Неравенства с двумя переменными – примеры с пошаговым решением

Неравенства с двумя переменными

Урок 19. Алгебра 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока “Неравенства с двумя переменными”

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Тогда пара значений (2; -1) является решением данного неравенства, но это не единственное решение.

Проверить, является ли пара чисел (-2; 3) решением неравенств.

Подставим пару этих значений в каждое неравенство и проверим, обратятся ли они в верные числовые неравенства:

Получили, что в первом и во втором случаях – верное неравенство, а в третьем – пара чисел (-2; 3) не является решением данного неравенства.

Найти два каких-нибудь решения неравенства:

Очевидно, что х может быть любым числом.

Среди множества решений данного неравенства будут пары чисел: (5; 17) и (-3; 8).

Так как неравенство с двумя переменными имеет множество решений, то их сложно перечислить. Увидеть множество решений неравенства с двумя переменными позволяет график.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, заданных неравенством:

Построим график уравнения:

Графиком является прямая и для её построения достаточно двух точек:

Возьмём на прямой некоторую точку М с координатами (). Если мы возьмём точку К выше прямой, видно, что её абсцисса = , а вот ордината > . Тогда получаем, что координаты точки К не удовлетворяют неравенству. Если же взять точку, расположенную ниже прямой, с абсциссой = , то видно, что её ордината будем . Тогда получаем, что координаты точки удовлетворяют неравенству. Если же взять точку N, расположенную ниже графика, с абсциссой = , то видно, что её ордината будем Оцените видеоурок

Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Линейное неравенство с двумя переменными и его решение

Неравенство вида ax+by $ begin lt \ gt \ le \ ge end $ c , где a, b, c – данные числа, называется линейным неравенством с двумя переменными x и y.

Например: $2x+5y lt 6; -x+1, 5y ge 0; frac<1> <2>x-8y gt 7$

Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это неравенство в истинное выражение.

Например: для неравенства $2x+5y lt 6$

пара (-1;-2) является решением, т.к. $2cdot(-1)+5 cdot (-2) = -12 lt 6$ – истина

пара (1;2) не является решением, т.к. $2cdot1+5cdot2=12 notlt 6$ – ложь

Графическое представление линейного неравенства с двумя переменными

Графическим представлением линейного неравенства с двумя переменными вида ax+by$ begin lt \ gt \ le \ ge end $ c является полуплоскость с границей ax+by = c .

Для строгого неравенства граница не входит в представление, для нестрогого неравенства – входит.

Читайте также:
Число сочетаний основные свойства, применение математических формул

Графическое решение системы линейных неравенств с двумя переменными

Графическим решением системы линейных неравенств с двумя переменными является пересечение их графических представлений на плоскости.

Пересечение двух множеств – это множество, которому принадлежат только те элементы, которые одновременно входят в оба множества.

Пересечение обозначают знаком $cap$.

Найдём графическое решение системы линейных неравенств:

Решением является треугольник ABC, где A(-1;2), B(0;4), C(2;0).

Примеры

Пример 1. Найдите графическое представление линейного неравенства:

Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит

Представление – полуплоскость под границей, сама граница входит

Представление – полуплоскость справа от границы, сама граница входит

Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит

Пример 2*. Найдите графическое решение системы линейных неравенств:

Решением является квадрат ABCD, где A(-3;-1), B(0;2), C(3;1), D(0;-4)

Пример 3*. Автоперевозчику поступил заказ на перевозку 30 т груза. У него есть 5 машин грузоподъёмностью 3 т и 5 машин грузоподъёмностью 5 т.

Расход топлива для каждого типа грузовиков соответственно 20 и 24 л, общий расход не должен превышать 170 л.

Подберите состав грузовиков для выполнения заказа.

Пусть x – количество грузовиков по 3т, y – по 5т.

По условию задачи:

$$ 3x+5y ge 30 \ 20x+24y le 170 \ x le 5 \ y le 5 end right.> $$

Решением системы неравенств является заштрихованный треугольник. Единственным целочисленным решением является точка A(2;5) Таким образом, для выполнения заказа нужно 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т.

