » равному 1; 0; 2; 3 ;
  2. значение « x », если значение « y » равно −3; 4,5; 6 ;
  3. несколько целых значений « x », при которых значения « y » положительны (отрицательны).

Вначале построим график функции « y = −1,5x ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = −1,5x » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка Координата по оси « Оx » Координата по оси « Оy »
(·)A y(0) = −1,5 · 0 = 0
(·)B 1 y(1) = −1,5 · 1 = −1,5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = −1,5x ».

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = −1,5x ».

Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x » равному 1; 0; 2; 3 .

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

  1. провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
  2. из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
  3. полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = −1,5x » необходимые значения функции « y » для « x » равным 1; 0; 2; 3 .

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение « x » Полученное с графика значение « y »
1 −1,5
2 −3
3 −4,5

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение « x », если значение « y » равно −3; 4,5; 6 .

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры
от оси « Oy ».

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение « y » Полученное с графика значение « x »
−3 2
4,5 −3
6 −4

Перейдем к последнему заданию. Нас просят найти несколько целых значений « x », при которых значения « y » положительны (отрицательны).

Для решения этой задачи необходимо внимательно изучить
график функции « y = −1,5x ».

Отметим область на оси « Oy », где значения « y » для графика функции « y = −1,5x » положительны.

Из этой области проведем от графика функции несколько перпендикуляров к оси « Ox » .

Помните, что по заданию, нас просят найти несколько «целых» значений « x ». Поэтому перпендикуляры мы будем проводить к оси « Ox » в целые числовые значения.

Запишем ответ. При x = −2; x = −1 значения y > 0 .

Теперь найдем при каких « x », значения « y » отрицательны. Отметим область на оси « Oy », где значения « y » на графике функции отрицательны.

Проведем перпендикуляры из отмеченной области к оси « Ox » в целые числовые значения « x ».

Запишем ответ. При x = 1; x = 2 значения y .

Рассмотрим другую задачу.

Какие из точек A(5; −3) , D(2; 1) принадлежат графику функции, заданной
формулой « y =

1
2

x »?

Подробный разбор задачи «Как проверить, что точка принадлежит графику функции» мы приводили в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этом уроке мы вспомним только основные моменты решения подобных задач.

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит точка принадлежит графику функции.
  • Если получится не верное равенство, значит точка не принадлежит графику функции.

Функция y=k/x и ее график

Урок 8. Алгебра 8 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока “Функция y=k/x и ее график”

Давайте рассмотрим пример:

Пусть расстояние в 200 км автомобиль со скоростью равной v км/ч преодолеет за время равное t часов. Тогда используя формулу пути, зависимость времени от скорости движения автомобиля при равном расстоянии можно выразить формулой:

Напомню, что такую зависимость называют обратно пропорциональной. Т.к. при увеличении одной величины вторая величина будет уменьшаться.

Вот, например, если автомобиль будет ехать со скоростью 50 км/ч, то на преодоление расстояния в 200 км ему понадобится 4 часа.

А вот, если автомобиль будет ехать со скоростью 100 км/ч, то на преодоление этого же пути, ему понадобится всего лишь 2 часа. Видим, что при увеличении скорости, времени тратится меньше.

Но в этой задаче переменные v и t могут принимать лишь положительные значения, т.к. скорость, время и расстояние это положительные величины.

В дальнейшем мы будем рассматривать функции, задаваемые формулой вида:

Такие функции называют обратными пропорциональностями.

С обратной пропорциональностью мы с вами часто встречаемся в повседневной жизни.

Масса m кг конфет, которую можно купить на 1 000 рублей по цене p рублей за кг. Зависимость массы конфет от стоимости за килограмм является обратно пропорциональной. Или, если есть прямоугольник длина которого a см, а ширина b см с площадью равной 27 см 2 . Такая зависимость также является обратно пропорциональной.

Определение:

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида:

где x – независимая переменная и k – не равное 0 число.

Число k – называют коэффициентом обратной пропорциональности.

В нашем примере

Областью определения функции, заданной формулой вида:

является множество действительных чисел, отличных от нуля, т.к. выражение имеет смысл при любых x, кроме x равное нулю.

Теперь давайте построим график обратной пропорциональности .

Полученный график состоит из двух симметричных относительно начала координат частей. Их обычно называют ветвями. Одна из этих ветвей расположена в первой четверти, вторая – в третьей.

График функции при любом k > 0 имеет такой же вид, что и график функции .

Теперь построим график функции .

Такой же вид имеет график функции при любом k 0 ветви гиперболы лежат в 1-ой и 3-ей четвертях. При k Оцените видеоурок

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — наглядно.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х – 2. Значит:

  • если х = 0, то у = -2;
  • если х = 2, то у = -1;
  • если х = 4, то у = 0;
  • и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х 2 4
y -2 -1

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Функция Коэффициент «k» Коэффициент «b»
y = 2x + 8 k = 2 b = 8
y = −x + 3 k = −1 b = 3
y = 1/8x − 1 k = 1/8 b = −1
y = 0,2x k = 0,2 b = 0

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Свойства линейной функции

  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.
  2. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
  3. График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
  4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  5. Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
    b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
    b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
    b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
    b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
  6. Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
  7. График функции пересекает оси координат:
    ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
    ось ординат OY — в точке (0; b).
  8. x=-b/k — является нулем функции.
  9. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
    Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
  10. Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, – b /k) и положительные значения на промежутке (- b /k, +∞)
    При k b /k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, – b /k).
  11. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
    Если k > 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

  • если k > 0, то график наклонен вправо;
  • если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
  • если b 1 /2x + 3, y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = – 1 /2x + 3, y = -x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x – 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

  • график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
  • график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
  • график функции y = 2x – 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png” style=”height: 600px;”>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png” style=”height: 600px;”>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

  • С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
    Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
  • С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = – b /k.
    Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /k; 0)

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

  • В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
    Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
    Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
    2 = -4(-3) + b
    b = -10
  • Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x – 10
    Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
    Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

  1. Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
    Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
  2. Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
  3. Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
    Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Конспект урока алгебры по теме: “Функция y = k/x, её свойства и график”

Разделы: Математика

Цель:

    ввести понятие функции y=k/x как обратно пропорциональную зависимость, через рассмотрение свойств данной функции и построение графика.

1. Самоопределение учебной деятельности

Цель этапа:

  • включить учащихся в учебную деятельность;
  • определить содержательные рамки урока: продолжить изучать степенную функцию.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Какую главу мы начали изучать на прошлых уроках? (Степенная функция)

– Сегодня мы продолжим работать над этой темой.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа: актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: свойства и графики функций, известных учащимся с 7-го класса;

  • актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;
  • зафиксировать все повторяемые понятия в виде символов;
  • зафиксировать индивидуальные затруднения в деятельности, демонстрирующие на личностно значимом уровне недостаточность имеющих знаний.

    Организация учебного процесса на этапе 2:

    1. Укажите области определения следующих функций: y=x 2 +8, y=1/x-7, y=4x-1/5 y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y= -10/x

    2. На каком рисунке из таблицы (приложение 1) изображен график:

    – линейной функции;
    – прямой пропорциональности;
    – квадратичной функции;
    – функции вида y=kx 3

    3. Какой знак имеет коэффициент k в формулах вида y=kx+b, которым соответствуют графики на рисунке 1, 2, 4, 5 таблицы?

    4. Найдите в таблице графики линейных функций, у которых угловые коэффициенты: равны; равны по модулю и противоположны по знаку.

    5. Как называются следующие функции, заданные формулами: y=kx 2 , y=x 2 , y=kx 2 , y=x 3 , y=kx 3 ,y=kx+b, y=k/x?

    3. Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности

    Цель этапа: организовать коммуникативное воздействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднения в учебной деятельности;
    согласовать цель и тему урока.

    Организация учебного процесса на этапе 3:

    – Почему это задание вызвало затруднение? (Незнакомы с данной функцией).

    – Какова цель урока? (Познакомиться с функцией y=k/x, ее свойствами и графиком.)

    – Записываем число, классная работа и тему урока: “Функция y=k/x, ее свойства и график”.

    4. Построение проекта выхода из затруднения

    Цель этапа:

    • организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
    • зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

    Организация учебного процесса на этапе 4:

    – Работа в группах по алгоритму:

    1. Заполнить таблицу значений x и y для предложенной функции (каждой группе индивидуальное задание: y=5/x, y= -5/x, y=8/x, y= -8/x).
    2. По данным в таблице координатам (x;y) построить на координатной плоскости соответствующие точки.
    3. Ответить на вопросы:

    – какова область определения заданной функции? (x не равно 0);
    – принадлежит ли точка (0;0) графику функции? (Не принадлежит);
    – пересекает ли график функции оси OY и OX? (Не пересекает).
    – соединить точки и получить график целиком;
    – подготовить отчет о проделанной работе.

    – Сравните полученные графики (они симметричны относительно начала координат).

    – Как зависит расположение графика от знака коэффициента k? (Если k>0, то график расположен в I и III координатных углах, а если k

    x – 6 – 4 – 3 – 2 1 2 3 4 6
    y + 1 +1,5 + 2 + 3 – 6 – 3 – 2 – 1,5 – 1

    Постройте график обратной пропорциональности y=16/x, предварительно заполнив таблицу

    x – 8 – 4 – 2 – 1 1 2 4 8
    y

    Постройте таблицу некоторых значений функции y=10/x и ее график.

    – Работы проверяются по эталону. Ошибки исправляются, анализируются, выясняется их причина.

    6. Рефлексия деятельности

    Цель этапа: зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

  • оценить собственную деятельность на уроке;
  • поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;
  • зафиксировать неразрешенные затруднения как направления будущей учебной деятельности;
  • обсудить и записать домашнее задание.

    Организация учебного процесса на этапе 6:

    – Что нового узнали на уроке?

    – Что использовали для “открытия” нового знания?

    – Какие трудности встретили?

    – Что нам помогло справиться с затруднениями?

    Гипербола. График функции и свойства.

    теория по математике функции

    Графиком функции у= k x . . , где k ≠ 0 число, а х – переменная, является кривая, которую называют гиперболой.

    Гипербола имеет две ветви и может располагаться в 1 и 3 координатных четвертях, либо во 2 и 4. Это зависит от знака числа k. Рассмотрим данную кривую на рисунке, где показано ее расположение в зависимости от знака k.

    Свойства гиперболы (у= k x . )

    График функции симметричен относительно начала координат (0;0). Поэтому функцию еще называют – обратная пропорциональность.

    1. Область определения – любое число, кроме нуля.
    2. Область значения – любое число, кроме нуля.
    3. Функция не имеет наибольших или наименьших значений.

    Построение графика функции

    Для построения графика функции необходимо подбирать несколько положительных и несколько отрицательных значений переменной х, затем подставлять их в заданную функцию для вычисления значений у. После этого по найденным координатам построить точки и соединить их плавной линией. Рассмотрим построение графиков на примерах.

    Построить график функции у= 10 x . . .

    Для этого построим две таблицы для положительных и отрицательных значений х. Подбирать желательно такие значения х, чтобы число 10 на них делилось

    х 1 2 4 5 10
    у
    х –1 –2 –4 –5 –10
    у

    Теперь делим на эти числа 10, получим значения у:

    х 1 2 4 5 10
    у 10 5 2,5 2 1
    х –1 –2 –4 –5 –10
    у –10 –5 –2,5 –2 –1

    Выполняем построение точек, они будут располагаться в первой и третьей координатных четвертях, так как число k положительное.

    Теперь для построения гиперболы соединим точки плавной линией. Построить график функции у= − 5 x . . .

    Для этого построим также две таблицы для положительных и отрицательных значений х. Подбирать желательно такие значения х, чтобы число минус 5 на них делилось. Выполняем деление и получаем значения у. При делении обращаем внимание на знаки, чтобы не допускать ошибок.

    х 1 2 5 10
    у –5 –2,5 –1 –0,5
    х –1 –2 –5 –10
    у 5 2,5 1 0,5

    Теперь отмечаем точки во 2 и 4 координатных четвертях (число k отрицательное) и соединяем их для получения ветвей гиперболы.

    Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

    1) y = x²

    Для решения данной задачи необходимо знать вид графиков функций, а именно:

    y = x² — парабола, в общем виде это y = ax²+bx+c, но в нашем случае b = c = 0, а а = 1

    x/2 — прямая, в общем виде график прямой имеет вид y = ax + b, в нашем случае b = 0, а = 1/2

    y = 2/x — гипербола, в общем виде график функции y = a/x + b, в данном примере b = 0, a = 2

    Парабола изображена на рисунке А, гипербола на рисунке Б, а прямая — В.

    pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

    Установите соответствие между функциями и их графиками.

    В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.

    • если уравнение гиперболы положительное (то есть не стоит знак -, как во втором и третьем случае), то график функции лежит в первой и третьей координатной четверти
    • если перед уравнением гиперболы стоит знак — (как в первом случае), то график лежит во второй и четвертой четвертях

    Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.

    Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:

    • чем больше число в знаменателе гиперболы (рядом с x), тем сильнее гипербола жмется к осям координатной плоскости
    • чем больше число в числителе уравнения гиперболы, тем слабее и медленнее график функции прижимается к осям

    Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.

    pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

    Урок “Свойства функции y=k/x, при k меньше 0”

    Краткое описание документа:

    Данный видеоурок по курсу математики познакомит вас со свойствами функции y = k/x, при условии, что значение k будет отрицательным.
    В наших предыдущих видеоуроках вы познакомились с самой функцией y равно k деленное на x, ее графиком, который называется «гипербола», а также свойствами графика при положительном значении k. Данное видео познакомит вас со свойствами коэффициента k при отрицательном его значении, то есть меньше нуля.

    Свойства равенства, при котором y равняется коэффициенту k, деленному на независимую переменную x, при условии, что коэффициент имеет отрицательное значение, представлены в видеоматериале.
    При описании свойств этой функции, прежде всего, опираются на ее геометрическую модель – гиперболу.

    Свойство 1. Область определения функции состоит из всех чисел, однако следует, что x не может равняться 0, потому что на ноль делить нельзя.
    Свойство 2. у больше нуля при условии, что х меньше нуля; и, соответственно, наоборот, у меньше нуля при значении, когда х находится в пределах больше нуля и до бесконечности.
    Свойство 3. Функция возрастает на промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности: (-∞, 0) и (0, +∞).
    Свойство 4. Функция является бесконечной, так как не имеет ограничений ни снизу, ни сверху.
    Свойство 5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет, поскольку она бесконечна.
    Свойство 6. Функция является непрерывной на промежутках от минус бесконечности до нуля (-∞, 0) и от нуля до бесконечности (0, +∞), при этом следует обозначить, что она претерпевает разрыв в том случае, когда х имеет значение ноль.
    Свойство 7. Область значений функций является объединением двух открытых лучей от минус бесконечности до нуля (-∞, 0) и от нуля до плюс бесконечности (0, +∞).

    Далее в видео приводятся примеры. Мы рассмотрим только некоторые из них, остальные рекомендуем посмотреть самостоятельно в предоставленных видеоматериалах.
    Итак, рассмотрим первый пример. Необходимо решить уравнение следующего вида: 4/x = 5-x.
    Для большего удобства разделим решение данного равенства на несколько этапов:
    1) Для начала записываем наше равенство в виде двух отдельных уравнений: y = 4/x и y = 5-x/
    2) Затем, как показано в видео, строим график функции y = 4/x, который является гиперболой.
    3) Далее строим график линейной функции. В данном случае это прямая, которую можно построить по двум точкам. Графики представлены в нашем видеоматериале.
    4) Уже по самому чертежу определяем точки, в которых пересекаются оба наших графика, и гипербола, и прямая. Следует обозначить, что они пересекаются в точках А (1; 4) и В (4; 1). Проверка полученных результатов показывает, что они верны. Данное уравнение может иметь два корня 1 и 4.

    Следующий пример, рассмотренный в видеоуроке, имеет следующее задание: построить и прочитать график функции у = f(x), где f(x) = -x2, в случае если переменная x находится в пределах от больше или равно -2 и до больше или равно 1, и y = -1/x, в случае если x больше единицы.
    Решение проводим в несколько этапов. Сначала строим график функции y = -x2, который называется «парабола», и выделяем ее часть на участке от – 2 до 1. Для просмотра графика обратитесь к видео.

    Следующим этапом является построение гиперболы для равенства y = -1/x, и выделяем ее часть на открытом луче от единицы до бесконечности. Далее производим смещение обоих графиков в одной системе координат. В результате мы получаем график функции у = f(x).
    Далее следует прочитать график функции у = f(x):
    1. Область определения функции – это луч на участке от -2 до +∞.
    2. у равняется нулю в том случае, когда х равняется нулю; у меньше нуля при значении x больше или равно -2 и меньше нуля, а также при x больше нуля.
    3. Функция возрастает на участке от -2 до 0 и на участке от 1 и до бесконечности, график показывает убывание на отрезке от нуля до единицы.
    4. Функция с заданными параметрами является ограниченной как снизу, так и сверху.
    5. Наименьшее значение переменной y равняется – 4 и постигается при значении х на уровне – 2; и также наибольшим значением y является 0, который достигается при значении х равному нулю.
    6. В заданной области определения наша функция является непрерывной.
    7. Область значения функции располагается на отрезке от -4 до 0.
    8. Функция выпукла вверх на отрезке от -2 до 1 и на луче от 1 до бесконечности.
    С оставшимися примерами вы сможете ознакомиться самостоятельно, просмотрев представленное видео.

    Конспект урока по алгебре: «Функция у = k/x, её свойства и график»

    Цели урока : сформулировать определение обратной пропорциональности, её области определения и графика.

    Задачи урока :

    Обучающая: повторить понятие функции, их виды и графики, научить находить значение функции и аргумента по формуле у = k/x , строить график обратной пропорциональности и «читать» его.

    Развивающая: продолжить развитие познавательного интереса к изучению алгебры; развивать умение анализировать, наблюдать, сопоставлять, логически мыслить; продолжить развитие элементов творческой деятельности учащихся, через вовлечение их в работу частично поискового характера, развитие навыков взаимоконтроля и самоконтроля.

    Воспитывающая: воспитание умения слушать и слышать другого, уважение к мнению товарища; воспитание у учащихся таких нравственных качеств, как настойчивость, аккуратность, инициативность, точность, привычка к систематичному труду, самостоятельность, активность; воспитание культуры общения.

    Формы работы: индивидуальная, фронтальная.

    Оборудование: п ерсональный компьютер, мультимедийный проектор, экран, а вторская презентация , к арточки с заданиями, учебник «Алгебра» 8 класс, Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

    Ход урока :

    Организационный момент(1 мин)

    Сегодня на уроке мы с вами повторим основные понятия по теме «Функция», познакомимся с функцией обратной пропорциональности, научимся строить ее график. Дома вы выполняли задания на упрощение выражений. Какие у вас вопросы по домашнему заданию. Если у вас нет вопросов, то давайте поработаем устно.

    II . Устная работа(5 мин)

    1. Проверить устно, правильно ли выполнены действия. Ели нет, скажите верный ответ.

    2. Сократите дробь :

    3. Как называется данная функция, указать ООФ и что представляет собой их график.

    y = 2 x + 3, (Линейная функция, ООФ: х- л.ч., График: прямая)

    y = x 2 , (Квадратичная функция, ООФ: х- л.ч., График: парабола)

    y = x 3. (Кубическая функция, ООФ: х- л.ч., График: кубическая парабола)

    y = 2 x , (Прямая пропорциональность, ООФ: х-л.ч., График: прямая, проходящая через начало координат)

    III . Подготовка к изучению нового материала.(3 мин)

    (Записываем в тетрадь число(14.10.11), классная работа)(Функция у = k/x, ее свойства и график )

    Нам известно, что каждая из данных функций описывает какие- то процессы, происходящие в окружающем нас мире. Давайте рассмотрим следующую задачу:

    Дан прямоугольник со сторонами 2 и x. Как найти площадь данного прямоугольника? ( S =2х). Что будет происходить с площадью, если неизвестную сторону х увеличить в 2 раза? Как называется данная зависимость?(Функция), где х – независимая переменная, а S – зависимая переменная. Как называется данная функция? (Прямая пропорциональность)

    А теперь другая задача: Дан прямоугольник со сторонами x, y и площадью равной 8 кв. единицам. Запишите формулу площади прямоугольника? (Спросить у детей, кто что написал.) (x y=8)

    Если мы с вами увеличим одну сторону в 2 раза, что произойдет с другой стороной, при условии, что площадь останется той же? (Ответ детей)

    А теперь эту сторону уменьшить в два раза?

    Какой же можно сделать вывод?

    Я Вывод: что при увеличении одной переменной в несколько раз вторая переменная уменьшается во столько же раз. И наоборот, при уменьшении одной переменной в несколько раз вторая переменная увеличивается во столько же раз. Выразим переменную у через х. y= 8/x.

    8 – число, заменим его на к . Получим

    Такую зависимость переменных можно назвать обратной пропорциональностью. Как вы думаете, может ли к равняться нулю? (Может, тогда подставим. Получаем у=0, а это есть ось абсцисс) Что такое х? А какие значения она может принимать? А может ли х = нулю. ООФ? А у? (Нет, так как к ≠0 и х ≠0)А что такое у?

    IV. Объяснение нового материала.(10 мин)

    Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задавать формулой вида у = , где х – независимая переменная и k – не равное нулю число.

    Приведите примеры обратно пропорциональной функции. (Записать две-три.) Чтобы было отрицательное число

    Давайте построим графики функции у =6/х и у = – 6/х.

    I вариант будет строить график функции у = 6/х , а II – у = – 6/х.

    Но для начала найдем ООФ. Что такое ООФ?

    (ООФ: х ООФ – множество всех чисел, отличных от нуля)

    Для построения графика нам необходимо заполнить таблицы: по вариантам и нанести полученные точки на координатную плоскость.

    Один ученик из каждого варианта (а остальные в тетрадях) заполняют таблицу значений функции на доске.

    Следующий этап – это построения на координатной плоскости. Наносим получившиеся точки на координатную плоскость. Проверяем!

    Соединяем данные точки плавными линиями.

    – В каких координатных четвертях расположен график?

    – Как вы думаете, отчего зависит расположение графика?

    График не пересекает оси координат, так как ни х, ни у не могут равняться нулю.

    После построения функций у =6/х и у = – 6/х. Мы можем сделать выводы, что

    График не пересекает ни ось абсцисс, ни ось ординат;

    2. График расположен в I и III координатных четвертях если к > 0 (y= 6/x) и во II и IV , если к

    Полученная кривая называется гиперболой (записать в тетрадь). Она состоит из двух ветвей.

    Ученик. Гипербола в переводе с греческого языка дословно означает «прохожу через что-либо» и с течением времени получило второе смысловое значение «преувеличение». Одним из первых, кто начал изучать эту кривую был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм в IV в. до н.э., но так и не сумел её полностью изучить.

    А вот полностью исследовал свойства гиперболы и дал ей название крупнейший геометр древности Аполоний Пергский в III в. до н.э.

    На свойство гиперболы к преувеличению или к преуменьшению обратили внимание поэты и писатели. Так в словаре русского языка Ожегова слово гипербола трактуется как поэтический приём чрезмерного преувеличения с целью усиления впечатления.

    Русский поэт Николай Алексеевич Некрасов тоже любил этот прием и применял его в своих стихах. Например: Пройдёт – словно солнцем осветит: Посмотрит – рублём подарит! … Я видывал, как она косит: Что взмах – то готова копна. )

    После столь лирического отступления давайте проверим на сколько вы усвоили тему.

    Открываем учебник на 41 странице и читаем определение, обратной пропорциональности.

    V. Закрепление материала (13 мин)

    а) х = 2 у = 4 б) у = -4 х = -2

    х = 4 у = 2 у = -2 х = -4

    х = -1 у = – 8 у = 8 х = 1.

    Дополнит. номер (Устно)

    Обратная пропорциональность задана формулой у = .

    Принадлежат ли точки А(3; 5) , В(5; -3), С( ; 20) графику этой функции?

    2) Функция задана формулой у = – . Найти:

    а) значения функции, если значение аргумента равно -3; 6; 0,5;

    б) значение аргумента, при котором значение функции равно 12;

    у = ; х=2, у = 12. (ученик)

    Найти значение к.

    V I . Самостоятельная работа (7 мин)

    А теперь давайте проверим каждый сам себя, на сколько он усвоил принцип построения графика функции обратной пропорциональности у = к/х.

    У вас на столе лежат карточки с заданиями по вариантам.

    Вам нужно заполнить таблицу, построить график соответствующей функции. Проверить, принадлежит ли данная точка графику функции?

    Читайте также:
    Взаимное расположение 2 плоскостей в пространстве
  • Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: