Параллелепипед определение, свойства, виды, формулы расчета площади

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA1, ВB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

  • основание;
  • грани;
  • ребра;
  • диагонали;
  • диагонали граней;
  • высота.

Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

  1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
  2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  3. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
  4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

  1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
  2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
  3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
  4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
  5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

  • Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
    Sб = Ро*h
    Ро — периметр основания
    h — высота
  • Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
    Sп = Sб+2Sо
    Sо — площадь основания
  • Объем прямого параллелепипеда
    V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

  1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
  2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
  3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
  7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

  • Объем прямоугольного параллелепипеда
    V = a · b · h
    a — длина, b — ширина, h — высота
  • Площадь боковой поверхности
    Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
    Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
  • Площадь поверхности
    Sп.п = 2(ab+bc+ac)
Читайте также:
Алгебра как наука - происхождение, основы, понятия и правила

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

У нас есть отличные дополнительные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся!

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

  1. В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
  2. Противолежащие грани параллельны друг другу.
  3. Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
  4. У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
  5. Диагонали куба равны.
  6. Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
  7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

  • Объем куба через длину ребра a
    V = a3
  • Площадь поверхности куба
    S = 6a2
  • Периметр куба
    P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a – длина, b – ширина, c – высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) – сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) – суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) – сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) – сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X – сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Нужно найти длину ребра A1B1.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.

По теореме Пифагора:
BD1 2 = DD1 2 + BD 2
BD 2 = BD1 2 – DD1 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 – AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A1B1 = AB.

Читайте также:
Числа Фибоначчи: история, определение, золотое сечение, комбинаторика

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

AB = 4
AD = 6
AA1= 5
Нужно найти отрезок BD1.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD1 2 = 52 + 25 = 77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Вычислите длину ребра AA1.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

  • прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
  • параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
  • основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
  • три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
  • диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Определения параллелепипеда. Основные свойства и формулы

Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

  • прямой;
  • наклонный;
  • прямоугольный.

Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

Свойства параллелепипеда

Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

  1. Противолежащие ребра и грани фигуры параллельны и равны между собой.
  2. Углы сонаправленных сторон равны между собой. На фотографии ниже представлено графическое изображение сонапрвленных лучей OA и O1А1. Прямая рассекает пространство на две плоскости. Если лучи расположены в одной полуплоскости и параллельны друг другу, то их называют сонаправленными.
  3. 4 главные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке внутри фигуры. Любой отрезок, проведенный между двумя плоскостями граней, через данную точку будет поделен ею пополам. Следствием данного свойства можно сформулировать следующим образом: плоскости, в которых лежат главные диагонали параллелепипеда, симметрично делят геометрическое тело.
  4. Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов ее измерений.

Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

Формулы параллелепипеда

Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1.

Дано: прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение: Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Читайте также:
Числовые промежутки определение, виды, функции, обозначение, неравенства

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

Задание 2.

Дано: наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.
Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.
Решение: Сначала необходимо зарисовать дано.

Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.

Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.

Параллелепипед

Параллелепипед — тело строгих геометрических форм, противоположные грани которого находятся в параллельных плоскостях. Все плоскости, или грани, включая основание, параллелограммы. Научно определение параллелепипеда — призма, основанием которой служит параллелограмм. Часто ученики затрудняются ответить, чем отличается параллелограмм от параллелепипеда. Отличие в том, что параллелограмм — фигура плоская, двухмерная, а параллелепипед — объемное геометрическое тело, протяженное в трех измерениях, имеющее ширину, высоту и длину. Как выглядит параллелепипед, посмотрите на рисунке:

Виды параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник. Его ограничивают шесть плоскостей, два основания, и четыре боковые грани. Линии, по которым соединяются грани, называются ребрами, а точки, в которых сходятся три ребра — вершинами. У фигуры 8 вершин.

Если грани имеют общее ребро, то их называют смежными, а те, у которых такого ребра нет — противоположными. Это же касается и вершин, если они не лежат на одной грани, то их тоже называют противоположными. Высота, ширина и длина прямоугольного параллелепипеда называются измерениями, они выходят из одной вершины. Если фигура не прямоугольная, то измерения и ребра не совпадают.

При построении параллелепипеда на рисунке можно провести ряд дополнительных линий, которые помогают при вычислении объема, площади поверхности, неизвестных длин и других параметров. Если линии проходят через противоположные вершины, то их называют диагоналями. У параллелепипеда их насчитывается четыре.

В геометрии выделяют несколько типов параллелепипедов, которые отличаются некоторыми свойствами:

  • Прямой — фигура, у которой боковые грани являются прямоугольниками;
  • Прямоугольный — все грани прямоугольники, не только боковые, но и основания. Объемный прямоугольник — это т есть такой параллелепипед.
  • Наклонный — боковые грани находятся по отношению к основанию под углами, отличными от 90 0 ;
  • Ромбоэдр — все грани представляют собой равные ромбы;
  • Куб — все грани квадратны.

Свойства параллелепипеда

Для всех типов параллелепипедов можно выделить общие свойства, характеризующие фигуру. Таких свойств немного, запомнить их не сложно:

  • Диагонали параллелепипеда в точке пересечения делятся пополам;
  • Параллелепипед симметричен относительно точки пересечения диагоналей;
  • Любой отрезок, соединяющий две точки на гранях параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится пополам;
  • Противоположные грани равны и параллельны (вытекает из определения);
  • Сумма квадратов измерений равна квадрату диагонали.
Читайте также:
Сборник ГДЗ по математике для 5 класса по Виленкину читать

Твердо запомнив эти свойства несложно решить большинство задач школьной геометрии.

Основные формулы параллелепипеда

Кроме свойств этой фигуры нужно запомнить ряд несложных формул. Конечно, в процессе решения задачи можно вывести эти выражения самостоятельно. Но часто на это нет времени, лучше воспользоваться готовыми шаблонами.

Формула площади боковой поверхности прямого параллелепипеда — одна из самых простых. Sбо∙h. В этой формуле только три величины, но одна из них составная:

H – высота параллелепипеда;

Р – периметр, АВ+ВС+АD+ CD.

Воспользоваться такой формулой можно только в том случае, если известны длины сторон основы и высота.

Площадь полной поверхности параллелепипеда определяется по формуле Sп=Sб+2Sо.

Как найти площадь боковой поверхности мы знаем из предыдущего пункта, а площадь Sо рассчитывается в зависимости от вида четырехугольника, лежащего в основании.

Объем прямого параллелепипеда тоже найти несложно, для этого достаточно умножить площадь основания на высоту. Объём V=Sо∙h

Формулы для прямоугольного параллелепипеда тоже не отличаются сложностью:

Sб=2c(a+b) в этой формуле а и b – стороны основания, с – высота, равна длине бокового ребра.

Площадь полной поверхности равна Sп=2(ab+bc+ac);

Объем V=abc, то есть, произведение всех трех измерений.

Когда же приходится вычислять площади и объем произвольного параллелепипеда, то показанные формулы не всегда срабатывают. Необходимо использовать законы векторной геометрии. При вычислении объема параллелепипеда через длину диагонали, необходимо использовать проекции на разные оси. Видимая простота формул — это только основа для сложной работы, требующей пространственного воображения и смекалки.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

  1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
  2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
  3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
  6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
  7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$ – высота(она же боковое ребро);

$P_<осн>$ – периметр основания;

$S_<осн>$ – площадь основания;

$S_<бок>$ – площадь боковой поверхности;

$S_<п.п>$ – площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_<бок>=P_<осн>·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Читайте также:
Параллельность плоскостей определение в геометрии, свойства, признаки
Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

$а$ – длина стороны.

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

  • $S=/<2>$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$.
  • $S=/<2>$, где $a,b$ – соседние стороны, $α$ – угол между этими соседними сторонами.
  • Формула Герона $S=√$, где $р$ – это полупериметр $p=/<2>$.
  • $S=p·r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.
  • $S=/<4R>$, где $R$ – радиус описанной окружности.
  • Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника.
  • Для равностороннего треугольника $S=/<4>$, где $а$ – длина стороны.

В основании лежит четырехугольник.

  1. Прямоугольник.
    $S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.
  2. Ромб.
    $S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба.
    $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ – длина стороны ромба, а $α$ – угол между соседними сторонами.
  3. Трапеция.
    $S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота трапеции.
  4. Квадрат.
    $S=a^2$, где $а$ – сторона квадрата.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник

Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.

Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Измерения прямоугольного параллелепипеда и его свойства

  • Что такое прямоугольный параллелепипед — определение
  • Свойства параллелепипеда, какими обладают противолежащие грани
  • Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
  • Как найти диагональ и ширину прямоугольного параллелепипеда

Что такое прямоугольный параллелепипед — определение

Параллелепипед — это призма с шестью гранями, в основании которой лежит параллелограмм.

Согласно другому определению, это многогранник, состоящий из шести сторон-параллелограммов.

В математике в целом, и в геометрии в частности, выделяют несколько основных видов параллелепипеда:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  • прямоугольный;
  • прямой — параллелепипед, у которого 4 боковые грани являются прямоугольниками;
  • наклонный — боковые грани объемной фигуры не перпендикулярны основаниям;
  • ромбоэдр — шестигранная призма, грани которой — это ромбы;
  • куб — состоит из квадратных граней.

Прямоугольный параллелепипед — это шестигранная призма, каждая из сторон которой в общем случае является прямоугольником. Также это — многогранник, в основании которого лежит прямоугольник, а боковые грани перпендикулярны основанию.

Прямоугольных параллелепипедов в окружающем человека мире множество: комната, закрытая книга, системный блок компьютера, закрытая коробка для подарка, спичечный коробок и т. д.

Прямоугольный параллелепипед, как и любой другой, состоит из:

  • основания;
  • граней — противоположных, т. е. не имеющих общего ребра, и смежных — тех, которые имеют общее ребро;
  • ребер — отрезков, соединяющих соседние вершины объемной шестигранной фигуры;
  • диагоналей — отрезков, соединяющих противоположные вершины;
  • диагоналей граней;
  • высоты — отрезка, соединяющего верхнее и нижнее основания шестигранной призмы.

В некоторых базовых задачах просят найти количество составляющих элементов шестигранной призмы. Эти числа можно запомнить: объемная фигура состоит из 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.

Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют его длину, ширину и высоту.

Свойства параллелепипеда, какими обладают противолежащие грани

Вне зависимости от вида параллелепипеда, все они обладают 4 свойствами:

  1. Противолежащие грани равны друг другу и попарно параллельны.
  2. Все 4 диагонали шестигранника пересекаются в одной точке, которой делятся пополам. Любой отрезок, проходящий через середину диагонали, и концы которого принадлежат поверхности, также делится пополам.
  3. Фигура симметрична относительно середины диагонали.
  4. Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех измерений.

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми этими свойствами и несколькими специфичными, свойственными только ему.

  1. Все стороны — прямоугольники.
  2. Все углы, состоящие из двух граней, равны 90°.
  3. Любую сторону можно принять за основание.
  4. Если все ребра равны и перпендикулярны, то такой шестигранник считается кубом.

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен длине, умноженной на ширину и высоту.

где V — объем, a — длина, b — ширина, h — высота.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей боковых граней и оснований.

Как найти диагональ и ширину прямоугольного параллелепипеда

В соответствии с одним из основных свойств параллелепипеда, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех измерений. Запишем в виде формулы:

Следовательно, длина диагонали равна квадратному корню из суммы трех измерений фигуры:

Длина, ширина и высота, как правило, вычисляются через формулу объема:

Существует и второй вариант, как возможно найти одно из измерений. Если известно смежное ему измерение и диагональ общей стороны шестигранника, то можно вычислить вторую сторону через теорему Пифагора или по свойствам диагонали.

Характеристики параллелепипеда, типы, площадь, объем

параллелепипед представляет собой геометрическое тело, образованное шестью гранями, основной характеристикой которого является то, что все их грани являются параллелограммами, а также их противоположные грани параллельны друг другу. Это обычный многогранник в нашей повседневной жизни, так как мы можем найти его в обувных коробках, в форме кирпича, в форме микроволновой печи и т. Д..

Будучи многогранником, параллелепипед заключает в себе конечный объем и все его грани плоские. Он входит в группу призм, которые представляют собой те многогранники, в которых все их вершины содержатся в двух параллельных плоскостях..

  • 1 Элементы параллелепипеда
    • 1.1 Лица
    • 1.2 Края
    • 1.3 Вершина
    • 1.4 Диагональ
    • 1.5 Центр
  • 2 Характеристики параллелепипеда
  • 3 типа
    • 3.1 Расчет диагоналей
  • 4 Площадь
    • 4.1 Площадь ортоэдра
    • 4.2 Площадь куба
    • 4.3 Площадь ромбоэдра
    • 4.4 Площадь ромба
  • 5 Объем параллелепипеда
    • 5.1 Идеальный параллелепипед
  • 6 Библиография

Элементы параллелепипеда

Карас

Они являются каждой из областей, образованных параллелограммами, которые ограничивают параллелепипед. Параллелепипед имеет шесть граней, где каждая грань имеет четыре смежные грани и одну противоположную. Кроме того, каждая сторона параллельна своей противоположной.

ость

Они общая сторона двух лиц. Всего параллелепипед имеет двенадцать ребер.

вершина

Это общая точка трех граней, примыкающих друг к другу два к двум. Параллелепипед имеет восемь вершин.

диагональный

Учитывая две противоположные стороны параллелепипеда, мы можем нарисовать отрезок прямой, который идет от вершины одной грани к противоположной вершине другой.

Этот отрезок известен как диагональ параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

центр

Это точка, в которой все диагонали пересекаются.

Характеристики параллелепипеда

Как мы уже упоминали, это геометрическое тело имеет двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин.

В параллелепипеде вы можете идентифицировать три набора, образованные четырьмя ребрами, которые параллельны друг другу. Кроме того, края этих наборов также имеют свойство иметь одинаковую длину.

Другое свойство, которым обладают параллелепипеды, состоит в том, что они являются выпуклыми, то есть, если мы возьмем любую пару точек, принадлежащих внутренней части параллелепипеда, отрезок, определяемый указанной парой точек, также будет находиться внутри параллелепипеда..

Кроме того, параллелепипеды, являющиеся выпуклыми многогранниками, соответствуют теореме Эйлера для многогранников, которая дает нам взаимосвязь между числом граней, числом ребер и числом вершин. Это соотношение задается в форме следующего уравнения:

Эта особенность известна как характеристика Эйлера.

Где C – количество граней, V – количество вершин и A – количество ребер..

тип

Мы можем классифицировать параллелепипеды по их граням по следующим типам:

кубоид

Это параллелепипеды, лица которых образованы шестью прямоугольниками. Каждый прямоугольник перпендикулярен тем, что имеет общий край. Они наиболее распространены в нашей повседневной жизни, так как это обычный способ обувных коробок и кирпичей..

Куб или правильный шестигранник

Это частный случай предыдущего, где каждая из граней является квадратом.

Куб также является частью геометрических тел, называемых платоновыми телами. Платоническое тело представляет собой выпуклый многогранник, так что его грани и внутренние углы равны друг другу.

romboedro

Это параллелепипед с бриллиантами на лице. Эти алмазы все равны между собой, так как они имеют общие края.

Romboiedro

Его шесть граней – ромбоиды. Напомним, что ромбоид представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами, которые равны от двух до двух. Ромбоиды – это параллелограммы, которые не являются ни квадратными, ни прямоугольниками, ни ромбами.

С другой стороны, косые параллелепипеды – это те, в которых хотя бы одна высота не совпадает с ее краем. В эту классификацию мы можем включить ромбоэдры и ромбиэдры.

Диагональный расчет

Чтобы вычислить диагональ ортоэдра, мы можем использовать теорему Пифагора для R 3 .

Напомним, что ортоэдр имеет характеристику, состоящую в том, что каждая сторона перпендикулярна сторонам, имеющим общий край. Из этого факта мы можем сделать вывод, что каждое ребро перпендикулярно тем, которые имеют общую вершину.

Чтобы вычислить длину диагонали ортоэдра, действуем следующим образом:

1. Мы рассчитаем диагональ одной из граней, которую мы положим в качестве основы. Для этого мы используем теорему Пифагора. Назовите эту диагональб.

2. Потом с дб мы можем сформировать новый прямоугольный треугольник, такой, что гипотенуза указанного треугольника является искомой диагональю D.

3. Мы снова используем теорему Пифагора и получаем, что длина указанной диагонали равна:

Другой способ вычислить диагонали более наглядным способом – с помощью суммы свободных векторов..

Напомним, что два свободных вектора A и B добавляются путем помещения хвоста вектора B с острием вектора A.

Вектор (A + B) является тем, который начинается в хвосте A и заканчивается в конце B.

Рассмотрим параллелепипед, по которому мы хотим вычислить диагональ.

Отождествляем ребра с удобно ориентированными векторами.

Затем мы добавим эти векторы, и результирующий вектор будет диагональю параллелепипеда.

область

Площадь параллелепипеда задается суммой каждой из областей их граней..

Если мы определим одну из сторон в качестве базы,

ГдеL равна сумме площадей всех сторон, прилегающих к основанию, называемых боковой зоной и АВ это базовая зона.

В зависимости от типа параллелепипеда, с которым мы работаем, мы можем переписать указанную формулу.

Площадь ортоэдра

Дается по формуле

A = 2 (ab + bc + ca).

Пример 1

Учитывая следующий ортоэдр, со сторонами a = 6 см, b = 8 см и c = 10 см, вычислите площадь параллелепипеда и длину его диагонали.

Используя формулу для площади ортоэдра, мы должны

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 см 2 .

Обратите внимание, что, поскольку это ортоэдр, длина любой из его четырех диагоналей одинакова.

Используя теорему Пифагора для пространства, мы должны

D = (6 2 + 8 2 + 10 2 ) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

Площадь куба

Поскольку каждое ребро имеет одинаковую длину, мы имеем a = b и a = c. Подставляя в предыдущую формулу, мы имеем

А = 2 (аа + аа + аа) = 2 (3а 2 ) = 6а 2

Пример 2

Коробка игровой приставки имеет форму куба. Если мы хотим обернуть эту коробку подарочной бумагой, сколько бумаги мы бы потратили, зная, что длина краев куба составляет 45 см??

Используя формулу площади куба, получаем, что

А = 6 (45 см) 2 = 6 (2025 см 2 = 12150 см 2

Площадь ромбоэдра

Поскольку все их лица равны, достаточно рассчитать площадь одного из них и умножить его на шесть.

Мы можем рассчитать площадь алмаза, используя его диагонали по следующей формуле

Из этой формулы следует, что общая площадь ромбоэдра

Пример 3

Грани следующего ромбоэдра образованы ромбом, диагонали которого D = 7 см и d = 4 см. Ваша область будет

A = 3 (7 см) (4 см) = 84 см 2 .

Площадь ромба

Чтобы вычислить площадь ромба, мы должны вычислить площадь ромбоидов, которые его составляют. Поскольку параллелепипеды соответствуют тому, что противоположные стороны имеют одинаковую площадь, мы можем связать стороны в трех парах.

Таким образом, мы имеем, что ваш район будет

Где бЯ являются основаниями, связанными со сторонами иЯ его относительная высота, соответствующая указанным основаниям.

Пример 4

Рассмотрим следующий параллелепипед,

где сторона A и сторона A ‘(противоположная сторона) имеют основание b = 10 и высоту h = 6. Обозначенная область будет иметь значение

B и B ‘имеют b = 4 и h = 6, тогда

А С и С ‘имеют b = 10 и h = 5, поэтому

Наконец, площадь ромбоэдра

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Объем параллелепипеда

Формула, которая дает нам объем параллелепипеда, представляет собой произведение площади одной из его граней на высоту, соответствующую упомянутой грани..

В зависимости от типа параллелепипеда указанная формула может быть упрощена.

Таким образом, мы имеем, например, что объем ортоэдра будет

Где a, b и c обозначают длину ребер ортоэдра.

И в частном случае куба

Пример 1

Существует три разных модели коробок печенья, и вы хотите знать, в какой из этих моделей вы можете хранить больше печенья, то есть какая из коробок имеет наибольший объем.

Первый – это куб, край которого имеет длину а = 10 см.

Его объем будет V = 1000 см. 3

Второй имеет ребра b = 17 см, c = 5 см, d = 9 см.

И поэтому его объем составляет V = 765 см. 3

А третий имеет е = 9 см, f = 9 см и g = 13 см.

И его объем составляет V = 1053 см. 3

Поэтому ящик с наибольшим объемом является третьим.

Еще один способ получения объема параллелепипеда – прибегнуть к векторной алгебре. В частности, тройное скалярное произведение.

Одной из геометрических интерпретаций, имеющих тройное скалярное произведение, является объем параллелепипеда, ребра которого представляют собой три вектора, которые имеют одну и ту же вершину в качестве начальной точки..

Таким образом, если у нас есть параллелепипед и мы хотим знать его объем, достаточно представить его в системе координат в R 3 сопоставление одной из его вершин с началом координат.

Затем мы представляем ребра, совпадающие в начале координат с векторами, как показано на рисунке..

И таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда определяется как

Или, что эквивалентно, объем является детерминантом матрицы 3 × 3, образованной компонентами краевых векторов.

Пример 2

Представляя следующий параллелепипед в R 3 мы можем видеть, что векторы, которые определяют это следующие

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) и w = (-0.25, -4, 4)

Используя тройное скалярное произведение, мы имеем

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, – 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, – 15) ∙ (-0,25, -4,4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = – 60

Из этого мы заключаем, что V = 60

Теперь рассмотрим следующий параллелепипед в R3, ребра которого определяются векторами

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) и C = (3, 4, 4)

Использование определителей дает нам, что

Таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда составляет 112.

Оба являются эквивалентными способами расчета объема.

Идеальный параллелепипед

Он известен как кирпич Эйлера (или блок Эйлера) для ортоэдра, который выполняет свойство, состоящее в том, что длина его ребер и длина диагоналей каждой из его граней являются целыми числами..

Хотя Эйлер был не первым ученым, изучавшим ортоэдры, которые встречают это свойство, он нашел интересные результаты о них.

Меньший кирпич Эйлера был открыт Полом Холке, а длина его ребер a = 44, b = 117 и c = 240..

Открытая проблема в теории чисел заключается в следующем

Есть ли идеальные ортоэдры?

В настоящее время на этот вопрос не может быть ответа, так как не было возможности доказать, что эти тела не существуют, но ни один не был найден.

До сих пор было показано, что идеальные параллелепипеды существуют. Первый из обнаруженных имеет длину своих ребер значения 103, 106 и 271.

Параллелепипед (ЕГЭ 2022)

Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»? Что за многогранник скрывается за этим словом?

Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?

Читай статью, смотри вебинар и ты все про него будешь знать!

Параллелепипед — коротко о главном

Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с ( displaystyle 6) гранями), все грани которой — параллелограммы.

Прямой параллелепипед —это параллелепипед, у которого ( displaystyle 4) боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники

Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Свойства параллелепипеда

  • Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
  • Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
  • Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
  • Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений. ( displaystyle <^<2>>=<^<2>>+<^<2>>+<^<2>>).

Параллелепипед — подробнее

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

Далее смотри на картинки, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Свойства параллелепипеда

  • Всеграни параллелепипеда – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, а смежные.

  • Боковыеребра параллелепипеда равны.

  • Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Прямой параллелепипед

Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.( displaystyle <^<2>>=<^<2>>+<^<2>>+<^<2>>).

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: