Внутренние односторонние углы – определение, свойство, правило

Геометрия. Урок 2. Углы

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Углы

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными .

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными .

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными .
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
• Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс

Билет № 1

1. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Свойство внутренних односторонних углов.

2. Треугольник: определение и виды. Теорема косинусов (доказательство). Следствия из теоремы косинусов.

3. Найдите диагонали равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 см и 6 см, а боковая сторона равна 5 см.

• >” src=”http://narod2.yandex.ru/i/users/color/red/arrow-s3.png” />Главная
• >” src=”http://narod2.yandex.ru/i/users/color/red/arrow-s3.png” />Билет 1
• >” src=”http://narod2.yandex.ru/i/users/color/red/arrow-s3.png” />Билет 2

1) Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны.

Свойство внутренних односторонних углов:

Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей прямой углы одной из пар соответственных или накрест лежащих углов равны, то сумма углов каждой пары односторонних углов равна 180 градусов.

2) Треуго́льник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки

Типы треугольников
Остроугольный	Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний

По величине углов

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми(меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
• Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
• Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

По числу равных сторон

• Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон различны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называютсябоковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора:

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α , противолежащим стороне a , справедливо соотношение: .

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

3)

Что такое угол? Виды углов

О чем эта статья:

2 класс, 5 класс

Определение угла

Угол — это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.

Луч — прямая линия, у которой есть начало, но нет конца, и продолжается она только в одну сторону.

Если нам дана прямая a на плоскости, и на ней есть некоторая точку O — выходит, что прямая разделена точкой на две части, каждая из которых является лучом с началом в точке O.

Луч можно обозначить одной строчной буквой латинского алфавита или двумя прописными. Например, вот так:

Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон.

В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: ∠.

Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Если стороны угла названы большими буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, при этом вершина всегда записывается в центре. При сторонах угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA.

Иногда можно встретить обозначение в виде цифр — так тоже можно.

Для наглядности — все способы обозначения углов:

Что такое вершина и стороны угла:

• Стороны угла — лучи, из которых состоит угол.
• Вершина угла — общее начало сторон угла.

Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла. Вот так:

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Единица измерения углов — градусы. Символ для обозначения градуса угла: °.

Определение смежных и вертикальных углов

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Таким образом два смежных угла составляют развернутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны, при условии, что смежные углы не равны.

Вертикальные углы — это пара углов, у которых есть общая вершина, при этом стороны одного угла составляют продолжение сторон другого угла.

При пересечении прямых получается четыре пары смежных и две пары вертикальных углов. Вот как это выглядит:

Виды углов

Есть разные типы углов и у каждого своё название:

• острый
• прямой
• тупой
• развернутый
• выпуклый
• полный

Различать виды углов в геометрии важно. Определять можно на глаз или с помощью линейки.

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать самый простой способ из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны заданных углов совпадут, значит углы равные. Если нет, то угол, который лежит внутри другого, будет меньшим. Здесь два наглядных примера с равными и неравными углами:

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов ∠ и ∠ происходит следующим образом:

1. Вершину одного угла совмещаем с вершиной другого угла.
2. Сторону одного угла накладываем на сторону другого угла так, чтобы стороны и располагались в одном направлении.

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠ = ∠ .

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠

Как правильно измерять углы

Измерение углов похоже на измерение отрезков: нужно сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Обозначается — 0.

Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Есть еще две возможные меры угла: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно, когда величина не является целым обозначением градуса.

Минута — 1/60 часть градуса. Обозначается — ´.

Секунда — 1/60 часть минуты. Обозначается — ´´.

Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60′ = 3600′.

Как происходит измерение угла: сначала измеряются стороны угла, а после его внутренняя область. Всегда нужно считать количество уложенных углов, так как они предопределяют меру измеряемого угла.

Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

На рисунке изображен угол АОВ, он состоит из углов АОС, СОD и DОВ. Можно записать так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135 °.

Угол называется прямым, если он равен 90°, а острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол имеет 180°.

Равные углы имеют равную градусную меру.

Обозначение углов на чертеже

Чертеж помогает решать задачки по геометрии в разы быстрее. Чтобы наглядно изображать дуги, углы и прочие фигурки, придумали даже отдельное направление — геометрический чертеж.

