Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин – формула

Уравнение биссектрисы в треугольнике — формула, свойства и решение задач

Треугольник является одной из самых простых фигур, которая часто встречается школьникам в задачах по геометрии. В свою очередь, биссектриса представляет собой важный элемент, характеризующий тот или иной угол. Решение геометрических проблем с участием этих объектов требует наличия определенных знаний. Чтобы уметь составлять по координатам вершин уравнение биссектрисы треугольника, необходимо понимать выражения для прямых линий.

Прямая на плоскости

Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

  • На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.
  • В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.

    Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы:

  • Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.
  • Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.
  • Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.
  • Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.

    Делящая пополам угол линия

    Каждый школьник, который знаком с азами геометрии, знает, что прямая, делящая на две равные части произвольный угол, называется биссектрисой. Этот элемент присутствует для любой фигуры, которая в своем составе содержит какой-либо угол.

    Другое определение биссектрисы гласит, что она представляет собой геометрическое расположение точек, которые равноудалены от соответствующих сторон углового объекта. Например, если имеется угол dac, то любая из точек биссектрисы находится на одинаковом расстоянии как от отрезка da, так и от отрезка ac.

    Способы построения

    В классах общеобразовательных школ рассматривают два основных способа построения биссектрисы. Это следующие:

  • С помощью транспортира. Для этого следует измерить заданный угол в градусах, разделить его пополам. Полученное значение отметить в виде точки. Затем соединить вершину угла и поставленную точку внутри него. Получится искомый элемент.
  • С использованием циркуля и линейки. Эти инструменты еще проще применять для построения биссектрисы, чем транспортир. Сначала необходимо установить в вершину угла ножку циркуля и отметить дугами пересечение окружности со сторонами. Затем, в точки пересечения поставить ножку циркуля и провести две окружности. Соединив две точки их пересечения одной прямой, можно получить биссектрису.
    Читайте также:
    Степени чисел - возведение в степень в алгебре, таблица, правила

    Имеется еще один метод, который позволяет просто начертить изучаемый линейный элемент. Для его использования нужна линейка со шкалой. С помощью нее следует от вершины угла отмерить два одинаковых отрезка любой длины. Затем соединить концы этих отрезкой, получится равнобедренный треугольник.

    В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.

    Основные свойства

    Чтобы найти по координатам вершин длину биссектрисы треугольника, следует знать некоторые свойства этого геометрического объекта. Главным из них является существование двух линий, которые делят пополам исходный угол. Нужно понимать, что угол бывает не только внутренний, но и внешний. По сути, оба типа образуются при пересечении двух прямых. Нетрудно доказать, что биссектрисы каждого из них пересекаются всегда под углом 90 °.

    Еще одним важным свойством является тот факт, что пересекаются в одной точке биссектрисы треугольника. Она представляет собой центр вписанной в фигуру окружности. Чтобы это доказать, следует вспомнить, что каждая точка биссектрисы равноудалена от соответствующих сторон угла.

    Пусть имеется треугольник ABC. У него две биссектрисы пересекаются в точке O. Пусть это будут линии для углов A и B. Расстояние от O до AC должно быть равно таковому от O до AB. С другой стороны, расстояния от O до AB и до BC также одинаковые. Поэтому дистанции от O до BC и до AB также равны, а значит, точка O лежит на биссектрисе угла C и центром вписанной окружности является.

    В треугольнике рассматриваемый геометрический элемент используется часто для решения задач благодаря применению так называемой теоремы биссектрис. Чтобы ее сформулировать максимально простым языком, следует представить, что имеется треугольник произвольного типа ABC. В нем проведена биссектриса AD, где точка D лежит на прямой BC. Тогда справедливо следующее выражение:

    Это равенство не является очевидным, однако, оно было известно еще древнегреческим мыслителям. Эту теорему в несколько иной форме можно встретить в знаменитом труде по геометрии Евклида, который называется «Элементы». Доказательство равенства несложно провести с использованием небольших дополнительных построений и применением признаков подобия треугольников.

    Наконец, отрезок биссектрисы, который заключен между вершиной и противоположной стороной треугольника, имеет определенную длину. Вычислить ее можно с использованием следующего равенства:

    Это равенство прописано для угла A треугольника ABC, в котором противоположная A сторона имеет длину a. Стороны AB и AC имеют длины c и b, соответственно. Буквой p обозначен полупериметр фигуры.

    Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.

    Уравнение биссектрисы треугольника

    Когда известно, как математически записывать выражения для прямых, и что такое биссектриса, и какими свойствами она обладает, можно переходить к непосредственному нахождению ее уравнения.

    Читайте также:
    Теорема Вариньона - определение, формулировка, доказательство

    В общем случае задача решается в результате применения следующей последовательности действий (существуют онлайн-ресурсы, позволяющие решить данную проблему):

  • Сначала требуется определить уравнения двух сторон угла по их координатам. Это легко сделать в векторной форме, а затем, преобразовать ее в выражение общего типа.
  • Далее, необходимо найти уравнение биссектрис первого координатного угла, прировняв расстояния от ее точек до соответствующей стороны. Рабочая формула имеет вид: |A1*x + B1*y + C|/(A1 2 + B1 2 )^0,5 = |A2*x + B2*y + C|/(A2 2 + B2 2 )^0,5. Следует обратить внимание на наличие двух различных решений этого равенства, поскольку в числителе стоит модульное выражение. Два полученных уравнения говорят о наличии взаимно перпендикулярных биссектрис для углов треугольника внутреннего и внешнего.
  • Для внутреннего угла искомое уравнение можно найти, если определить точку пересечения соответствующей прямой с противоположной исходному углу стороной треугольника. Та точка, сумма расстояний от которой до концов отрезка будет равна длине стороны, принадлежит искомой биссектрисе.

    Пример решения задачи

    Пусть, треугольник задан координатами A (1, -1), B (0, -2), C (3,0). Следует уравнение биссектрисы найти для угла B и ее длину вычислить.

    Сначала нужно написать уравнения прямых для сторон AB и CB, получается:

    • AB: (x, y) = (1, -1) + α*(-1, -1) ==> y — x + 2 = 0;
    • CB: (x, y) = (3, 0) + α*(-3, -2) ==> 3*y — 2*x + 6 = 0.

    Составить уравнения биссектрис можно так:

    | y — x + 2 |/(2)^0,5 = | 3*y — 2*x + 6 |/(13)^0,5.

    Решение этого уравнения приводит к следующим двум выражениям для взаимно перпендикулярных биссектрис:

    • y*(6−3*3 0,5 ) + x*(3*3 0,5 −4)+12−6*3 0,5 = 0;
    • y*(3*3 0,5 +6) -x*(4+3*3 0,5 )+12+6*3 0,5 = 0.

    Чтобы определить, какая из двух прямых является искомой для треугольника заданного, следует точку пересечения каждой из них со стороной AC найти. Уравнение для AC имеет вид:

    Подставляя его в каждое из выражений для биссектрис, можно получить две точки пересечения:

    • D1 = (-0,2515;-1,6258);
    • D2 = (1,556;-0,722).

    При этом длина основания AC составляет 2,236 единицы через единичный вектор. Расстояние от точек D1 и D2 до A, C равно:

    • D1A = 1,4; D1C = 3,635;
    • D2A = 0,621; D2C = 1,614.

    Видно, что точка пересечения второй прямой D2 лежит между A и C, поэтому соответствующее ей уравнение биссектрисы является ответом на задачу. Ее длину можно вычислить по формуле для модуля вектора BD2:

    BD2 = 2,014 единицы.

    Таким образом, для определения в треугольнике биссектрисы уравнения по координатам следует уметь находить векторную форму выражений для прямой по координатам двух точек. Также нужно знать свойства делящей пополам угол линии.

    Биссектриса треугольника онлайн

    С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.

    Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).

    Читайте также:
    Старинные меры длины 📏 названия и единицы измерения, перевод

    Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.

    Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).

    Любой треугольник имеет три биссектрисы.

    Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

    Доказательство. Проведем биссектрисы AA1, BB1 и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC1 (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).

    Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).

    Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.

    Длина биссектрисы треугольника

    Рассмотрим треугольник на Рис.5.

    Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

    где p − полупериметр треугольника ABC, ( small gamma -) угол между биссектрисой ( small l_c) и вершиной ( small h_c:)

    ,

    Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

    (1)

    А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если lc является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

    (2)

    Поскольку то (2) можно переписать так:

    (3)

    Найдем x из (3):

    (4)
    (5)

    Подставим (4) и (5) в (1):

    . (6)
    .

    Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

    ,
    . (7)
    . (8)

    Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

    . (9)

    Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

    .
    . (10)

    Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

    ,
    ,
    .

    Учитывая, что , получим:

    .
    . (11)

    Для ( small sin C ) применим формулу синуса двойного угла:

    . (12)

    Подставляя (12) в (11) получим:

    .
    . (13)

    Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

    .
    .

    Остается показать, что .

    Поскольку биссектриса lc делит угол C пополам, то:

    Биссектриса треугольника

    Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

    Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

    Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

    На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

    Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

    Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

    Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

    Читайте также:
    Производная сложной функции - теорема, примеры вычислений

    Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

    что и требовалось доказать.

    Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

    b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

    что и требовалось доказать.

    Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

    Тогда справедлива формула:

    что и требовалось доказать.

    Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

    Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

    Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

    Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

    что и требовалось доказать.

    Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

    откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

    что и требовалось доказать.

    Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

    Доказать, что выполнено равенство:

    Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

    Поскольку CE – высота, то

    что и требовалось доказать.

    Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

    Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

    9. Аналитическая геометрия на плоскости

    9.1. Прямая на плоскости

    Рассмотрим различные случаи задания прямой L на плоскости.

    1. Если задан ненулевой направляющий вектор и радиус-вектор некоторой фиксированной точкито в этом случае радиус-векторпроизвольной точкизадается формулой

    (9.1)

    где

    Уравнение (9.1) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.

    2. Если – координаты точкикоторая лежит на прямойL, (l, m) – координаты направляющего вектора то прямая задаетсяпараметрическими уравнениями:

    3. Если – направляющий вектор, такой, чтои– точка, через которую проходит прямая, то имеемканоническое уравнение:

    (9.2)

    4. Если прямая L не параллельна оси Ox, то для всех направляющих векторов отношение По заданному угловому коэффициентуk прямой L и точке уравнение прямойL может быть задано в следующем виде:

    – это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М.

    В случае, если – точка пересечения прямойL с осью Oy, это уравнение может быть записано в следующем виде:

    5. Координаты направляющего вектора прямойL могут быть найдены, если известны две точки иэтой прямой: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

    (9.3)

    6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M(a, 0) и M1(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:

    7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан ненулевой нормальный вектор этой прямой и точкаУсловие перпендикулярности векторовпозволяет перейти к векторному уравнению

    и затем к его координатной форме:

    или

    (9.4)

    где

    Уравнение (9.4) называется общим уравнением прямой L.

    8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор направленный из начала координат в сторону прямой, т. е.

    то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:

    где – расстояние от начала координат до прямой.

    Величина δ(M, L) = xcos α + ycos βp, где называется отклонением точки М от прямой L. При этом δ 0 – если по разные. Расстояние d(M, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.

    Читайте также:
    Параллелепипед определение, свойства, виды, формулы расчета площади

    От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель:

    где

    Расстояние от точки M(x, y) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле

    (9.5)

    Угол между прямыми легко найти с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле

    где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых.

    При этом возможны частные случаи:

    Здесь L1 и L2 – прямые на плоскости, для которых – угловые коэффициенты соответственно прямыхи

    В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид

    ρcos(φφ) = p,

    где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ – угол между полярной осью и перпендикуляром.

    Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A(1, 2), B(–1, –3), C(2, –1). Найти:

    1) уравнение прямой BC;

    2) уравнение высоты AH и ее длину;

    3) уравнение медианы BM;

    4) угол между прямыми BM и AH;

    5) уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине А.

    Решение. 1) Для составления уравнения прямой BC воспользуемся заданными координатами точек B, C и уравнением прямой (9.3), проходящей через две заданные точки. Так как B(–1, –3), C(2, –1), имеем:

    Последнее уравнение приведем к общему уравнению, использовав основное свойство пропорции:

    2(x + 1) = 3(y + 3) или 2x – 3y – 7 = 0.

    Таким образом, окончательно получаем:

    ВС: 2x – 3y – 7 = 0.

    2) Для построения уравнения высоты АН воспользуемся условием перпендикулярности прямых AH и ВС: нормальным вектором прямой ВС является , т. е.Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямойАН. Следовательно, каноническое уравнение прямой AH согласно формуле (9.2) имеет вид:

    (9.6)

    где А(1, 2)АН.

    В общем виде получим АН: 3х + 2у – 7 = 0.

    Чтобы найти длину высотыАВС, опущенной из вершины А, воспользуемся формулой расстояния (9.5):

    3) Для составления уравнения медианы ВМ найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка AC:

    Получим M(3/2, 1/2). Запишем уравнение прямой BM по двум известным точкам B(–1, –3) и используя формулу (9.3):

    Приведя его к общему уравнению, получим:

    ВМ: 7x – 5y – 8 = 0.

    4) Угол φ между прямыми BM и AH найдем, используя угол между их нормальными векторами:

    Получаем

    5) Пусть точка M(x, y) лежит на биссектрисе угла BАС. Тогда по свойству биссектрисы d(M, AB) = d(M, AC). Запишем уравнения прямых АВ и АС. Имеем:

    т. е.

    Используем формулу расстояния (9.5):

    По основному свойству пропорции и свойству модуля имеем:

    Итак, получили две биссектрисы (внутреннего и внешнего углов при вершине А):

    Пример 2. Даны две точки A(–3, 8) и B(2, 2). На оси Ox найти такую точку M, сумма расстояний от которой до двух заданных точек была бы наименьшей.

    Решение. Воспользуемся утверждением, смысл которого состоит в следующем: наименьший путь между двумя точками достигается в случае движения по прямой. Тогда задача будет заключаться в поиске точки пересечения прямой AB (рис. 9.1) с осью Ox, где B – точка, симметричная точке В относительно оси Ox (или в нахождении точки пересечения прямой AB с осью Ox, где A – точка, симметричная точке А относительно оси Ox).

    Читайте также:
    Коллинеарные векторы - определение, свойства, обозначения

    Точки B(2, –2) и A(–3, 8) определяют прямую AB:

    т. е. или

    Значит, для нахождения координат искомой точки М осталось решить систему уравнений:

    Итак, точка М(1, 0) является искомой.

    Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

    В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

    • Определение биссектрисы угла треугольника
    • Свойства биссектрисы треугольника
      • Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
      • Свойство 2
      • Свойство 3
      • Свойство 4
      • Свойство 5
    • Пример задачи

    Определение биссектрисы угла треугольника

    Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

    Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

    • BD – биссектриса угла ABC;
    • α = β.

    Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

    Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

    • СD – внешняя биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
    • α = β.

    Свойства биссектрисы треугольника

    Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

    Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

    Свойство 2

    Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

    Свойство 3

    Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

    Свойство 4

    Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

    BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

    Свойство 5

    Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

    • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
    • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
    • DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

    Пример задачи

    Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

    Решение
    Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

    Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
    BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
    Следовательно, BC = 10 см.

    Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

    Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
    8a = 60 – 6a
    14a = 60
    a ≈ 4,29

    Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

    Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
    AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

    Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин – формула

    Задача 1. Дан треугольник АВС: А(2,1), В(-1,3), С(-4,1). Найти:

    Читайте также:
    Координатная плоскость - правила построения, обозначения

    уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.

    Решение . Сделаем чертеж.

    Y

    C 1 A

    1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

    .

    Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:

    .

    2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:

    .

    Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.

    .

    3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k BC =2/3. Из условия перпендикулярности k AD =-1/ k BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

    .

    4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.

    Точка Е (1 /2,2).

    5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k BC =2/3, k AB =-2/3.

    6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде

    AB : 2 x + 3 y = 7 ,

    BC : 2 x – 3 y =- 11 ,

    Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.

    2 x – 3 y =- 2-6=-8>-11,

    Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид

    Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку .

    Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . Так как гипербола проходит через точку А (8; ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. . Так, как = 1,25, то = 1,25, но , тогда = 1,5625 или .

    Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .

    Решая эту систему, находим = 16 и = 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

    Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы и центр окружности .

    Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.

    Уравнение параболы: ;

    уравнение окружности: .

    Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).

    Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле

    .

    Получим , или .

    Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин ℹ️ формула нахождения длины отрезка, способы и правила построения, свойства, решение задач

    Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:
    На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.

    1. Прямая на плоскости
    2. Глава 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
    3. Продолжение следует…
    4. Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность
    5. Делящая пополам угол линия
    6. Способы построения
    7. Основные свойства
    8. (✿◠‿◠)
    9. Уравнение биссектрисы треугольника

    Прямая на плоскости

    Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:

    1. На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.
    2. В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.
    Читайте также:
    Смежные углы определение, виды, признаки подобия, основные свойства

    Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы:

    1. Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.
    2. Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.
    3. Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.
    4. Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.

    Глава 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

    екартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке.

    Точка пересечения осей называется началом координат, Р° сами РѕСЃРё – координатными РѕСЃСЏРјРё. Первая РёР· координатных осей называется РѕСЃСЊСЋ абсцисс, вторая – РѕСЃСЊСЋ ординат.

    Начало координат обозначается Р±СѓРєРІРѕР№ Рћ, РѕСЃСЊ абсцисс – символом РћС…, РѕСЃСЊ ординат – символом РћСѓ .

    Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа

    ,

    ( СЃРј. СЂРёСЃ. 1), РіРґРµ Рё суть проекции точки Рњ РЅР° РѕСЃРё РћС… Рё РћСѓ, обозначает величину отрезка РѕСЃРё абсцисс, – величину отрезка РѕСЃРё ординат. Число С… называется абсциссой точки Рњ, число Сѓ – ординатой этой же точки. РЎРёРјРІРѕР» Рњ(С…; Сѓ) обозначает, что точка Рњ имеет абсциссой число С…, Р° ординатой число Сѓ.

    РћСЃСЊ РћСѓ разделяет РІСЃСЋ плоскость РЅР° РґРІРµ полуплоскости; та РёР· РЅРёС…, которая расположена РІ положительном направлении РѕСЃРё РћС…, называется правой, другая – левой. Точно так же РѕСЃСЊ РћСѓ разделяет плоскость РЅР° РґРІРµ полуплоскости; та РёР· РЅРёС…, которая расположена РІ положительном направлении РѕСЃРё РћСѓ, называется верхней, другая нижней.

    РћР±Рµ координатные РѕСЃРё вместе разделяют плоскость РЅР° четыре четверти, которые нумеруют РїРѕ следующему правилу: первой координатной четвертью называется та, которая лежит одновременно РІ правой Рё РІ верхней полуплоскости, второй – лежащая РІ левой Рё РІ верхней полуплоскости, третьей – лежащая РІ левой Рё РІ нижней полуплоскости, четвертой – лежащая РІ правой Рё РІ нижней полуплоскости.

    17
    Читайте также:
    Четырехугольник является параллелограммом - доказательство

    Построить точки А(2; 3), В(-5; 1), С(-2; -3), D(0, 3); E(-5; 0), F(-1/3; 2/3). 18 Найти координаты проекций на ось абсцисс точек А (2; 3), B(3; -1), C(-5; 1), D(-3; 2), E(-5; -1). 19 Найти координаты проекция на ось ординат точек А(-3; 2), B(-5; 1), C(3; -2), D(-1; 1), E(-6; -2). 20 Найти координаты точек, симметричных отосительно оси Ох точкам: 20.1 А(2; 3); 20.2 B(-3; 2); 20.3 C(-1; -1); 20.4 D(-3; -5); 20.5 E(-4; -6); 20.6 F(a, b); 21 Найти координаты точек, симметричных относитель оси Оу точкам: 21.1 A(-1; 2); 21.2 B(3; -1); 21.3 C(-2; -2); 21.4 D(-2; 5); 21.5 E(3; -5); 21.6 F(a; b); 22 Найти координаты точек симметричных относительно начала координат точкам: 22.1 A(3; 3); 22.2 B(2; -4); 22.3 C(-2; 1); 22.4 D(5; -3); 22.5 E(-5; -4); 22.6 F(a; b); 23 Найти координаты точек, симметричных относительно начала координат точкам: 23.1 A(2; 3); 23.2 B(5; -2); 23.3 C(C(-3; 4); 24 Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы второго координатного угла точкам: 24.1 A(3; 5); 24.2 B(-4; 3); 24.3 C(7; -2); 25 Определить, в каких четвертях может быть расположена точка М(x; y), если: 25.1 xy>0; 25.2 xy 25.3 x-y=0; 25.4 x+y=0; 25.5 x+y>0; 25.6 x+y 25.7 x-y>0; 25.8 x-y

    Продолжение следует…

    Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

    Делящая пополам угол линия

    Каждый школьник, который знаком с азами геометрии, знает, что прямая, делящая на две равные части произвольный угол, называется биссектрисой. Этот элемент присутствует для любой фигуры, которая в своем составе содержит какой-либо угол.

    Другое определение биссектрисы гласит, что она представляет собой геометрическое расположение точек, которые равноудалены от соответствующих сторон углового объекта. Например, если имеется угол dac, то любая из точек биссектрисы находится на одинаковом расстоянии как от отрезка da, так и от отрезка ac.

    Способы построения

    В классах общеобразовательных школ рассматривают два основных способа построения биссектрисы. Это следующие:

    1. С помощью транспортира. Для этого следует измерить заданный угол в градусах, разделить его пополам. Полученное значение отметить в виде точки. Затем соединить вершину угла и поставленную точку внутри него. Получится искомый элемент.
    2. С использованием циркуля и линейки. Эти инструменты еще проще применять для построения биссектрисы, чем транспортир. Сначала необходимо установить в вершину угла ножку циркуля и отметить дугами пересечение окружности со сторонами. Затем, в точки пересечения поставить ножку циркуля и провести две окружности. Соединив две точки их пересечения одной прямой, можно получить биссектрису.

    Имеется еще один метод, который позволяет просто начертить изучаемый линейный элемент. Для его использования нужна линейка со шкалой. С помощью нее следует от вершины угла отмерить два одинаковых отрезка любой длины. Затем соединить концы этих отрезкой, получится равнобедренный треугольник.

    В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.

    Основные свойства

    Чтобы найти по координатам вершин длину биссектрисы треугольника, следует знать некоторые свойства этого геометрического объекта. Главным из них является существование двух линий, которые делят пополам исходный угол. Нужно понимать, что угол бывает не только внутренний, но и внешний. По сути, оба типа образуются при пересечении двух прямых. Нетрудно доказать, что биссектрисы каждого из них пересекаются всегда под углом 90 °.

    Читайте также:
    Координатная плоскость - правила построения, обозначения

    Еще одним важным свойством является тот факт, что пересекаются в одной точке биссектрисы треугольника. Она представляет собой центр вписанной в фигуру окружности. Чтобы это доказать, следует вспомнить, что каждая точка биссектрисы равноудалена от соответствующих сторон угла.

    Пусть имеется треугольник ABC. У него две биссектрисы пересекаются в точке O. Пусть это будут линии для углов A и B. Расстояние от O до AC должно быть равно таковому от O до AB. С другой стороны, расстояния от O до AB и до BC также одинаковые. Поэтому дистанции от O до BC и до AB также равны, а значит, точка O лежит на биссектрисе угла C и центром вписанной окружности является.

    В треугольнике рассматриваемый геометрический элемент используется часто для решения задач благодаря применению так называемой теоремы биссектрис. Чтобы ее сформулировать максимально простым языком, следует представить, что имеется треугольник произвольного типа ABC. В нем проведена биссектриса AD, где точка D лежит на прямой BC. Тогда справедливо следующее выражение:

    Это равенство не является очевидным, однако, оно было известно еще древнегреческим мыслителям. Эту теорему в несколько иной форме можно встретить в знаменитом труде по геометрии Евклида, который называется «Элементы». Доказательство равенства несложно провести с использованием небольших дополнительных построений и применением признаков подобия треугольников.

    Наконец, отрезок биссектрисы, который заключен между вершиной и противоположной стороной треугольника, имеет определенную длину. Вычислить ее можно с использованием следующего равенства:

    Это равенство прописано для угла A треугольника ABC, в котором противоположная A сторона имеет длину a. Стороны AB и AC имеют длины c и b, соответственно. Буквой p обозначен полупериметр фигуры.

    Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.

    Отрезки в треугольнике (биссектриса, медиана, высота, средняя линия). ОГЭ. Задание 15

    Уравнение биссектрисы треугольника

    Когда известно, как математически записывать выражения для прямых, и что такое биссектриса, и какими свойствами она обладает, можно переходить к непосредственному нахождению ее уравнения.

    В общем случае задача решается в результате применения следующей последовательности действий (существуют онлайн-ресурсы, позволяющие решить данную проблему):

  • Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: