Решение задач на теплообмен с использованием уравнения теплового баланса (методические рекомендации)

Разделы: Физика

Пособие рекомендовано учащимся, желающим получить практические навыки в решении задач на теплообмен, и может быть полезным для учителей и абитуриентов.

При соприкосновении тел, имеющих разные температуры, между этими телами происходит теплообмен. С точки зрения молекулярно-кинетической теории, это объясняется так: молекулы более нагретого тела имеют большую кинетическую энергию, чем молекулы тела, менее нагретого. При “столкновениях” молекул соприкасающихся тел происходит процесс выравнивания их средних кинетических энергий. Молекулы более нагретого тела теряют часть своей кинетической энергии, при этом нагретое тело будет остывать. Кинетическая энергия молекул холодного тела возрастает, поэтому температура этого тела будет увеличиваться. В конечном итоге кинетические энергии молекул обоих тел сравняются, и температуры тел станут одинаковыми. На этом теплообмен прекращается.

Энергию, которую тело получает или отдаёт в процессе теплообмена, называют количеством теплоты (Q).

Количество теплоты, как и все другие виды энергии, измеряется в системе СИ в Джоулях: [Q] = Дж. (Здесь и в дальнейшем единицы измеряются в системе СИ.)

Нагревание или охлаждение

При нагревании или охлаждении тела количество теплоты, поглощаемое или выделяемое им, рассчитывается по формуле:

(t₂ – t₁) – разность температур тела,° С (или К);

с – удельная теплоёмкость вещества, из которого состоит тело,

Удельная теплоёмкость вещества – это количество теплоты, которое нужно сообщить одному килограмму данного вещества, чтобы увеличить его температуру на 1° С (или это количество теплоты, которое выделяет один килограмм данного вещества, остывая на 1° С).

Значения удельных теплоемкостей других веществ можно найти в справочниках, а также в школьном учебнике или задачнике.

При нагревании тела его внутренняя энергия увеличивается. Это требует притока энергии к телу от других тел. Значит, оно поглощает некоторое количество теплоты, принимая его от других тел, участвующих в теплообмене.

При охлаждении тела его внутренняя энергия уменьшается. Поэтому остывающее тело отдаёт кому-либо некоторое количество теплоты.

Обычно конечную температуру, установившуюся в результате теплообмена, обозначают греческой буквой (тэта).

В формуле (1) произведение cm для каждого конкретного тела есть величина постоянная. Её называют теплоёмкостью тела и обозначают С:

Размерность теплоемкости: Теплоемкость тела показывает, сколько энергии нужно подвести к данному телу, чтобы нагреть его на 1° С (или сколько энергии выделяет это тело, остывая на 1° С).

Теплообмен между телами, имеющими одинаковые температуры, не происходит, даже если контактируют вещества, находящиеся в разных агрегатных состояниях. Например, при температуре плавления (0° С) лёд и вода могут находиться бесконечно долго, при этом количество льда и количество воды останутся неизменными. Аналогично ведут себя пар и жидкость, находящиеся при температуре кипения. Теплообмен между ними не происходит.

Плавление или кристаллизация

Если при нагревании тела его температура достигнет температуры плавления, то начинает происходить процесс перехода этого вещества из твердого состояния в жидкое. При этом идут изменения в расположении и характере взаимодействия молекул. Температура при плавлении не изменяется. Это означает, что средние кинетические энергии молекул жидкости и твердого тела при температуре плавления одинаковы. Однако внутренняя энергия тела при плавлении возрастает за счет увеличения энергии взаимодействия молекул. Количество теплоты, поглощаемое телом при плавлении, рассчитывается по формуле

(3)

где m – масса тела, кг;

– удельная теплота плавления,

При кристаллизации, наоборот, внутренняя энергия тела уменьшается на величину и эта теплота данным телом выделяется. Она поглощается другими телами, участвующими в теплообмене.

Удельная теплота плавления показывает, сколько энергии нужно сообщить одному килограмму данного вещества, взятого при температуре плавления, чтобы полностью превратить его при этой температуре в жидкость (или сколько энергии выделяет 1 кг жидкости, взятой при температуре кристаллизации, если вся она при этой температуре полностью превратится в твёрдое тело).

Удельную теплоту плавления любого вещества можно найти в справочниках. Для льда же

Температура плавления у каждого вещества своя. Её также можно найти в справочниках. Важно подчеркнуть, что температура плавления вещества равна температуре кристаллизации этого же вещества. У льда t_пл = 0° С.

Кипение или конденсация

При достижении жидкостью температуры кипения начинает происходить другой фазовый переход – кипение, при котором расстояния между молекулами значительно увеличиваются, а силы взаимодействия молекул уменьшаются. Вся подводимая к жидкости теплота идет на разрыв связей между молекулами. При конденсации пара в жидкость, наоборот, расстояния между молекулами значительно сокращаются, а силы взаимодействия молекул увеличиваются. Для кипения жидкости энергию к жидкости нужно подводить, при конденсации пара энергия выделяется. Количество теплоты, поглощаемое при кипении или выделяемое при конденсации, рассчитывается по формуле:

Уравнение теплового баланса

Теплообмен в системе — в чем смысл в физике
Уравнение теплового баланса
Примеры решения задач

Теплообмен в системе — в чем смысл в физике

Все тела в замкнутой системе «взаимодействуют» друг с другом путем отдачи либо получения энергии. При этом начальная температура каждого из них меняется: более горячие отдают «градусы» менее нагретым, и наоборот: холодные нагреваются до средней по системе температуры.

Такая теплопередача может осуществляться как непосредственно от тела к телу, так и путем перегородок, заключенных внутрь системы. Говоря языком физики, устанавливается термодинамическое равновесие.

Теплообмен (теплопередача) — определенный физический процесс, при котором тепловая энергия переходит от тела, имеющего более высокую температуру, к телу, менее нагретому.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Он протекает до тех пор, пока в системе установится термодинамическое равновесие.

Термодинамическое равновесие — состояние замкнутой системы тел с неизменными параметрами: температурой, давлением, объемом, энтропией.

На основании закона сохранения энергии получается, что для замкнутой системы та теплота, которая теряется телами, более нагретыми, равна тому количеству, которое приобретают менее холодные.

Когда в результате такого обмена теплом внутренняя энергия нагревающегося тела (и, соответственно, его температура) меняется, имеет значение еще один параметр. Это теплоемкость вещества. Она показывает, сколько нужно энергии, чтобы нагреть 1 кг вещества на 1 Кулон. Рассчитать можно по формуле:

(Q=ctimes mtimes(t2-t1)=ctimes mtimesDelta t)

Единицы измерения температуры в данной формуле не имеют значения, поскольку выражение затрагивает разницу градусов.

Из математического выражения видно, если температура второго тела (t2) выше первого, то Q положительное. Если t2 меньше, чем t1, то количество теплоты отрицательно, следовательно, тепло отдается.

Способность тела передавать либо принимать энергию (тепло) определяется удельной теплоемкостью вещества, из которого оно изготовлено. Если эту величину умножить на конкретную массу тела, то получится высчитать теплоемкость тела. Для этого существует формула:

Уравнение теплового баланса

Когда система тел замкнута, никакого движения энергии, кроме обмена между участниками, не происходит. При этом то тепло, которое одни тела отдают, равняется тому, которые получают более холодные. Теплообмен перестает происходить на том этапе, когда температуры участников изолированной системы уравниваются, т.е. наступает термодинамическое равновесие. Это есть пояснение уравнения теплового баланса, математическая запись которого имеет следующий вид:

Для замкнутой системы сумма модулей количества теплоты, которые отдаются одними телами и сумма модулей количества теплоты, которые получаются другими, являющимися полноправными участниками теплообмена, равна 0.

Поскольку в формуле заложены значения параметров по модулю, всегда из большего вычитается меньшее. Вид уравнения, записанного без модулей, подразумевает вычитание из конечной температуры первичной.

Примеры решения задач

Использование уравнения теплового баланса необходимо при решении задач как для тел, поглощающих тепло (нагревание, парообразование, плавление), так и отдающих его другим телам замкнутой системы (кристаллизация, конденсация, сгорание топлива, охлаждение).

Какую минимальную массу льда нужно положить в калориметр с 0,5 кг воды с температурой 20°C, чтобы охладить ее до 0°C?

Известно, что удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/кг×оС, =3,3×10 5 Дж⁄кг.

Принимается условие, что система тел, о которой идет речь, замкнутая.

Исходя из уравнения теплового баланса,

То тепло, которое отдает вода, можно измерить по формуле:

Лед, плавясь от нагревания, получает следующее количество теплоты:

(Q_л=lambda_ лtimes m_л)

Зная, что сумма этих двух выражений равна нулю, получаем формулу для нахождения искомого значение:

(lambda _лtimes m_л=-ctimes m_вtimes(t_<2в>-t_<1в>))

(lambda_лtimes m_л=ctimes m_вtimes(t_<1в>-t_<2в>))

Подставив в формулу значения, получаем ответ.

В стакан с водой при температуре 20°C, заполненный на одну четверть объема, долили три четверти кипятка. Какая температура воды стала, если условно рассматривать систему замкнутой, т.е. тепловое излучение, идущее на нагревание стекла не учитывать.

В основе решения лежит уравнение теплового баланса:

Объем горячей воды по условии равен три четверти стакана, холодной — одна четверть. Зная ρ воды, по формуле можно найти соответствующую массу:

Теперь, используя формулы теплового равновесия, выводим конечную формулу для решения задачи:

(1/4times Vtimesrhotimes ctimes(t_2times ctimes m-t_1times x)=3/4Vtimesrhotimes c_вtimes(t_<1г>-t_2times ctimes m))

Обработав формулу математически, выводится следующее отношение:

(4t_<2cm>=3t_<1г>+t_<1x>)
Подставляя имеющиеся значения, легко находится искомая величина.

Тепловое равновесие и уравнение теплового баланса

Тела, температура которых отличается, могут обмениваться тепловой энергией. То есть, между телами будет происходить теплообмен. Самостоятельно тепловая энергия переходит от более нагретых тел к менее нагретым.

Что такое теплообмен и при каких условиях он происходит

Тела, имеющие различные температуры, будут обмениваться тепловой энергией. Этот процесс называется теплообменом.

Теплообмен – процесс обмена тепловой энергией между телами, имеющими различные температуры.

Рассмотрим два тела, имеющие различные температуры (рис. 1).

Тело, имеющее более высокую температуру, будет остывать и отдавать тепловую энергию телу, имеющему низкую температуру. А тело с низкой температурой будет получать количество теплоты и нагреваться.

На рисунке, горячее тело имеет розовый оттенок, а холодное изображено голубым цветом.

Когда температуры тел выравниваются, теплообмен прекращается.

Чтобы теплообмен происходил, нужно, чтобы тела имели различные температуры.

Когда температура тел выравняется, теплообмен прекратится.

Тепловое равновесие — это состояние, при котором тела имеют одинаковую температуру.

Уравнение теплового баланса и сохранение тепловой энергии

Когда тело остывает, оно отдает тепловую энергию (теплоту). Утерянное количество теплоты Q имеет знак «минус».

А когда тело нагревается – оно получает тепловую энергию. Приобретенное количество теплоты Q имеет знак «плюс».

Эти факты отражены на рисунке 2.

Закон сохранения тепловой энергии: Количество теплоты, отданное горячим телом равно количеству теплоты, полученному холодным телом.

Примечание: Существует и другая формулировка закона сохранения энергии: Энергия не появляется сама собой и не исчезает бесследно. Она переходит из одного вида в другой.

Уравнение теплового баланса

Тот факт, что тепловая энергия сохраняется, можно записать с помощью математики в виде уравнения. Такую запись называют уравнением теплового баланса.

Если несколько тел участвуют в процессе теплообмена

Иногда в процессе теплообмена участвуют несколько тел. Тогда, для каждого тела нужно записать формулу количества теплоты Q. А потом все количества теплоты подставить в уравнение для теплового баланса:

[large boxed < Q_<1>+ Q_ <2>+ Q_ <3>+ ldots + Q_ = 0 > ]

Q для каждого нагреваемого тела будет обладать знаком «+»,
Q для каждого охлаждаемого тела — знаком «-».

Пример расчетов для теплообмена между холодным и горячим телом

К горячей воде, массой 200 грамм, имеющей температуру +80 градусов Цельсия, добавили холодную воду, в количестве 100 грамм при температуре +15 градусов Цельсия. Какую температуру будет иметь смесь после установления теплового равновесия? Считать, что окружающая среда в теплообмене не участвует.

Примечание: Здесь мы рассматриваем упрощенную задачу, для того, чтобы облегчить понимание закона сохранения энергии. Мы не учитываем в этой задаче, что вода содержится в емкости. И часть тепловой энергии будет затрачиваться на то, чтобы изменить температуру емкости.

При решении других задач обязательно учитывайте, что емкость, в которой будет содержаться вещество, имеет массу. И часть тепловой энергии будет затрачиваться на то, чтобы изменить температуру емкости.

Решение:

В условии сказано, что окружающая среда в теплообмене не участвует. Поэтому, будем считать рассматриваемую систему замкнутой. А в замкнутых системах выполняются законы сохранения. Например, закон сохранения энергии.

Иными словами, с сосудом и окружающим воздухом теплообмен не происходит и, все тепловая энергия, отданная горячей водой, будет получена холодной водой.

1). Запишем уравнение теплового баланса, в правой части которого можно записать ноль:

2). Теперь запишем формулу для каждого количества теплоты:

Примечания:

(large c_> ) – удельную теплоемкость воды находим в справочнике;
Массу воды переводим в килограммы;
Горячая вода остывает и отдает тепловую энергию. Поэтому, разность (large (t_> — t_> ) ) будет иметь знак «минус», потому, что конечная температура горячей воды меньше ее начальной температуры;
Холодная вода получает тепловую энергию и нагревается. Из-за этого, разность (large (t_> — t_> ) ) будет иметь знак «плюс», потому, что конечная температура холодной воды больше ее начальной температуры;

3). Подставим выражения для каждого Q в уравнение баланса:

4). Для удобства, заменим символы числами:

[large 4200 cdot 0,2 cdot (t_> — 80 ) + 4200 cdot 0,1 cdot (t_> — 15 ) = 0 ]

[large 840 cdot (t_> — 80 ) + 420 cdot (t_> — 15 ) = 0 ]

Раскрыв скобки и решив это уравнение, получим ответ:

Ответ: Температура смеси после прекращения теплообмена будет равна 58,33 градуса Цельсия.

Задача для самостоятельного решения:

В алюминиевом калориметре массой 100 грамм находится керосин массой 250 грамм при температуре +80 градусов Цельсия. В керосин поместили свинцовый шарик, массой 300 грамм. Начальная температура шарика +20 градусов Цельсия. Найдите температуру тел после установления теплового равновесия. Внешняя среда в теплообмене не участвует.

Примечание к решению: В левой части уравнения теплового баланса теперь будут находиться три слагаемых. Потому, что мы учитываем три количества теплоты:

(large Q_ <1>) – охлаждение алюминия от температуры +80 градусов до конечной температуры;
(large Q_ <2>) – охлаждение керосина от температуры +80 градусов до конечной температуры;
(large Q_ <3>) – нагревание свинца от температуры +20 градусов до конечной температуры;

А справа в уравнение теплового баланса запишем ноль. Так как внешняя среда в теплообмене не участвует.

Количество теплоты. Уравнение теплового баланса

Урок 36. Физика 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока “Количество теплоты. Уравнение теплового баланса”

На прошлых уроках мы говорили о том, что изменить состояние термодинамической системы можно двумя способами. Первый характеризуется передачей энергии в процессе механического взаимодействия тел. Такую форму передачи энергии в термодинамике (как и в механике) называют работой.

Второй способ передачи энергии осуществляется при непосредственном обмене энергией между хаотически движущимися частицами взаимодействующих тел. Если, например, привести в соприкосновение два тела с разными температурами, то частицы более нагретого тела будут передавать часть своей энергии частицам более холодного тела. В результате внутренняя энергия первого тела уменьшается, а второго — увеличивается.

Процесс передачи энергии от одного тела к другому без совершения работы называют теплопередачей.

Ещё в восьмом классе мы говорили о том, что существуют три вида теплопередачи: это теплопроводность, конвекция и излучение.

Давайте вспомним, что теплопроводностью называется процесс теплообмена между телами (или частями тела) при их непосредственном контакте. При теплопроводности не происходит переноса вещества.

Конвекция представляет собой теплопередачу нагретыми потоками жидкости или газа от одних участков занимаемого ими объёма в другие (то есть конвекция сопровождается переносом вещества). Она может протекать только в жидкостях и газах, так как в твёрдом теле вещество не может перемещаться по объёму.

А теплообмен при излучении осуществляется на расстоянии посредством электромагнитных волн. Главной особенностью излучения является то, что оно возможно не только в среде, но и в вакууме.

Количественной мерой энергии, переходящей от одного тела к другому в процессе теплопередачи, является количество теплоты.

Напомним, что обозначается количество теплоты большой латинской буквой Q. А единицей её измерения в СИ является джоуль (Дж). Но иногда для измерения количества теплоты используют и внесистемную единицу — калорию.

Одна калория — это количество теплоты, которое необходимо затратить, чтобы нагреть один грамм воды на один градус Цельсия^ 1 кал = 4,19 Дж.

Основное отличие работы от количества теплоты состоит в том, что работа характеризует процесс изменения внутренней энергии системы, сопровождающийся превращением энергии из одного вида в другой. Количество теплоты же характеризует процесс передачи внутренней энергии от одних тел к другим (от более нагретых к менее нагретым), не сопровождающийся превращениями энергии.

А теперь давайте с вами вспомним от чего зависит количество теплоты. Для этого давайте проведём несколько простых экспериментов. Возьмём два одинаковых сосуда в которых находится разное количество воды, но при одинаковой температуре.

При помощи электроплитки будем подводить тепло к сосудам. Спустя несколько минут после включения плитки мы с вами заметим, что вода в сосуде с меньшим количеством воды нагрелась на большее число градусов, хотя оба сосуда получили одно и тоже количество теплоты. Следовательно, чем больше масса тела, тем большее количество теплоты требуется к нему подвести для нагревания на одно и тоже число градусов.

Продолжим опыты. Опять берём два одинаковых сосуда, но с равным количеством воды при одинаковой температуре. Будем нагревать воду в первом сосуде на 20 о С, а во втором — на 60 о С. Включим секундомер одновременно с плиткой и немного подождём.

На нагревание воды на 20 о С тратится почти в три раза меньше времени, чем на нагревание такой же массы воды, но на 60 о С. Значит, количество теплоты пропорционально изменению температуры тела.

Теперь пусть у нас в одном из сосудов находится вода, а во втором — такое же количество бензина. Через несколько минут после включения нагревателей, проверим температуры обеих жидкостей.

Не трудно заметить, что, получив за одинаковый промежуток времени от нагревателя равное с водой количество теплоты, бензин нагрелся сильнее. Значит, количество теплоты, которое необходимо затратить для увеличения температуры тела, зависит и от рода вещества, из которого это тело сделано:

При остывании тела его конечная температура оказывается меньше начальной, и, поэтому, количество теплоты, отдаваемой телом, отрицательно.

В полученной нами в формуле коэффициент с — это удельная теплоёмкость вещества. Она численно равна количеству теплоты, которую получает или отдаёт вещество массой один килограмм при изменении его температуры на один кельвин (или один градус Цельсия, так изменение температуры в этих шкалах совпадают).

Из определения следует, что единицей удельной теплоёмкости в СИ является:

Значения удельной теплоёмкости веществ определяют экспериментально.

Самую большую удельную теплоёмкость, из представленных в таблице веществ, имеет вода. Для нагревания одного её килограмма всего на один кельвин необходимо затратить 4200 Дж теплоты.

Обратите внимание ещё и на то, что в этой таблице нет удельных теплоёмкостей газов. Дело в том, что их удельная теплоёмкость зависит от того, при каком процессе осуществляется теплопередача. Например, для нагревания газа при постоянном давлении ему нужно передать большее количество теплоты, чем для его нагревания при постоянном объёме, так как в первом случае газ будет расширяться и совершать работу, а во втором — только нагреваться. Но об удельной теплоёмкости газов мы с вами поговорим в одном из следующих уроков.

Следует помнить, что формула, которую мы получили для определения количества теплоты, справедлива только в том случае, если процесс теплопередачи НЕ сопровождается изменением агрегатного состояния вещества. Давайте посмотрим, что же будет происходить при фазовых переходах. Для этого проведём такой опыт. Возьмём два сосуда в которые поместим разное количество льда, находящегося при температуре плавления, и будем их нагревать. Не трудно заметить, что несмотря на постоянное подведение теплоты, температура льда остаётся постоянной. И она не будет изменяться до тех пор, пока весь лёд не перейдёт в жидкое состояние. Только после этого температура образовавшейся изо льда воды начинает повышаться. При этом, обратите внимание, что количество теплоты, которое необходимо затратить на плавление кристаллического вещества, предварительно нагретого до температуры плавления, прямо пропорционально массе этого вещества:

При обратном процессе, то есть в процессе кристаллизации, такое же количество теплоты вещество будет отдавать:

Коэффициент пропорциональности λ, входящий в формулу, называется удельной теплотой плавления. Она численно равна количеству теплоты, необходимому для превращения кристаллического вещества массой один килограмм, взятого при температуре плавления, в жидкость той же температуры:

Из определения следует, что единицей измерения удельной теплоты плавления в СИ является джоуль, делённый на килограмм:

Продолжим наши опыты. Пусть у нас есть сосуд с водой, к которому постоянно подводится теплота. Пока нагреваемая жидкость не кипит, часть сообщаемой ей энергии расходуется на компенсацию потери энергии при испарении, а часть — на увеличение внутренней энергии, о чём свидетельствует увеличение её температуры.

Однако, когда жидкость закипит, её температура перестаёт меняться, хотя теплота продолжает подводится. Очевидно, что теперь вся подводимая теплота расходуется на переход жидкости в газообразное состояние. И так происходит до тех пор, пока вся жидкость не превратится в пар.

Таким образом, чтобы превратить в пар жидкость при температуре кипения, необходимо передать ей определённое количество теплоты, которое прямо пропорционально массе жидкости:

При конденсации пара происходит выделение такого же количества теплоты:

Коэффициент пропорциональности «Эр» (r), входящий в формулу, называется удельной теплотой парообразования. Он численно равен количеству теплоты, которое необходимо передать жидкости массой один килограмм, находящейся при температуре кипения, для превращения её при постоянной температуре в пар:

Из определения следует, что единицей измерения удельной теплоты плавления в СИ является джоуль на килограмм:

В заключение отметим, что при теплообмене двух или нескольких тел абсолютное значение количества теплоты, которое отдало более нагретое тело, равно количеству теплоты, которое было получено более холодным телом.

Учитывая, что отданное количество теплоты считается отрицательным, а полученное — положительным, получается, что при теплообмене между телами, образующими теплоизолированную систему, суммарное количество теплоты, полученное ими, равняется нулю:

Записанное нами равенство называется уравнением теплового баланса и выражает, по сути, закон сохранения энергии.

Основное уравнение теплопередачи и уравнение теплового баланса

Теплопередача. Теплоотдача

Теплота от одной среды к другой может передаваться при непосредственном контакте или через стенку.

Если теплота переходит от более нагретой среды к менее нагретой через разделяющую стенку , то процесс называется теплопередачей .

Если теплота переносится от стенки к среде (или наоборот), то процесс называется теплоотдачей .

В химической технологии теплообменные процессы осуществляются в аппаратуре, которая называется теплообменной аппаратурой .

Жидкости или газы, участвующие в теплообмене, называются рабочими средами.

Основной характеристикой теплообменного аппарата является поверхность теплообмена .

Связь между количеством теплоты передаваемым в аппарате и поверхностью теплообмена определяется основным кинетическим соотношением, которое называется о сновным уравнением теплопередачи:

(1)

– количество переданного тепла, Дж;

– локальный коэффициент теплопередачи между средами, ;

– разность температур между средами, 0 С;

– элемент поверхности теплообмена, м 2 ;

– время теплообмена, с

– коэффициент теплопередачи средний для всей поверхности, .

Физический смысл коэффициента теплопередачи:

Коэффициент теплопередачи показывает, какое количество теплоты в Дж переходит в 1с от более нагретого тела к менее нагретому через поверхность теплообмена в 1м 2 при средней разности температур равной 1 град. Коэффициент теплопередачи определяет интенсивность теплообмена. Из основного уравнения теплопередачи (1) можно определить поверхность теплопередачи . . (2)

определяется из уравнения теплового баланса:

(3)

– потоки тепла, которые поступают в аппарат с исходными продуктами;

– теплота реакций ( теплота химических превращений; испарение жидкостей; выделение паров или газов из твердых поглотителей; теплота плавления и растворения). Для определения этих теплот используют справочные данные.

– потоки тепла, которые выходят из аппарата с конечными продуктами;

– потери тепла в окружающую среду (» 3¸5%).

Закон Фурье (установлен опытным путем) – количество теплоты переданного теплопроводностью, прямо пропорционально градиенту температуры , времени и площади сечения , перпендикулярного направлению теплового потока:

, (4)

– коэффициент теплопроводности, Вт/м?град.

Коэффициент теплопроводности l показывает, какое количество теплоты в Дж проходит в 1с через 1м 2 поверхности при разности температур в 1 0 на единицу длины нормали к изотермической поверхности. (Изотермическая поверхность – геометрическое место точек с одинаковой температурой).

Плотность теплового потока . (5)

( ²-² означает что тепло перемещается в сторону падения температуры).

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Процесс распространения теплоты теплопроводностью математически описывается дифференциальным уравнением, выведенным на основе закона сохранения энергии.

; (6) –

Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной среде . – коэффициент температуропроводности; характеризует теплоинерционные свойства вещества. Чем больше , тем тело быстрее охлаждается (нагревается).

,,– не изменяются по направлению и во времени.

Для стационарных процессов –,т.е. температура не меняется со временем и уравнение (6) принимает вид .Т.к. а¹0, то (7)

или – Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной среде при стационарном тепловом режиме. Уравнения (6) и (7) дают возможность решать задачи связанные с распространением тепла в теле путем теплопроводности как при стационарном, так и при нестационарном тепловом режиме. При решении конкретных задач уравнения дополняются соответствующими начальными и граничными условиями.

Теплопроводность плоской стенки

В инженерной практике часто встречаются задачи стационарной теплопроводности через плоскую и цилиндрическую стенки. Это задачи расчета тепловой изоляции аппаратов и трубопроводов.

Стенка состоит из однородного материала; d – толщина стенки;l – теплопроводность материала стенки; t_ст1, t_ст2 – температура стенки. t_ст1 > t_ст2.

Вывод уравнения теплопроводности плоской стенки

Запишем уравнение Фурье в развернутом виде

При стационарном режиме температура в различных точках постоянна во времени, т.е

Температурное поле одномерно (плоская стенка) .

Т.о. уравнение Фурье приобретает вид: d 2 t/dx 2 =0.

Проинтегрируем дважды: dt/dx = C₁; t = C₁x+C₂. C₁ и С₂ найдем из условий на границе: х=0; х=d. При х=0 t_ст1=С₂, а при х=d t_ст2= C₁d+ t_ст1;

C₁= ( t_ст2– t_ст1)/d; В результате получим

Температура по толщине стенки х меняется линейно, температурный градиент сохраняет постоянное значение. Подставим полученное значение градиента температуры в (4)-з. Фурье и получим уравнение теплопроводности плоской стенки при стационарном тепловом режиме

Q=l/d( t_{ст 1} – t_ст2)Ft (9).

Здесь l/d – термическая проводимость стенки.

Теплопроводность цилиндрической стенки (самост.)

В тепловых процессах одновременно с теплопроводностью и конвекцией почти всегда имеет место тепловое излучение, причем, чем выше температура тела, тем больше тепла оно передает в виде теплового излучения.

Тепловое излучение

– это процесс распространения энергии в форме электромагнитных волн.

Теплообмен. Уравнение теплового баланса

Вы будете перенаправлены на Автор24

Как уже отмечалось, в термодинамике изучают общие закономерности преобразования энергии. Учитывается изменение внутренней энергии тел ($triangle U$). Ее изменение возможно двумя способами: совершением над системой работы (превращение механической энергии во внутреннюю) и передачей тепла (теплообмена).

Количество теплоты, полученное телом

Процесс обмена внутренними энергиями соприкасающихся тел, который не сопровождается совершением работы, называется теплообменом. Энергия, которая передана телу в результате теплообмена, называется количеством теплоты, полученным телом. Вообще говоря, изменение внутренней энергии тела в процедуре теплообмена – результат работы внешних сил, только это не работа, связанная с изменением внешних параметров системы. Это работа, которую производят молекулярные силы. Например, если привести в соприкосновении тело с горячим газом, то энергия газа передается через столкновения молекул газа с молекулами тела.

Мерой изменения внутренней энергии тела в процессе теплообмена выступает количество теплоты ($Q$).

В том случае, когда в системой работа не совершается, а тепло к системе подводится, то в соответствии с первым началом термодинамики (да законом сохранения энергии, что, в общем, эквивалентно) все тепло, переданное телу (системе), идет на изменение (увеличение) внутренней энергии тела (системы):

[triangle Q=triangle Uleft(1right).]

В таком случае $triangle U$ каждого тела системы при нагревании:

[triangle U=mctriangle T left(2right),]

где m — масса тела, c — удельная теплоемкость вещества, $triangle T$- изменение температуры тела.

$triangle U$ при плавлении или кристаллизации:

[triangle U=pm lambda m left(3right),]

где $lambda $ — удельная теплота плавления вещества.

$triangle U$ при парообразовании или конденсации:

[triangle U=pm rm left(4right),]

где r — удельная теплота парообразования.

Здесь необходимо напомнить, что процессы плавления, кристаллизации, парообразовании, конденсации происходят при постоянных температурах. Из формул (3 и 4) видно, что изменение внутренней энергии тела от температуры не зависит.

При полном сгорании топлива выделяется количество теплоты, которое определяется формулой:

[triangle Q=triangle U=qm left(5right),]

где q — удельная теплота сгорания топлива.

Уравнение теплового баланса

В системе, если она изолирована, происходит только теплообмен. Одним из основных законов физики и, в частности, термодинамики является закон сохранения и превращения энергии. Если в изолированной системе тел не происходит никаких превращений энергии кроме теплообмена, то количество теплоты, отданное телами, внутренняя энергия которых уменьшается, равно количеству теплоты, полученному телами, внутренняя энергия которых увеличивается. При этом суммарная энергия системы не изменяется, и тогда первое начало термодинамики записывается в следующем виде:

Это уравнение называют уравнением теплового баланса.

Или по-другому: суммарное количества теплоты, которое выделяется в теплоизолированной системе равно количеству теплоты (суммарному), которое в этой системе поглощается.

[Q_1+Q_2+Q_2+dots +Q_n=Q’_1+Q’_2+Q’_2+dots Q’_kleft(7right).]

По своему смыслу уравнение теплового баланса — это закон сохранения энергии для процессов теплообмена в термоизолированных системах.

Готовые работы на аналогичную тему

Задание: В латунный калориметр массой $m_k=$0,1 кг со льдом массы $m_i=$1,0 кг, имеющих температуру $Т_=$200 К, пустили пар при температуре $Т_p=$400 К, после чего в калориметре установилась температура $theta =$300 К. Определить массу $m_p$ пара. Считать систему лед-калориметр-пар изолированной.

По условию задачи теплообмен рассматриваемой системы с внешней средой не происходит. Поэтому внутренняя энергия системы не изменяется. Значит, все процессы, происходящие в системе, можно описать уравнением теплового баланса с учетом агрегатных превращений. В результате процесса плавления льда с помощью пара в калориметре останется вода (если судить по температуре, которая установилась по условию задачи $^circ!C>>$). В системе пар отдает теплоту (его внутренняя энергия уменьшается), а калориметр и лед теплоту получают (их внутренняя энергия увеличивается).

Добавим к исходным данным необходимые нам табличные данные:

Удельная теплоемкость пара $c_p$=1,7$^3frac<Дж><кгК>$,

Удельная теплоемкость воды $c_v$=4,2$cdot <10>^3frac<Дж><кгК>$,

Удельная теплоемкость льда $c_i$=2,1$cdot <10>^3frac<Дж><кгК>$,

Удельная теплоемкость латуни $c_k$=0, 386$cdot <10>^3frac<Дж><кгК>$,

Удельная теплота парообразования воды $r$=2,1$cdot <10>^6frac<Дж><кг>$

Удельная теплота плавления льда $lambda $=3,3$cdot <10>^5frac<Дж><кг>$

При решении задачи необходимо описать все стадии изменения внутренней энергии тел.

Пар, отдавая теплоту, остывает от температуры $Т_p$ до $Т_$=373К (температура конденсирования водяного пара при нормальных условиях).
Пар конденсируется при постоянной температуре $Т_$.
Полученная из пара вода остывает до температуры $theta $.

В результате внутренняя энергия пара уменьшается на:

$triangle U_1=Q_=m_pc_p(Т_p-Т_$)+$ m_pr+m_pc_v(Т_$-$ theta )$

Лед, получая теплоту, нагревается от $Т_$ до $Т_$=273 К (температура плавления льда при нормальных условиях).

Лед плавится.

Вода (полученная изо льда) нагревается до температуры $theta $.

В результате внутренняя энергия льда увеличивается на:

Калориметр, принимая теплоту, нагревается от $Т_$ до $theta $.

В результате его внутренняя энергия возрастает на:

Составим уравнение теплового баланса:

$triangle U_1=triangle U_2+triangle U_3$ или $Q_=Q’_+Q”_$

Для описания, имеющегося у нас процесса, уравнение теплового баланса получит вид:

$m_pc_p(Т_p-Т_$)+$ m_pr+m_pc_v(Т_$-$ theta )$=$ m_ic_i(Т_-Т_$)+$ m_ilambda +m_ic_vleft(_right)+m_kc_k(theta -T_)$

Подставим имеющиеся данные, произведем расчет:

Ответ: Масса пара приблизительно 392 гр.

Задание: Снеготаялка имеет КПД ($eta $) равный 25%. Какую массу льда модно растопить, если сжечь ($m_w$) 1 тонну дров, а температура льда минус $t_i=-$100C$to T_i=263K$.

Удельная теплота плавления льда $lambda $=3,3$cdot <10>^5frac<Дж><кг>$.

Удельная теплоемкость льда $c_i$=2,1$cdot <10>^3frac<Дж><кгК>.$

Удельная теплота сгорания дров q = 12,6$cdot <10>^6frac<Дж><кг>.$

Количество теплоты, которое пойдет на плавление льда, рассчитаем как:

Формула для расчета количества теплоты, которое необходимо для того, чтобы расплавить массу льда, равную m, будет иметь вид:

[Q^-=mc_ileft(T_0-T_iright)+lambda m left(2.2right),]

где $T_0=273 K$ — температура плавления льда при нормальных условиях.

Составим уравнение теплового баланса, выразим искомую массу:

Основы гидравлики

Уравнение Бернулли – фундамент гидродинамики

Бернулли – вне всякого сомнения – имя, знакомое и специалистам, и обывателям, которые хоть немного интересуются науками. Этот человек оставил ослепительный след в истории познавания человечеством окружающего мира, как физик, механик, гидравлик и просто общепризнанный гений, Даниил Бернулли навсегда останется в памяти благодарных потомков за свои идеи и выводы, которые долгое время существования человечества были покрыты мраком неизведанного.
Открытия и законы, которыми Бернулли осветил путь к познанию истины, являются фундаментальными, и придали ощутимый импульс развитию многих естественных наук. К таковым относится и уравнение Бернулли в Гидравлике, которое он вывел почти три века назад. Данное уравнение является основополагающим законом этой сложной науки, объясняющим многие явления, описанные даже древними учеными, например, великим Архимедом.

Попробуем уяснить несложную суть закона Бернулли (чаще его называют уравнением Бернулли), описывающего поведение жидкости в той или иной ситуации.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, которая ограничена сечениями S₁ и S₂ , (рис. 1) .
(Понятие идеальной жидкости абстрактно, как и понятие всего идеального. Идеальной считается жидкость, в которой нет сил внутреннего трения, т. е. трения между отдельными слоями и частицами подвижной жидкости).
Пусть в месте сечения S₁ скорость течения ν₁ , давление p₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁ . Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения ν₂ , давление p₂ и высота сечения h₂ .

За бесконечно малый отрезок времени Δt жидкость переместится от сечения S₁ к сечению S₁‘ , от S₂ к S₂‘ .

По закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂ – E₁ идеальной несжимаемой жидкости равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

где E₁ и E₂ – полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответственно.

С другой стороны, А – это работа, которая совершается при перемещении всей жидкости, расположенной между сечениями S₁ и S₂ , за рассматриваемый малый отрезок времени Δt .
Чтобы перенести массу m от S₁ до S₁‘ жидкость должна переместиться на расстояние L₁ = ν₁Δt и от S₂ до S₂‘ – на расстояние L₂ = ν₂Δt . Отметим, что L₁ и L₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 1 , приписывают постоянные значения скорости ν , давления р и высоты h .
Следовательно,

где F₁ = p₁S₁ и F₂ = – p₂S₂ (сила отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; см. рис. 1).

Полные энергии E₁ и E₂ будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (3) и (4) в (1) и приравнивая (1) и (2) , получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости, объем, занимаемый жидкостью, всегда остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (5) на ΔV , получим

где ρ – плотность жидкости.

После некоторых преобразований эту формулу можно представить в другом виде:

Поскольку сечения выбирались произвольно, то в общем случае можно записать:

ρv 2 /2 +ρgh +p = const (6) .

Выражение (6) получено швейцарским физиком Д. Бернулли (опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли.

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700 – 1782), швейцарский физик, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750).

Уравнение Бернулли по своей сути является интерпретацией закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Уравнение хорошо выполняется и для реальных жидкостей, для которых внутреннее трение не очень велико.

Величина р в формуле (6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела) , величина ρν 2 /2 – динамическим давлением, величина ρgh – гидростатическим давлением.

Статическое давление обусловлено взаимодействием поверхности жидкости с внешней средой и является составляющей внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема жидкости (т. е. характеризуется взаимодействием внутренних частиц жидкости, вызванных внешним возмущением – давлением) , а гидростатическое – положением этого объема жидкости в пространстве (зависит от высоты над поверхностью Земли) .
Динамическое давление характеризует кинематическую составляющую энергии этого объема, поскольку зависит от скорости потока, в котором движется рассматриваемый элементарный объем жидкости.

Для горизонтальной трубки тока изменение потенциальной составляющей ρgh будет равно нулю (поскольку h2 – h1 = 0) , и выражение (6) примет упрощенный вид:

ρv 2 /2 + p = const (7) .

Выражение p + ρν 2 /2 называется полным давлением.

Таким образом, содержание уравнения Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении можно сформулировать так: удельная механическая энергия при установившемся движении элементарной струйки идеальной жидкости, представляющая собой сумму удельной потенциальной энергии положения и давления и удельной кинетической энергии, есть величина постоянная.

Все члены уравнения Бернулли измеряются в линейных единицах.

В гидравлике широко применяют термин напор, под которым подразумевают механическую энергию жидкости, отнесенную к единице ее веса (удельную энергию потока или неподвижной жидкости) .
Величину v 2 /2g называют скоростным (кинетическим) напором, показывающим, на какую высоту может подняться движущаяся жидкость за счет ее кинетической энергии.
Величину h_п = p/ρg называют пьезометрическим напором, показывающим на какую высоту поднимается жидкость в пьезометре под действием оказываемого на нее давления.
Величину z называют геометрическим напором, характеризующим положение центра тяжести соответствующего сечения движущейся струйки над условно выбранной плоскостью сравнения.

Сумму геометрического и пьезометрического напоров называют потенциальным напором, а сумму потенциального и скоростного напора – полным напором.

На основании анализа уравнения Бернулли можно сделать вывод, что при прочих неизменных параметрах потока (жидкости или газа) величина давления в его сечениях обратно пропорциональна скорости, т. е. чем выше давление, тем меньше скорость, и наоборот.
Это явление используется во многих технических конструкциях и устройствах, например, в карбюраторе автомобильного двигателя (диффузор), в форме крыла самолета. Увеличение скорости воздушного потока в диффузоре карбюратора приводит к созданию разрежения, всасывающего бензин из поплавковой камеры, а специальная форма сечения самолетного крыла позволяет создавать на его нижней стороне зону повышенного давления, способствующего появлению подъемной силы.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Поскольку напор измеряется в линейных величинах, можно дать графическую (геометрическую) интерпретацию уравнению Бернулли и его составляющим.

На графике (рис. 2) представлена горизонтальная плоскость сравнения 0-0 , относительно которой геометрический напор будет в каждом сечении равен вертикальной координате z центра тяжести сечения (линия геометрического напора проходит по оси струйки) .
Линия К-К , характеризующая потенциальный напор струйки, получена сложением геометрического и пьезометрического напора в соответствующих сечениях (т. е. разница координат точек линии К-К и соответствующих точек оси струйки характеризует пьезометрический напор в данном сечении) .
Полный напор характеризуется линией MN , которая параллельна плоскости сравнения О-О , свидетельствуя о постоянстве полного напора H’_e (удельной механической энергии) идеальной струйки в любом ее сечении.

При движении реальной жидкости, обладающей вязкостью, возникают силы трения между ограничивающими поток поверхностями и между слоями внутри самой жидкости. Для преодоления этих сил трения расходуется энергия, которая превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущейся жидкостью. По этой причине графическое изображение уравнения Бернулли для идеальной жидкости будет отличаться от аналогичного графика для реальной жидкости.
Если обозначить h_f потери напора (удельной энергии) струйки на участке длиной L , то уравнение Бернулли для реальной жидкости примет вид:

Для реальной жидкости полный напор вдоль струйки не постоянен, а убывает по направлению течения жидкости, т. е. его графическая интерпретация имеет вид не прямой линии, а некоторой кривой МЕ (рис. 3) . Заштрихованная область характеризует потери напора.

Падение напора на единице длины элементарной струйки, измеренной вдоль оси струйки, называют гидравлическим уклоном:

Гидравлический уклон положителен, если напорная линия снижается по течению жидкости, что всегда бывает при установившемся движении.

Для практического применения уравнения Бернулли необходимо распространить его на поток реальной жидкости:

где α₁ , α₂ – коэффициенты Кориолиса, учитывающие различие скоростей в разных точках сечения потока реальной жидкости.
На практике обычно принимают α₁ = α₂ = α : для ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах α = 2, для турбулентного режима α = 1,04. 1,1.

Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности ( S₁v₁Δt = S₂v₂Δt ) видно, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, которая имеет различные сечения, скорость жидкости больше в более узких местах (где площадь сечения S меньше) , а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно увидеть, установив вдоль трубы ряд манометров.

Данный опыт показывает, что в манометрической трубке В , которая прикреплена к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С , которые прикреплены к широкой части трубы, что соответствует уравнению Бернулли.

Так как динамическое давление зависит от скорости движения жидкости (газа) , то уравнение Бернулли можно использовать для измерения скорости потока жидкости. Принципиально это свойство жидкости для определения скорости потока реализовано в так называемой трубке Пито – Прандтля (обычно ее называют трубкой Пито ) .

Трубка Пито – Прандтля ( см. рис. 2 ) состоит из двух тонких стеклянных трубок, одна из которых изогнута под прямым углом (Г-образно) , а вторая – прямая.
Одним из свободных концов каждая трубка присоединена к манометру.
Изогнутая трубка имеет открытый свободный конец, направленный против тока и принимающий напор потока жидкости, а вторая погружена в поток перпендикулярно току, и скорость потока на давление внутри трубки не влияет, т. е. внутри этой трубки действует лишь статическая составляющая давления жидкости.
Разница между давлением в первой трубке (полное давление) и второй трубке (статическое давление) , которую показывает манометр, является динамическим давлением, определяемым по формуле:

Определив с помощью трубки Пито – Прандтля динамическое давление в потоке жидкости, можно легко вычислить скорость этого потока:

Уравнение Бернулли также используют для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, с маленьким отверстием в боковой стенке на некоторой глубине ниже уровня жидкости.

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₁ выхода ее из отверстия) и применим уравнение Бернулли:

Так как давления р₁ и р₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р₁ = р₂ , то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности мы знаем, что ν₁/ν₂ = S₂/S₁ , где S₁ и S₂ – площади поперечных сечений сосуда и отверстия.
Если S₁ значительно превышает S₂ , то слагаемым ν₁ 2 /2 можно пренебречь и тогда:

Это выражение получило название формулы Торричелли.
Формулу Торричелли можно использовать для подсчета объемного (или массового) расхода жидкости, истекающего из отверстия в сосуде с поддерживаемым постоянно уровнем под действием атмосферного давления.
При этом используется формула Q = vS (для определения массового расхода – m = ρvS ) , по которой определяется расход жидкости за единицу времени.

Если требуется узнать расход жидкости за определенный промежуток времени t , то его определяют, умножив расход за единицу времени на время t .

Следует отметить, что такая методика расчета расхода реальной жидкости через отверстие в стенке сосуда дает некоторые погрешности, обусловленные физическими свойствами реальных жидкостей, поэтому требует применения поправочных коэффициентов (коэффициентов расхода) .

Пример решения задачи на определение расхода жидкости

Определить примерный объемный расход воды, истекающей из отверстия диаметром 10 мм, проделанном в вертикальной стенке широкого сосуда на высоте h = 1 м от верхнего, постоянно поддерживаемого, уровня воды за 10 секунд.
Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с 2 .
Коэффициент расхода воды через отверстие – µ_s = 0,62.

По формуле Торричелли определим скорость истечения воды из отверстия:

v = √2gh = √2×10×1 ≈ 4,5 м/с.

Определим расход воды Q за время t = 10 секунд:

Q = µ_svSt = 0,62×4,5×3,14×0,012/4 × 10 ≈ 0,0022 м 3 ≈ 2,2 литра.

На практике расход жидкости в трубопроводах измеряют расходомерами, например, расходомером Вентури. Расходомер Вентури (см рис. 2) представляет собой конструкцию из двух конических патрубков, соединенных цилиндрическим патрубком. В сечениях основной трубы и цилиндрического патрубка устанавливают трубки-пьезометры, которые фиксируют уровень жидкости, обусловленный полным давлением в потоке.

При прохождении жидкости через сужающийся конический патрубок часть потенциальной энергии потока преобразуется в кинетическую, и, наоборот, – при прохождении потока по расширяющемуся коническому патрубку, кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная растет. Это сказывается на скорости движения жидкости по рассматриваемым участкам. Перепад высоты уровня жидкости в пьезометрах позволяет рассчитать среднюю скорость потока жидкости на рассматриваемых участках и вычислить объемный расход по внутреннему сечению трубы.
В расходомерах учитываются потери напора в самом приборе при помощи коэффициента расхода прибора φ .