Задачи с углами могут быть разными и не всегда есть возможность правильно изобразить и отметить угол. Вот, что важно запомнить при обозначении лучей и углов:

• Равные углы обозначают одинаковым количеством дуг.
• Неравные углы обозначают разным количеством дуг, чтобы они отличались между собой.
• Для обозначения на чертеже более трех углов используем разные виды дуг: волнистые, зубчатые.

На чертеже отмечены острые, равные и неравные углы.

Обозначать углы можно разными цветами. Главное, чтобы было просто и броско. При этом необязательно отмечать все-все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачки.

Теорема о равенстве соответственных углов. Теорема о свойстве односторонних углов

Урок 18. Геометрия 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока “Теорема о равенстве соответственных углов. Теорема о свойстве односторонних углов”

Вспомним теорему о равенстве накрест лежащих углов:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей c. Необходимо доказать, что соответственные углы 1 и 2 равны. Так как прямая а параллельна прямой b, то накрест лежащие углы 2 и 3 равны. ∠1 и ∠3 равны как вертикальные. Из равенств ∠2=∠3 и ∠1=∠3 следует, что ∠1=∠2. Теорема доказана.

Пусть прямая MN параллельная биссектрисе AD треугольника АВС.

Тогда ∠NMC=∠BAD. Действительно, углы NMC и DAC равны как соответственные углы, а ∠DAC=∠BAD, так как AD – биссектриса.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусов.

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей c. Доказать, ∠1+∠2=180 градусов. Так как прямая а параллельна прямой b, то соответственные ∠1 и ∠3 равны. ∠2+∠3=180 градусов, так как углы 2 и 3 смежные. Тогда, из равенств угол ∠1=∠3 и ∠2+∠3=180 градусов, следует, что ∠1+∠2=180 градусов. Теорема доказана.

Например: пусть прямая DE параллельна стороне АВ треугольника АВС. Тогда ∠BAD+∠ADE=180 градусов.

Луч BD – биссектриса угла АВС, прямая DE параллельна прямой АВ, а ∠ЕDB=32 градуса. Чему равен ∠CED?

Углы BDE и ABD равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DE и секущей BD. То есть ∠ABD=32 градуса. Тогда ∠АВС=64 градуса, так как ВD – его биссектриса.

Углы АВС и CED являются соответственными углами при параллельных прямых АВ и DE и секущей ВС, а значит, они равны. Следовательно, ∠CED=64 градуса.

Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, меньше градусной меры другого на 26 градусов. Вычислить градусные меры этих углов.

Пусть а и b параллельные прямые, прямая c – секущая при этих параллельных прямых, а ∠1 и ∠2 – внутренние односторонние.

Пусть ∠1=x, тогда ∠2=x-26. Так как ∠1 и ∠2 являются внутренними односторонними при параллельных прямых а и b и секущей с, то их сумма равна 180 градусов, то есть ∠1+∠2=180 градусов.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые а и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны,то есть
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180º.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна180°, то есть
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть ВМ — биссектриса тупого угла В. По условию, отрезки МD и АВ равны 3х и 4х соответственно.

Рассмотрим углы СВМ и ВМА. Поскольку АD и ВС параллельны, ВМ — секущая, углы СВМ и ВМА являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник АВМ — равнобедренный, следовательно, АВ = АМ = 4х.

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
7х + 7х + 4х + 4х = 88.
Отсюда х = 4, 7х = 28.

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26º и 34º. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: 120º.

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50º? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, чторавнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, α – β = 50°, то есть α = β + 50°.

Углы α и β — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
α + β = 180°.

Итак, 2β + 50° = 180°
β = 65°, тогда α = 115°.

EGE-Study » Методические материалы » Геометрия: с нуля до C4 » Высоты, медианы, биссектрисы треугольника

Внутренние односторонние углы

Базисные понятия

Угол — простая фигура в геометрии, образуемая двумя лучами, следующими из некоторой точки. Эту точку определяют как его вершину. Название «угол» может относиться к части плоскости, объединяющей все лучи, исходящие из вершины фигуры. Такое обозначение может также иметь угловая мера, чаще всего определяемая в градусах.

В геометрии существует несколько критериев, позволяющих выделить разные типы угловых фигур. Они бывают тупыми и острыми, смежными или вертикальными. Для углов, образуемых в результате пересечения секущей линией двух прямых, в качестве такого критерия берется свойство взаимных соотношений формируемых при этом фигур. При рассмотрении произвольного геометрического рисунка, образованного двумя прямыми линиями и секущей, можно увидеть 4 пары соответственных, по 2 пары внутренних и внешних накрест лежащих или односторонних угловых фигур. Все эти элементы могут быть как тупоугольными, так и остроугольными.

Соответственные углы при параллельных прямых

Свойства фигур, формирующихся при пересечении секущей параллельных прямых, давно описаны в планиметрии. Известно, что соответственные накрест лежащие угловые элементы при параллельных прямых равны. Сложение угловых величин односторонних фигур дает значение 180 градусов. В геометрии применяется формула для расчета суммы соответственных парных угловых фигур при условии параллельности двух линий. Для определения этого параметра из числа 360 надо вычесть удвоенную угловую величину одностороннего угла, прилежащего к любому из пары рассчитываемых соответственных угловых элементов.

Равные соответственные углы указывают на параллельность прямых. Справедливость этого признака вытекает из следующих утверждений:

1. Отметим отрезок на секущей, начало и конец которого, точки C и D, находятся в местах пересечения секущей с прямыми a и b.
2. Через среднюю точку K отрезка опустим перпендикуляр к прямой a. Точки его пересечения с прямыми обозначим как A и B. Сформированные отрезками треугольники CKA и DKB являются прямоугольными, а отрезки AK и BK — сторонами, прилежащими к прямоугольным вершинам. Каждый из этих катетов одновременно является высотой треугольника, проведенной из остроугольной вершины.
3. Для доказательства следует учитывать равенство вертикальных ∠CKA и ∠DKB, ∠BDK и ∠АСК равны по условию равенства соответственных углов с учетом того, что вертикальные углы с вершинами в точках C и D равны, CK и KD — два равных отрезка по условию.
4. Таким образом, в треугольниках CKA и DKB сторона и прилежащие к ней углы имеют равные величины, что соответствует одному из признаков равенства треугольников.
5. Поскольку AB перпендикулярен прямой a и отрезку AC, то CKA — прямоугольный треугольник, и это дает основание считать, что равный ему треугольник DKB также прямоугольный, из чего следует перпендикулярность отрезка AB по отношению к прямой b.
6. Было доказано, что две прямые перпендикулярны к третьей прямой, и это подтверждает их параллельность.

Такого рода свойства встречаются в описаниях признаков и теорем. Их равенство — часть доказательств равенства и подобия треугольников. В свою очередь, используя признаки подобных и равных треугольников, можно обосновывать доказательства сложных теорем, находить решения сложных задач, править возможные ошибки.

4.1. Углы и параллельные прямые

Взаимное расположение прямых:

• Прямые пересекаются, у них есть одна общая точка.
• Прямые не пересекаются, у них нет общих точек. Такие прямые называются параллельными.

При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы.

Вертикальные углы — равны.

Сумма смежных углов равна 180°.

Прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжать.

О параллельных прямых:

• Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то все прямые параллельны между собой.
• На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
• Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие углы:

• внутренние накрест лежащие (4 и 5, 3 и 6) — попарно равны;
• внешние накрест лежащие (1 и 8, 2 и 7) — попарно равны;
• соответственные (1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и — попарно равны;
• внутренние односторонние (3 и 5, 4 и 6) — сумма таких углов равна 180°;
• внешние односторонние (1 и 7, 2 и — сумма таких углов равна 180°.

Часто для использования свойств углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых секущей, необходимо применять дополнительные построения.

Пример: Даны углы с попарно параллельными сторонами. Что можно сказать об углах 1 и 2? Что можно сказать об углах 3 и 4?

Продолжим стороны углов до пересечения:

Получаем, что углы 1 и 2 равны, т. к. являются накрест лежащими при параллельных прямых.

Сумма углов 3 и 4 равна 180°, т. к. они являются односторонними при параллельных прямых.

Теорема Фалеса: При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки (образуются подобные треугольники).

Прочитано
Отметь, если полностью прочитал текст

Углы, образующиеся при пересечении прямых

Чтобы понять, как выглядят соответственные углы, а также уметь находить их на любых геометрических рисунках, нужно хорошо усвоить разницу между типами фигур, образованных секущей линией

Кроме того, следует обратить внимание на наличие внутренней и внешней областей. Первая зона ограничивается площадью между двумя прямыми, второй внешней областью считается неограниченное пространство снаружи от этих двух линий

Итак, образованным тремя прямыми линиями угловым фигурам можно дать следующие определения:

• Накрест лежащие внутренние углы — это разносторонние по отношению к секущей объекты внутри области, сформированной прямыми. Если обе фигуры лежат за пределами двух прямых по противоположные стороны от секущей, то такие угловые элементы называются внешними накрест лежащими.
• В отличие от предыдущих противолежащих фигур, односторонние углы расположены на одной стороне: внутри области, образованной двумя прямыми (внутренние), или во внешних областях (наружные).
• Соответственные по определению являются парными фигурами, образующимися по одну сторону от линии, пересекающей две других, с аналогичных сторон обеих прямых. Один из углов пары расположен между прямыми и является внутренним, а другой лежит вне этой зоны, поэтому считается внешним.

Чтобы окончательно разобраться в вопросе, нужно усвоить понятие соответствия с математической точки зрения. В геометрии это свойство двух фигур, у которых углы, стороны или точки одного объекта аналогичны соответствующим элементам другого объекта. Аналогия проявляется не в их равенстве, а во взаимном соотношении элементов. О соответствии углов говорит аналогичное пространственное положение лучей в местах пересечения прямых с третьей секущей линией. Таким образом, речь идет об элементах, имеющих одинаковое относительное положение.

Доказательство теоремы

Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

Доказательство подобия треугольников

Существует три признака, по которым могут быть определены подобные треугольники. Во-первых, подобие подтверждается пропорциональностью всех трех сторон треугольников. Во-вторых, подобными считаются треугольники, имеющие две пропорциональные стороны, угловая величина между которыми равна соответствующему элементу второго треугольника. В-третьих, подобие подтверждается, когда имеет место равенство двух углов обоих треугольников.

Рассмотрим доказательство этого признака, в ходе которого применяется свойство тождественности соответственных угловых объектов:

1. Возьмем два треугольника ABC и A1B1C1, в которых равны два угла. Из этого следует, что величина третьего угла также одинакова в обеих фигурах. Требуется доказать подобие треугольников.
2. Отметим точку A2 на AB таким образом, чтобы величина BA2 совпала с A1B1. Через A2 параллельно основанию AC проведем прямую, проходящую через BC в точке B2.
3. Треугольники A2BC2 и A1B1C1 равны, что подтверждается одинаковыми величинами сторон A1B1, BA2 и углов B, B1 (по построению или условию), а также равенством углов A, A1 как соответственных при параллельных линиях.
4. Поскольку, согласно лемме, параллельная стороне треугольника прямая отсекает от него подобный треугольник, то A2BC2 подобен ABC. Из этого следует подобие треугольников ABC и A1B1C1.

В сложных планиметрических фигурах в качестве секущей, формирующей этот тип геометрических объектов, может выступать медиана, биссектриса треугольника или какие-либо другие линии. Для решения таких задач требуется хорошее знание базовых понятий, признаков, свойств, аксиом, позволяющее заметить определенные соотношения и закономерности в том или ином задании.

Следствие из свойства прямых

На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

Вначале следует отметить на прямой а произвольную точку, обозначив ее С1.
Далее можно провести через С1 линию с, перпендикулярную а.
Затем через точку А нужно начертить АС2, которая параллельна с.
После этого следует предположить о существовании перпендикуляра, который вместе с АС2 пересекает линию а с образованием третьего отрезка АС3.
Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

Решение задач по математике онлайн

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Программа для решения иррациональных уравнений и неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> –> sqrt(x) – квадратный корень x
x^(1/n) – корень степени n

Введите иррациональное уравнение или неравенство
Решить уравнение или неравенство

Немного теории.

Решение иррациональных уравнений и неравенств

1. Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование уравнения, а в чётную — НЕравносильное. Значит, основные принципиальные трудности связаны с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.

ПРИМЕР 1.
( sqrt[Large6normalsize] = sqrt[Large6normalsize] <2x-6>)

Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
( x^2-5x = 2x-6 Rightarrow )
( x^2-7x +6= 0 Rightarrow )
( x_1=1, ; x_2=6 )
Проверка. «Хорошие» корни можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При x = 1 заданное уравнение принимает вид ( sqrt[Large6normalsize] <-4>= sqrt[Large6normalsize] <-4>), во множестве действительных чисел такое «равенство» не имеет смысла. Значит, 1 — посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения после возведения в шестую степень. При х = 6 заданное уравнение принимает вид ( sqrt[Large6normalsize] <6>= sqrt[Large6normalsize] <6>) — это верное равенство.
Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.
Ответ: х = 6

Введя новую переменную ( u=x^2-x), получим существенно более простое иррациональное уравнение:
( sqrt+sqrt = sqrt <2u+21>).
Возведём обе части уравнения в квадрат:
( (sqrt+sqrt)^2 = (sqrt<2u+21>)^2 Rightarrow )
( u+2 +2sqrtsqrt +u+7 = 2u+21 Rightarrow )
( sqrt <(u+2)(u+7)>= 6 Rightarrow )
( u^2+9u+14=36 Rightarrow )
( u^2+9u-22=0 Rightarrow )
( u_1=2, ; u_2=-11 )
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение ( sqrt+sqrt = sqrt <2u+21>) показывает, что ( u_1=2 ) — корень уравнения, а ( u_2=-11 ) — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение ( x^2-x=2 Rightarrow x^2-x-2=0 ), решив которое находим два корня: ( x_1=2, ; x_2=-1 )
Ответ: 2; -1.

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножим обе его части на 2:
( 2x^2 +6 -2sqrt <2x^2-3x+2>= 3x+12 Rightarrow )
( 2x^2 -3x +2 -2sqrt <2x^2-3x+2>-8 = 0 Rightarrow )

Введя новую переменную ( y=sqrt <2x^2-3x+2>), получим: ( y^2-2y-8=0 ), откуда ( y_1=4, ; y_2=-2 ). Значит, исходное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
( left[begin sqrt <2x^2-3x+2>=4 \ sqrt <2x^2-3x+2>= -2 endright. )

Из первого уравнения этой совокупности находим: ( x_1=3<,>5; ; x_2=-2 ). Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна исходному уравнению, причём второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение ( sqrt <2x^2-3x+2>=4). Эта подстановка показывает, что оба найденных значения x являются корнями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 3,5; -2.

ПРИМЕР 4.
( 2x -5 +2sqrt +2sqrt +2sqrt= 48 )

Областью определения уравнения является луч ( [5; ; +infty) ). В этой области выражение ( sqrt ) можно представить следующим образом: ( sqrt = sqrtsqrt ). Теперь уравнение можно переписать так:
( x+x -5 +2sqrtsqrt +2sqrt +2sqrt -48 = 0 Rightarrow ) ( (sqrt)^2 +2sqrtsqrt +(sqrt)^2 +2(sqrt+sqrt) -48 = 0 Rightarrow ) ( (sqrt +sqrt)^2 +2(sqrt+sqrt) -48 = 0 )

Введя новую переменную ( y= sqrt +sqrt ), получим квадратное уравнение ( y^2+2y-48=0 ), из которого находим: ( y_1=6, ; y_2=-8 ). Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:
( left[begin sqrt +sqrt =6 \ sqrt +sqrt = -8 endright. )
Из первого уравнения совокупности находим ( x= left( frac<41> <12>right)^2 ), второе уравнение совокупности решений явно не имеет.

Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что ( x= left( frac<41> <12>right)^2 ) — является корнем уравнения ( sqrt +sqrt =6 ). Но это уравнение равносильно исходному уравнению, значит, ( x= left( frac<41> <12>right)^2 ) — является корнем и исходного уравнения.
Ответ: ( x= left( frac<41> <12>right)^2 )

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые переменные.

ПРИМЕР 5.
( sqrt[Large4normalsize] <1-x>+ sqrt[Large4normalsize] <15+x>=2 )

Введём новые переменные: ( left u=sqrt[Large4normalsize] <1-x>\ v=sqrt[Large4normalsize] <15+x>endright. )

Тогда уравнение примет вид (u+v=2). Но для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвёртую степень обе части каждого из уравнений системы, получим:
( left u^4=1-x \ v^4= 15+x endright. )

Сложим уравнения последней системы: (u^4 +v^4 =16). Таким образом, для нахождения u, v мы имеем следующую симметрическую систему уравнений:
( left u+v=2 \ u^4 +v^4 =16 endright. )
Решив её, находим: ( left u_1=0 \ v_1 =2; endright. ) ( left u_2=2 \ v_2 =0 endright. )

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений: ( left sqrt[Large4normalsize] <1-x>=0 \ sqrt[Large4normalsize] <15+x>=2; endright. ) ( left sqrt[Large4normalsize] <1-x>=2 \ sqrt[Large4normalsize] <15+x>=0 endright. )

Решив эту совокупность, находим: (x_1=1, ; x_2=-15 )

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.
( sqrt[Large3normalsize] <2x+1>+ sqrt[Large3normalsize] <6x+1>= sqrt[Large3normalsize] <2x-1>)

Возведём обе части уравнения в куб:
( 2x+1 + 3sqrt[Large3normalsize] <(2x+1)^2>cdot sqrt[Large3normalsize] <6x+1>+ 3sqrt[Large3normalsize] <2x+1>cdot sqrt[Large3normalsize] <(6x+1)^2>+6x+1 = 2x-1 Rightarrow ) ( 3sqrt[Large3normalsize] <2x+1>cdot sqrt[Large3normalsize] <6x+1>cdot (3sqrt[Large3normalsize] <2x+1>+ sqrt[Large3normalsize] <6x+1>) = -6x-3 )

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму ( sqrt[Large3normalsize] <2x+1>+ sqrt[Large3normalsize] <6x+1>) на выражение ( sqrt[Large3normalsize] <2x-1>):
( 3sqrt[Large3normalsize] <2x+1>cdot sqrt[Large3normalsize] <6x+1>cdot sqrt[Large3normalsize] <2x-1>= -6x-3 Rightarrow )
( 3sqrt[Large3normalsize] < (2x+1)(6x+1)(2x-1) >= -2x-1 )
Возведём обе части в куб:
( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 Rightarrow )
( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 Rightarrow )
( 16x^2(2x+1) =0 Rightarrow )
( x_1= -0<,>5; ; x_2=0 )

Проверка. Подстановкой найденных значений x в исходное уравнение убеждаемся, что его корнем является только x = -0,5.
Ответ: -0,5.

2. Иррациональные неравенства

Рассмотрим иррациональное неравенство вида ( sqrt 0 ). Осталось лишь заметить, что при одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного иррационального неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат представляет собой равносильное преобразование неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство ( sqrt 0 \ f(x) 0 \ x^2-x-12 0 \ x > -12 endright. )

Получаем: ( x geqslant 4)

Ответ: ( x geqslant 4)

Рассмотрим теперь неравенство вида ( sqrt > g(x) ).

Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять условию ( f(x) geqslant 0 ).
Во-вторых, замечаем, что при ( g(x) g(x) ) не вызывает сомнений.
В-третьих, замечаем, что если ( g(x) geqslant 0 ), то можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство ( sqrt > g(x) ) равносильно совокупности систем неравенств:
( left f(x) geqslant 0 \ g(x) (g(x))^2 endright. )

Во второй системе первое неравенство является следствием третьего, его можно не писать.

ПРИМЕР 8.
( sqrt geqslant x )

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
( left x^2-x-12 geqslant 0 \ x 0 )

Преобразуем неравенство к виду ( x^2+3x-10 +3sqrt >0 ) и введём новую переменную ( y= sqrt ). Тогда последнее неравенство примет вид ( y^2+3y-10 >0 ), откуда находим, что либо (y 2).

Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух неравенств:
( left[begin sqrt 2 endright. )

Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим:
( x^2+3x >4 Rightarrow )
( (x+4)(x-1) >0 Rightarrow )
( x 1 )
Ответ: ( x 1 ).