Их суммарная грузоподъёмность: $3 cdot 2+5 cdot 5 = 31 gt 30$ достаточна

Суммарный расход топлива: $ 20 cdot 2+24 cdot 5 = 160 lt 170 $ не превышает лимит

Ответ: 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т

Неравенства с двумя переменными

Рассмотрим неравенство 2х 2 – у 2 – 5 с, где х и у — переменные, а, b и с — некоторые числа, причем хотя бы один из коэффициентов а или b отличен от нуля.

Рассмотрим, например, неравенство х + 2у > 4 и заменим его равносильным неравенством у > -0,5л:+2. Выберем произвольно значение х, например х = 2, и найдем соответствующее ему значение выражения -0,5x + 2. Получим -0,5 • 2 + 2 = 1. Пара чисел (2; 1) является решением уравнения у = -0,5x + 2, так как ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Любые пары чисел вида (2; у), где у > 1, например пары (2; 1,8), (2; 4), (2; 100) и т. д., являются решениями рассматриваемого неравенства. Мы нашли лишь некоторые решения неравенства у > -0,5x + 2. Чтобы найти все решения данного неравенства, будем рассуждать аналогично.

Пусть x — произвольно выбранное значение х. Вычислим соответствующее ему значение выражения -0,5x+2. Получим -0,5 • х + 2. Пара чисел (x; у), где у = -0,5x + 2, является решением уравнения у = -0,5x + 2. Тогда пары чисел (x; у), где у > -0,5x + 2 (т. е. у > у), и только эти пары, образуют множество решений данного неравенства.

Читайте также:
Четырехугольник является параллелограммом - доказательство

Теперь выясним, что представляет собой множество точек, координаты которых являются решениями неравенства х + 2у > 4. Для этого построим прямую у=-0,5х + 2, отметим на ней произвольную точку М(x; у) и проведем через нее прямую, перпендикулярную оси x (рис. 66). Координаты точки М удовлетворяют уравнению у = -0,5x+2 (так как точка М принадлежит этой прямой), а координаты любой точки К(х; у), где у > у, т. е. точки, расположенной выше точки М, удовлетворяют неравенству у > -0,5x + 2.

Значит, неравенством х+ 2у > 4 задается множество точек координатной плоскости, расположенных выше прямой у = -0,5x 2, т. е. открытая полуплоскость (полуплоскость без граничной прямой) (см. рис. 66). Чтобы показать, что прямая у = -0,5x + 2 не принадлежит полуплоскости, она на рисунке изображена штриховой линией.

Можно сделать такой вывод. Прямая х + 2у = 4 разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на две области: область, расположенную выше данной прямой, и область, расположенную ниже данной прямой. Координаты точек первой области удовлетворяют неравенству х + 2у > 4, а координаты точек второй области удовлетворяют неравенству х + 2у с, в случае, когда b ≠ 0.

Рассмотрим примеры неравенств с двумя переменными второй степени.

Пример 1. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства у > (х- 2) 2 .

Построим график уравнения у = (х – 2) 2 . Отметим на параболе у = (х – 2) 2 произвольную точку М(х; у) и проведем через эту точку перпендикуляр к оси х (рис. 67). Координаты точки М удовлетворяют уравнению у = (х – 2) 2 , а координаты точки К(х; у), где у > у, удовлетворяют неравенству у > (х- 2) 2 . Значит, решениями данного неравенства являются координаты точек, принадлежащих параболе у — (х — 2) 2 , и координаты точек, расположенных выше ее. Множество решений этого неравенства изображено на рисунке 67.

Неравенства с переменными, их частные и общее решение.

Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами, которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.

Навигация по странице.

  • Что такое неравенства с переменными?
  • Неравенства с одной переменной.
  • Неравенства с двумя переменными.
  • Неравенства с тремя и большим числом переменных.
  • Решения неравенства: частное, общее и просто решение.
  • Как записать общее решение неравенства?

Что такое неравенства с переменными?

Мы уже знакомы с числовыми неравенствами. Они представляют собой два числовых выражения, между которыми находится один из знаков неравенства. Если же хотя бы одно из этих числовых выражений заменить на выражение с переменными, то мы получим так называемое неравенство с переменными.

Читайте также:
Математика - предмет, задачи, изучение, понятие, определения

Итак, мы только что определили неравенства с переменными по виду их записи.

В зависимости от количества переменных, участвующих в записи неравенства различают неравенства с одной, двумя, тремя и большим числом переменных. Остановимся на них подробнее, а также приведем примеры неравенств с переменными.

Неравенства с одной переменной

Из названия понятно, что

Неравенством с одной переменной называют неравенство, в записи которого участвует одна переменная.

Например, x>3 – это неравенство с одной переменной x , 5≤y 3 +1 – неравенство с одной переменной y . Переменная в записи неравенства может встречаться несколько раз. Приведем примеры: (2·x−5·x 2 )·(x−1) и – это тоже неравенства с одной переменной.

Неравенства с двумя переменными

Неравенство, запись которого содержит две различные переменные, называется неравенством с двумя переменными.

В качестве примера неравенства с двумя переменными x и y приведем неравенство вида x 2 +3·y 2 >25 , а – это неравенство с двумя переменными p и q .

По виду записи на неравенства с двумя переменными похожи неравенства с параметром и одной переменной. Однако, в заданиях как правило сразу указывают, какие буквы являются параметрами, поэтому обычно не возникает вопросов о количестве переменных в неравенстве. Это же относится и к неравенствам с параметрами с тремя или большим количеством переменных.

Неравенства с тремя и большим числом переменных

Неравенства, в записи которых присутствуют три, четыре и т.д. переменные называют неравенствами с тремя, четырьмя и т.д. переменными соответственно.

Неравенства с тремя и большим числом переменных встречаются в школьном курсе математики не часто, но все же они имеют место. К примеру, шар с центром в начале координат, радиус которого равен 2 , можно задать неравенством с тремя переменными как x 2 +y 2 +z 2 ≤4 .

Решения неравенства: частное, общее и просто решение

От неравенств с переменными неотделимы их решения.

Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, которое обращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

Для примера рассмотрим неравенство с одной переменной вида x>7 . Возьмем x=10 . Подставив в исходное неравенство вместо переменной x ее значение 10 , получаем числовое неравенство 10>7 . Это верное числовое неравенство, поэтому 10 – это по определению решение неравенства x>7 . С другой стороны число 3 не является решением этого неравенства, так как подстановка этого значения вместо переменной x дает неверное числовое неравенство 3>7 .

Стоит обговорить вопрос о количестве решений конкретного неравенства с одной переменной. Заглядывая немного вперед, скажем, что неравенство с одной переменной может не иметь решений, иметь конечное число решений, или иметь бесконечно много решений. В этом Вы убедитесь, изучив процесс нахождения решений неравенств, который называют теми же словами, то есть, решением неравенств. Этот процесс имеет огромную практическую значимость, и с ним мы будем разбираться отдельно. А пока вернемся к теме нашей беседы.

Читайте также:
Теорема косинусов для треугольника - суть, как доказать

  • Неравенства могут не иметь ни одного решения, как, например, неравенство x 2 . Действительно, какое бы действительное число мы не подставили вместо переменной x , мы получим неверное неравенство, так как, изучив свойства степени, мы усвоили, что квадрат любого числа есть число неотрицательное, и оно не может быть меньше минус трех.
  • Могут иметь единственное решение. Таковым, к примеру, является неравенство , имеющее решением x=1 , которое единственно.
  • Могут иметь конечное число решений, к примеру, четыре или семь. В качестве примера приведем неравенство , оно имеет ровно два решения: 1 и −1 .
  • А могут иметь и бесконечно много решений, как уже указанное выше неравенство x>7 . Его решением является любое действительное число, большее 7 , например, 11 , 65,32 или .

Все сказанное о количестве решений неравенств справедливо и для неравенств с двумя, тремя и большим количеством переменных.

Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, при которых исходное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Для пояснения и примера возьмем неравенство с двумя переменными x и y вида x+1>2·y . Пара значений переменных x=1 , y=0 является решением данного неравенства, так как их подстановка дает верное числовое неравенство вида 1+1>2·0 . А вот пара x=2 , y=4 не является решением данного неравенства, так как их подстановка дает неверное числовое неравенство 2+1>2·4 .

Часто пары значений переменных записывают в скобках как координаты точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости. Для предыдущего примера решение неравенства x+1>2·y , которое мы записали в виде x=1 , y=0 , можно записать как (1, 0) .

Аналогично определению решения неравенства с двумя переменными дается и определение решения неравенства с тремя и большим количеством переменных.

Решением неравенства с тремя, четырьмя и т.д. переменными называется тройка, четверка и т.д. значений этих переменных, которая обращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

В качестве примера решения неравенства с четырьмя переменными вида t 2 +x 2 +y 2 +z 2 ≤36 приведем четверку значений этих переменных t=1 , x=2 , y=3 , z=4 . Эта четверка чисел действительно является решением данного неравенства, так как 1 2 +2 2 +3 2 +4 2 ≤36 – верное числовое неравенство.

В заключение стоит обратить внимание на достаточно часто встречающиеся термины «частное решение неравенства» и «общее решение неравенства».

Под частным решением подразумевают какое-либо отдельно взятое решение данного неравенства.

Так 3 – это частное решение неравенства x . Другим частным решением данного неравенства является, например, число 2 . Можно указать и другие частные решения этого неравенства.

Общим решением неравенства называют множество всех частных решений этого неравенства.

Читайте также:
Возведение дроби в степень - как возвести алгебраическую дробь в степень

Вернемся к предыдущему примеру x . Его общее решение – это множество всех действительных чисел, которые меньше пяти.

Однако намного чаще говорят просто «решение неравенства» без уточнения частное или общее. Ему обычно придают смысл общего решения. Например, если спрашивается «каково решение неравенства», то скорее всего интерес представляет все множество решений этого неравенства. А если интересует какое-то отдельно взятое решение (частное решение), то обычно и требуют указать одно из решений неравенства.

Как записать общее решение неравенства?

Умение записывать общее решение неравенств необходимо для записи ответа при решении неравенств. Поэтому не помешает детально разобраться с принятыми правилами записи. Начнем с принципов записи решений неравенств с одной переменной.

Из информации предыдущих пунктов понятно, что если неравенство с одной переменной имеет решение, то это или одно некоторое число, или некоторое множество чисел (конечное или бесконечное). То есть, общее решение неравенства с одной переменной – это некоторое числовое множество. Следовательно, и записывать его принято так же, как записываются числовые множества.

Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.

Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.

Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или <−5, 1,5, 47>.

А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч [10, +∞) , то ответ можно записать как 1 , (3, 7] , [10, +∞) , или как 1∪(3, 7]∪ [10, +∞) , или как x=1 , 3 , x≥10 , или словами описать словами «единица, все числа большие трех, но меньшие или равные семи, а также все числа большие или равные десяти».

При записи общих решений неравенств с двумя, тремя и большим количеством переменных, если количество решений невелико, то их перечисляют все. Если же число частных решений велико или бесконечно, то обычно описывают множество значений, которые может принимать каждая переменная в отдельности. Например, неравенство с четырьмя переменными t , x , y и z может иметь такое решение: « t – любое целое число, x есть 0 или 1 , y=−5 , z=11 ».

Читайте также:
Подобные треугольники признаки подобия, свойства, теоремы об отношении площадей

Стоит заметить, что для неравенств с двумя переменными решение часто не описывают аналитически, а представляют в графическом виде, изображая множество решений неравенства на координатной плоскости. Например, решением неравенства 2·x−y≥5 является множество всех точек плоскости, лежащих на и ниже прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом y=2·x−5 . Изобразим их:

Иногда удобно графически представлять и решения неравенств с тремя переменными, в этом случае решение будет представлять собой некоторое множество точек трехмерного пространства.

Неравенства с двумя переменными. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными

Рассмотрим неравенство вида (f (x; y) > g (x; y)) , называемое неравенством с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих неравенство в верное числовое неравенство. Решение неравенства с двумя переменными, а тем более системы неравенств с двумя переменными, представляется достаточно сложной задачей. Важной частью умения решать неравенства является умение изобразить на координатной плоскости множество его решений.

Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:

Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

  1. Строим график функции (y = f(x)) , который разбивает плоскость на две области.
  2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства является область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
  3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции (y = f(x)) , не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции (y = f(x)) , включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией. А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.

Пример 1. Какое множество точек задается неравенством (x · y ≤ 4) ?

1) Строим график уравнения (x · y = 4) . Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x.

Получим: (y = frac4) . Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы, и ту, что снаружи их.

2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2). Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.

Читайте также:
Степени чисел - возведение в степень в алгебре, таблица, правила

Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции (y = frac<4>) , рисуем сплошной линией.

Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом.

Пример 2. Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой: (left< begin y>x^2+2 \ y+x>1 \ x^2+y^2le9 end right.)

Решение: Строим для начала графики следующих функций:

(y = x^2 + 2) – парабола,

(y + x = 1) – прямая,

(x^2 + y^2 = 9) – окружность.

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: (5 > 0^2 + 2) – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы (y = x^2 + 2) , удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: (3 + 0 > 1) – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой (y + x = 1) , удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

Берем точку (0; –4), которая лежит вне окружности (x^2 + y^2 = 9) . Проверяем неравенство: (0^2 + (-4)^2 ≤ 9) – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности (x^2 + y^2 = 9) , не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности (x^2 + y^2 = 9) , удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку.

Искомая область – это область, где все три раскрашенные области пересекаются друг с другом.

Напишите неравенство, решением которого является окружность и точки внутри окружности.

Найдите точки, являющиеся решением неравенства.

Найдите точки, являющиеся решением неравенства.

Решите систему неравенств и укажите целые числа, которые являются решением системы неравенств.

Множество решений системы неравенств (beginfrac принадлежит промежутку

Координаты каких точек не являются решением неравенства 4 (x – 5) (geq) – 4 (y + 2)?

Какие координаты точек являются решением неравенства 3(2 + x) (geq) 2(y + 3)?

Решение линейных неравенств

О чем эта статья:

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

  • ax + b 0,
  • ax + b ≥ 0,
  • ax + b ≤ 0,

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Читайте также:
Коллинеарные векторы - определение, свойства, обозначения

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит сделать так, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице.

Типы неравенств

  1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
  2. a > b и b > и

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

  1. Если а > b , то b а.
  2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

  1. Если а > b и c b – d.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b” height=”45″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt”>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

  1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.
  • 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
  • Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
  • Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : –2 > 9 : -2 ⇒ x

    Решение линейных неравенств

    Со школьных уроков мы помним, что у неравенств нет ярко выраженных различий, поэтому рассмотрим несколько определений.

    Определение 1. Линейное неравенство с неизвестной переменной x имеет вид ax + b > 0, когда вместо > используется любой знак c , где x — переменная, a, c — некоторые числа.

    Мы не знаем может ли коэффициент равняться нулю, поэтому: 0 * x > c и 0 * x 0 — в первом и ax > c — во втором;

  • допустимость равенства нулю: a ≠ 0 — в первом, a = 0 — во втором.

Неравенства ax + b > 0 и ax > c равносильные, так как получены переносом слагаемого из одной части в другую.

Определение 3. Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  • ax + b 0,
  • ax + b ≤ 0,
  • ax + b ≥ 0,

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов это:

  • введение функции y = ax + b;
  • поиск нулей для разбиения области определения на промежутки;
  • отметить полученные корни на координатной прямой;
  • определение знаков и отмечание их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

    если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

Как решаем:

  1. В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  1. Определим знаки на промежутках.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

  1. Выполним решение со знаком >. Штриховку сделаем над положительным промежутком.

По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 4) или x

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b 0 произвести определение промежутка, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны −√3 : 5.
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

Признаки параллельности прямых

При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.

Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой

Рисунок Определение углов
Внутренние накрест лежащие углы
Внешние накрест лежащие углы
Соответственные углы
Внутренние односторонние углы
Внешние односторонние углы
Внутренние накрест лежащие углы
Внешние накрест лежащие углы
Соответственные углы
Внутренние односторонние углы
Внешние односторонние углы

Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.

Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Признаки параллельности двух прямых

Рисунок Признак параллельности
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Рисунок Признак параллельности
Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Переход свойства параллельности прямых

Рисунок Признак параллельности
Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.

Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: