Теорема Вариньона – определение, формулировка, доказательство

Урок геометрии по теме “Теорема Вариньона. Решение задач”. 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (276 кБ)

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи:

  1. Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
  2. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
  3. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

Ход урока

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1. Теоретическая часть

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

Теорема Вариньона [2]

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

1) KLMN – параллелограмм;

  1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL средняя линия треугольника ABC(по определению),следовательно, KLAC. Аналогично, так как MN средняя линия треугольника ADC,то MNAC. Так как KLAC и MNAC следовательно, KLNM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
  2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
  3. т.е. SKBL = SABC/4, SMDN=SADS/4. Следовательно, S1+S3=SABCD /4. Аналогично, S2+S4=SABCD/4. Следовательно, S1+S3 + S2+S4 = SABCD /4 + SABCD/4 = SABCD/2.

Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

Читайте также:
Числовые промежутки определение, виды, функции, обозначение, неравенства

Следствия из теоремы Вариньона

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Доказать: KLMN – ромб

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

Доказать: KLMN – квадрат

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

2. Практическая часть. Решение задач.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

См. теорему Вариньона.

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].

Доказать: SABCD= KM*LN

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

Читайте также:
Площадь пирамиды определение, свойства усеченной и правильной фигуры

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Теорема Вариньона: примеры и решенные упражнения

Содержание:

  • Что такое теорема Вариньона?
  • Примеры
  • Первый пример
  • Второй пример
  • Решенные упражнения
  • Упражнение 1
  • Решение
  • Упражнение 2.
  • Решение
  • Упражнение 3.
  • Решение
  • Ссылки

В Теорема Вариньона утверждает, что если середины сторон непрерывно соединены в любом четырехугольнике, образуется параллелограмм. Эта теорема была сформулирована Пьером Вариньоном и опубликована в 1731 году в книге Элементы математики”.

Публикация книги произошла спустя годы после его смерти. Поскольку эту теорему ввел Вариньон, параллелограмм назван в его честь. Теорема основана на евклидовой геометрии и представляет геометрические отношения четырехугольников.

Что такое теорема Вариньона?

Вариньон утверждал, что фигура, которая определяется серединами четырехугольника, всегда будет иметь параллелограмм, а площадь параллелограмма всегда будет составлять половину площади четырехугольника, если он плоский и выпуклый. Например:

На рисунке вы можете увидеть четырехугольник с областью X, где середины сторон представлены буквами E, F, G и H и при соединении образуют параллелограмм. Площадь четырехугольника будет суммой площадей треугольников, которые образуются, и половина этой площади соответствует площади параллелограмма.

Поскольку площадь параллелограмма составляет половину площади четырехугольника, периметр этого параллелограмма может быть определен.

Таким образом, периметр равен сумме длин диагоналей четырехугольника; это потому, что середины четырехугольника будут диагоналями параллелограмма.

С другой стороны, если длины диагоналей четырехугольника в точности равны, параллелограмм будет ромбом. Например:

Из рисунка видно, что, соединив середины сторон четырехугольника, получается ромб. С другой стороны, если диагонали четырехугольника перпендикулярны, параллелограмм будет прямоугольником.

Также параллелограмм будет квадратом, если у четырехугольника диагонали одинаковой длины и они также перпендикулярны.

Теорема выполняется не только в плоских четырехугольниках, но и в пространственной геометрии или в больших размерах; то есть в тех четырехугольниках, которые не являются выпуклыми. Примером этого может быть октаэдр, где средние точки являются центроидами каждой грани и образуют параллелепипед.

Таким образом, соединяя середины разных фигур, можно получить параллелограммы. Простой способ проверить, действительно ли это правда, – это то, что противоположные стороны должны быть параллельны при растяжении.

Примеры

Первый пример

Продолжение противоположных сторон, чтобы показать, что это параллелограмм:

Второй пример

Соединяя середины ромба, получается прямоугольник:

Теорема используется в объединении точек, расположенных в середине сторон четырехугольника, а также может использоваться для других типов точек, таких как трисечение, пятисечение или даже бесконечное количество секций ( nth), чтобы разделить стороны любого четырехугольника на пропорциональные сегменты.

Решенные упражнения

Упражнение 1

На рисунке представлен четырехугольник ABCD площади Z, середины сторон которого составляют PQSR. Убедитесь, что параллелограмм вариньона сформирован.

Решение

Можно проверить, что при соединении точек PQSR образуется параллелограмм Вариньона именно потому, что в утверждении указаны середины четырехугольника.

Чтобы продемонстрировать это, сначала соединяются средние точки PQSR, поэтому можно увидеть, что образуется еще один четырехугольник. Чтобы доказать, что это параллелограмм, вам нужно только провести прямую линию из точки C в точку A, чтобы было видно, что CA параллельна PQ и RS.

Таким же образом, расширяя стороны PQRS, можно увидеть, что PQ и RS параллельны, как показано на следующем изображении:

Упражнение 2.

У нас есть прямоугольник, у которого длины всех сторон равны. Соединяя середины этих сторон, образуется ромб ABCD, который разделен двумя диагоналями AC = 7 см и BD = 10 см, которые совпадают с размерами сторон прямоугольника. Определите площади ромба и прямоугольника.

Читайте также:
Арктангенс - что это такое, свойства и функции, формулы

Решение

Помня, что площадь полученного параллелограмма составляет половину четырехугольника, их площадь можно определить, зная, что размер диагоналей совпадает со сторонами прямоугольника. Итак, вам необходимо:

Кпрямоугольник = (AB * CD) = (10 см * 7 см) = 70 см 2

Калмаз = А прямоугольник / 2

Калмаз = 70 см 2 / 2 = 35 см 2

Упражнение 3.

На рисунке изображен четырехугольник, имеющий объединение точек EFGH, длины отрезков даны. Определите, является ли объединение EFGH параллелограммом.

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Решение

Поскольку длины сегментов указаны, можно проверить, есть ли пропорциональность между сегментами; то есть вы можете узнать, параллельны ли они, связав сегменты четырехугольника следующим образом:

– AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

– AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

– CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

– CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Затем проверяется пропорциональность, так как:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Точно так же, проводя линию от точки B к точке D, можно увидеть, что EH параллельно BD, так же как BD параллельно FG. С другой стороны, EF параллельно GH.

Таким образом, можно определить, что EFGH – параллелограмм, поскольку противоположные стороны параллельны.

Ссылки

  1. Андрес, Т. (2010). Математическая олимпиада Tresure. Springer. Нью-Йорк.
  2. Барбоза, Дж. Л. (2006). Плоская евклидова геометрия. SBM. Рио де Жанейро.
  3. Ховар, Э. (1969). Изучение геометрии. Мексика: испаноязычные – американцы.
  4. Рамо, Г. П. (1998). Неизвестные решения проблем Ферма-Торричелли. ISBN – Самостоятельная работа.
  5. Вера, Ф. (1943). Элементы геометрии. Богота
  6. Вильерс, М. (1996). Некоторые приключения в евклидовой геометрии. Южная Африка.

ДМТ (наркотик): действие и механизм действия этого токсичного вещества

Клетки Лангерганса: характеристика, морфология, функции

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей пространственной системы

Эта теорема связана с моментом равнодействующей пространственной сходящейся системы сил относительно произвольной точки. Ее сформулировал и смог доказать великий французский ученый Пьер Вариньон (1654-1722).

Теорема гласит следующим образом:

Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил относительно произвольной точки равен векторной сумме моментов всех слагаемых сил относительно этой же точки.

Действительно, если совокупность всех сил, действующих на абсолютно твердое тело сходится в некоторой точке О, то ее равнодействующая находится как геометрическая сумма этих сил, т.е.:

= =

и приложена в той же точке О (рис.4.3.).

Возьмем произвольную точку А и обозначим через вектор-радиус точки О относительно точки А. Тогда по определению момента равнодействующей находим:

=( х )+( х )+…+( х ) =

= ( )+ ( )+…+ ( )= . (4.21)

Подчеркнем, что теорема Вариньона верна только для сходящейся системы сил и для совокупности сил с параллельными друг другу линиями действия.

Если все силы лежат на некоторой плоскости и составляют плоскую систему сходящихся сил, то вместо геометрической суммы моментов берется алгебраическая сумма моментов этих сил, т.е.

M( )= (4.22)

Следует заметить, что формулы (4.21) и (4.22) применяются во многих задачах инженерных дисциплин.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите силу, параллельно самой себе, к заданному центру.

2. Как можно сформулировать теорему Пуансо?

3. Что такое главный вектор?

4. Что такое главный момент?

5. Чему равна величина главного вектора?

6. Как находится величина главного момента?

7. Как находится направление главного вектора?

8. Определите направление главного момента системы сил.

9. Какой угол между собой составляет главный вектор и главный моменты системы сил?

10. Как находятся проекции главного вектора на оси координат x, y, z?

11. Определите проекции главного момента на оси координат x, y, z.

12. Какие возможные частные случаи вы знаете при приведении системы сил к заданному центру?

13. Как в векторной форме выглядят условия равновесия произвольной пространственной системы сил?

14. Как записываются они в координатной форме?

15. Какие частные случаи условия равновесия вы знаете?

16. Как можно сформулировать теорему Вариньона?

Читайте также:
Биссектриса - определение и обозначение, теоремы

ЗАДАЧИ:

I. К вершинам куба со стороной а приложены силы F1 = F2 = 5 . Приведите эти силы к простейшему виду (рис.4.4).

Решение: Оси декартовых координат x,y,z направим как на рис.4.3. Тогда проекции главного вектора на эти оси, согласно (4.4) будут:

Rx= = -F3 + F4cos 45 0 = 0

Ry= = -F4cos45 0 = -10 H.

Rz= = F1 + F2 = 10 H.

R= = 20 H.

Так как Rx = 0, то лежит на плоскости YOZ. Через направляющие косинусы (4.6) находится направление главного вектора:

cos( )= =0, =90 0 ,

cos( )= =- , =135 0 ,

cos( )= = , =45 0 .

Аналогичным образом формулу (4.10), применив к этой задаче, находим главный моменты системы сил.

Mx= = F2a + F4 acos 45 0 = 15 a Н×м

My= = -F1 a – F2a + F4 acos 45 0 = 0,

Mz= = F3a – F4 acos 45 0 = 0.

Тогда согласно (4.11) находим:

M= =15 a Н × м.

Так как My = 0, Mz = 0, то главный момент приложенных сил к кубу будет напралвен по оси Х.

Следовательно при приведении указанных сил к центру О система заданных сил сводится к главному вектору R=20 Н, направления которого определяются углами = 90 0 , =135 0 , =45 0 и главному моменту M = 15 a нм, направленному по оси Х (рис.4.5), т.е. ^ . В этом случае система сил приводится к равнодействующей , приложенной в точке А, где

OA = d = = .

Но = R и || R.

II. Определить опорные силы реакции для конструкции и силу , которая держит конструкции в равновесии, показанной на рис.4.6. При этом даны: Q = 3000 H; G = 2000 H; a = 0,6 м; b = 0,2 м; с = 0,4 м; r = 0,05 м; a = 30 0 ; b = 60 0 .

Решение. На рисунке приведены все активные и пассивные силы. Причем через , ? , соответственно обозначен силы реакции в цилиндрических подшипниках А и В. Тогда согласно уравнений равновесия (4.18)

XA – Qcos 60 0 + XB + Pcos 30 0 = 0,

0 = 0,

ZA + Qcos 30 0 + ZB – Pcos 60 0 – G = 0,

(a + b) Qcos 30 0 + (a + 3b) ZB – (a + 3b + c) Pcos 60 0 – (a + 3b + c) G = 0,

; -rQ cos 30 0 + R × P = 0,

(a + b) Qcos 60 0 – (a + 3b) XB + (a + 3b + c) × Pcos 30 0 = 0

Решив совместно эти уравнения, находим:

P= = 649,5 H.

XB = [(a + b) Qcos 60 0 + (a + 3b + c) × Pcos 30 0 ] = 1750 H.

XA = Qcos 60 0 – XB – Pcos 30 0 = -812 H.

ZB= [(a + 3b + c) (Pcos 60 0 + G) – (a + b) Qcos 30 0 ] = 1368 H.

ZA = -Qcos 30 0 – ZB + Pcos 60 0 + G 355 H.

Таким образом определены все неизвестные XA, ZA, XB, ZB и Р, удерживающие указанную конструкцию в равновесии.

Теорема Вариньона (геометрия)

Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном:

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.

Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.

Следствие из теоремы: для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.

Проведём диагональ AC. Отрезки EF и GH будут средними линиями треугольников и . По теореме о средней линии, отрезки будут параллельны диагонали, а, значит, и друг другу. Повторив аналогичные рассуждения для диагонали BD, получаем, что противоположные стороны четырёхугольника EFGH параллельны, и, по определению, это — параллелограмм.

Доказательство, что площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырехугольника: Пусть диагональ проходит внутри четырёхугольника. Тогда площадь треугольника равна , где — высота треугольника , проведённая из вершины . Аналогично, площадь треугольника равна . Тогда площадь всего четырёхугольника равна . Но — это сумма расстояний до прямой от точек и , то есть в точности высота параллелограмма . А поскольку сторона параллелограмма вдвое меньше , то и площадь параллелограмма равна половине площади , Q. E. D.

Теорема Вариньона – определение, формулировка, доказательство

    Главная
  • Список секций
  • Математика
  • Теорема Вариньона как альтернативный способ решения планиметрических задач
Читайте также:
Теорема Пифагора - доказательство, решения задач

Теорема Вариньона как альтернативный способ решения планиметрических задач

  • Авторы
  • Руководители
  • Файлы работы
  • Наградные документы

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у нас занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона. Почти каждая геометрическая задача нестандартна. В работе рассказывается о Пьере Вариньоне, его достижениях; рассмотрено доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников; показано, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировано применение теоремы.

Параллелограмм Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности. Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Более подробному изучению этой теоремы, которая будет экономить моё время, я и решил посвятить свою исследовательскую работу. Я захотел убедиться в том, что «Параллелограмм Вариньона»— надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности.

Объект исследования: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.

Гипотеза: параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении планиметрических задач.

Цель исследования: изучить теорему Вариньона, исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи исследования:

Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.

Рассмотреть различные приемы решения планиметрических задач.

Сравнить решения одной и той же задачи, применяя теорему Вариньона и традиционный подход.

Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах.

Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и используя теорему Вариньона.

Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

Создание творческих проектов по теме исследования.

Методы исследования: изучение литературы, сбор информации о

параллелограмме Вариньона, выполнение чертежей к задачам, осмысление

Проблема исследования: доказать тот факт, что при решении задач использование теоремы Вариньона и следствий из нее значительно сокращает временные затраты, что позволяет экономить время на экзаменах, олимпиадах и математических конкурсах.

Актуальность темы:

1. Данная тема является дополнением изученных в курсе геометрии свойств.

2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень логической культуры.

3. Изучение данной темы поможет подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах и при подготовке к ОГЭ.

Основные теоретические сведения

Определение основных понятий

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону, написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые и появилась.

Вариньон Пьер (1654–1722)

французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини.Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был другом Ньютона , Лейбница и Бернулли.

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Читайте также:
Множество - обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника , например . Так как является средней линией треугольника , то . По тем причинам MNAC . Следовательно, . таким образом, – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма составляет половину площади четырехугольника

1.3. Следствия из теоремы.

1.3.1. Следствие 1.

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны;

б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказать: KLMN – ромб

Так как (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны

б) бимедианы равны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

диагонали – перпендикулярны;

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Доказать: KLMN – прямоугольник

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является

прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Следствие 3. Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны и перпендикулярны;

б) бимедианы равны и перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны;

Доказать: KLMN – квадрат

Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

1.3.2. Следствие 2.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Пусть бимедианы – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.

То, что бимедианы точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки их точкой пересечения делятся пополам (обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).

Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:

Читайте также:
Правило Лопиталя для вычисления пределов, примеры с подробным решением

Тем самым, – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки их точкой пересечения делятся пополам.

Что и требовалось доказать.

1.3.3. Следствие 3 – теорема Эйлера.

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверённый квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть

Уже было отмечено что – параллелограмм (см. док. следствия 2)

Поэтому по свойству параллелограмма Вариньона

В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма имеем:

Кроме того, по свойству параллелограмма Вариньона ,

Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера:

Что и требовалось доказать.

2.1. Задачи из школьного курса геометрии.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Проведем АС и рассмотрим треугольник

средняя линия, следовательно

Рассмотрим треугольник ADC, NM – средняя линия,
следовательно

параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)

параллелограмм Вариньона (по определению)

Что и требовалось доказать.

а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1.3.а);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1.3.б).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1.2.а);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1.2.б).

Что и требовалось доказать.

2.2. Конкурсные задачи.

Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника.

Отсюда получаем, что

Что и требовалось доказать.

Задача 4. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Так как диагонали , параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

3. Решение задач с использованием теоремы Вариньона и без её использования

Задача 5. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот.

Первый способ

1. диагональ. средняя линия треугольника средняя линия треугольника ADC. Треугольники и равны по третьему признаку равенства треугольников ( общая сторона) Также параллелограмм.
2. Из первого следует, что Аналогично можно доказать, что 3. прямоугольник ромб.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1.3.а);
б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие1.3.б).

Что и требовалось доказать.

Задача 6. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Первый способ (по школьной программе)

1) Т.к. средняя линия

2) Т.к. средняя линия 3) Т.к. средняя линия

4) Т.к. средняя линия

Второй способ (с помощью параллелограмма Вариньона)

1) По теореме Вариньона параллелограмм.

Вывод: параллелограмм Вариньона помогает решать задачи значительно быстрее.

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Созданы творческие проекты по теме исследования. Было подсчитано, что на решение одной задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решения трех задач добавят дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

Читайте также:
Алгебра как наука - происхождение, основы, понятия и правила

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Приложение. Творческие работы по теме исследования

Применение теоремы Вариньона к решению задач

2. 2. Применение теоремы Вариньона к решению задач.

Рассмотрим применение теоремы Вариньона к решению планиметрических задач повышенной трудности. Дело в том, что планиметрические задачи на олимпиадах встречаются значительно чаще.

Мы будем называть параллелограмм KLMN параллелограммом Вариньона, а отрезки КМ и LN, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника АВСD – средними линиями этого четырёхугольника.

Задача 1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.

Решение: отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р-середина AD, тогда по теореме Вариньона A1B1C1P – параллелограмм, А1С1 – его диагональ и К – середина А1С1, значит, К – середина и второй

диагонали параллелограмма В1Р. Значит, KL – средняя линия треугольника PB1D1, поэтому KL||PD1 и KL=1/2 PD1, но PD1 – средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD1=1/2AE, поэтому KL||AE и KL=1/4 AE.

Задача 2. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии треугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей?

Решение: верно, так как параллелограмм Вариньона существует для любого выпуклого четырёхугольника. Например, условию задачи удовлетворяют треугольники KLM и LMN на рис. 10. рис. 10

Задача 3. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b, а угол между ними 60˚. Найдите диагонали четырёхугольника.

Решение: пусть KM=a, LN=b, (рис. 10). Тогда NM=, а LT=.

Из треугольника LTM по теореме косинусов . Но LM= BD, поэтому , откуда BD=. Аналогично из треугольника TNM найдём MN, потом вычислим AC: AC=.

Ответ: ;

Задача 4. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Доказательство: в параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов рис. 11 диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т. е. Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD (рис. 11), получим: KM2+LN2=1/2(AC2+BD2), AC2+BD2=2(KM2+LN2).

Задача 5. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

Доказательство: (рис. 12).

Учитывая, что , KL=1/2 AC и KN=1/2 BD, получим: рис. 12

.

Задача 6. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины

Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников (задача 5), тем самым их равновеликость доказана.

Задача 7. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Доказательство: в случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом (рис. 13), а рис. 13

площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

, тогда .

Задача 8. Диагонали четырёхугольника ABCD равны d1 и d2, а средние линии равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение: из условия задачи следует, что в параллелограмме Вариньона диагонали KM и LN равны (рис. 12). Значит, KLMN – прямоугольник и SKLMN=1/2 d1d2, а с другой стороны, SKLMN=1/2 SABCD, следовательно, SABCD=1/2d1d2.

Ответ: SABCD=1/2d1d2.

Задача 9. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Доказательство: согласно рис. 14 необходимо доказать, рис. 14

что . Треугольник KLN представляет собой половину параллелограмма Вариньона. (). Так как KL=1/2AC, то , значит, , а с другой стороны, (см. задачу 8), тогда .

Задача 10. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середину его диагоналей.

Читайте также:
Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин - формула

Доказательство: согласно рис. 11 надо доказать, что. Для медианы ET треугольника ELN имеем: , где , , откуда . Аналогично, выразив медиану FT треугольника KFM и учитывая, что и , получим: .

Кроме того, (задача 7).

Итак, получаем: , откуда:

Задача 11. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Решение: пусть в трапеции ABCD, которую необходимо построить, известны длины диагоналей AC и BD, отрезка LN и величина угла А (рис. 15).

Поскольку и , нетрудно построить по трём рис. 15

сторонам треугольник KLN. Далее построим его до параллелограмма Вариньона. Затем на отрезке KN построим сегмент, вмещающий угол А, и проведём через точку N параллельно KM прямую, она пересечёт сегмент в точке А. Дальнейшее построение очевидно.

В ходе работы мы прорешали более двадцати пяти задач, формулировки и решения наиболее интересных из них дополнительно приведены в приложении. Мы убедились в том, что теорема Вариньона помогает красиво, оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников.

“Исследование применения параллелограмма Вариньона при решении сложных задач”

Актуальность данной темы заключается в том, что в последние годы в России, стало проводиться много различных математических олимпиад. Различных форм: очные, заочные, дистанционные и т.д.. Я являюсь активной участницей традиционных школьной и районной олимпиад , краевой многопредметной олимпиады «Интеллект», Всероссийского « Молодежного чемпионата» и « Талантливой молодежи».

Моё стремление углублять математические знания по математике является главной причиной работы над проектом и выбором темы «Исследование значимости параллелограмма Вариньона при решении сложных задач».

Данные проводимого мною исследования являются дополнением и углублением изученного материала в курсе геометрии, а применение опыта полученного при решении планиметрических задач с использованием параллелограмма Вариньона и следствий из нее помогают решать сложные задачи.

Цель работы: исследовать доказательство теоремы Вариньона и показать, что теорема надежный помощник в решении геометрических задач.

Просмотр содержимого документа
«”Исследование применения параллелограмма Вариньона при решении сложных задач” »

Актуальность данной темы заключается в том, что в последние годы в России, стало проводиться много различных математических олимпиад. Различных форм: очные, заочные, дистанционные и т.д.. Я являюсь активной участницей традиционных школьной и районной олимпиад , краевой многопредметной олимпиады «Интеллект», Всероссийского « Молодежного чемпионата» и « Талантливой молодежи».

Моё стремление углублять математические знания по математике является главной причиной работы над проектом и выбором темы «Исследование значимости параллелограмма Вариньона при решении сложных задач».

Данные проводимого мною исследования являются дополнением и углублением изученного материала в курсе геометрии, а применение опыта полученного при решении планиметрических задач с использованием параллелограмма Вариньона и следствий из нее помогают решать сложные задачи.

Цель работы: исследовать доказательство теоремы Вариньона и показать, что теорема надежный помощник в решении геометрических задач.

1.Провести теоретико – методический анализ научной литературы по проблематике исследования.

2.Изучить теорему Вариньона ,ее следствия и применение для разных видов четырехугольников ( выпуклых, вогнутых, пространственных).

3. Исследовать применение теории при решении не стандартных задач.

Объектом исследования является – система научных открытий французского математика Пьера Вариньона.

Гипотеза: параллелограмм Вариньона – надежный помощник в решении задач.

Предметом исследования являлись энциклопедии, словари, научная литература, Интернет.

Основными методами исследования были поиск, наблюдение, описание.

1.1Исследование исторических событий создания параллелограмма Вариньона.

Создателем знаменитого параллелограмма Вариньона является французский механик и математик, член Парижской академии наук, профессор Пьер Вариньон( 1654 -22.12.1722г, Париж).

Труды профессора коллежа Мазарии ( с 1688г), профессора коллеж де Франс ( с 1704г), посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых и геометрии.

Он был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. Вариньон руководил « Журналом ученых».

В геометрии Пьер Вариньон изучал различные специальные линии, написал учебник по элементарной геометрии ( издан в 1731).

Читайте также:
Монотонность функции как определить убывающую и возрастающую

Главные заслуги его были представлены в Парижскую Академию наук в работе « Проект новой механики…», Вариньон дал точную формулировку закона параллелограмма сил. Развил понятие момента сил и вывел очень важную теорему, позволяющую решать сложные геометрические задачи более простыми методами, так называемая теорема Вариньона. Он первым обратил внимание на, казалось бы, довольно очевидный факт: середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. В дальнейшем полученный параллелограмм назвали параллелограммом Вариньона.

И я постараюсь всех убедить, что параллелограмм Вариньона – надежный помощник при решении трудных, в том числе и олимпиадных задач.

Глава 2.Основные теоретические сведения.

2.1 Исследование теоремы и следствия из теоремы Пьера Вариньона.

2.2 Исследование применения теоремы для выпуклых и невыпуклых четырехугольников.

2.3 Исследование применения параллелограмма Вариньона для самопересекающейся замкнутой ломаной

Для аналитических рассуждений и решений сложных задач, с использование разных видов четырехугольников мною были изучены следующие теоретические сведения открытые Пьером Вариньоном.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Рис.1 (см. в приложении )

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. Так как KL является средней линией треугольника ABC, то KL || AC. По тем причинам MN|| AC. Следовательно, KL||NM и KL=MN=AC/2. таким образом, – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

2 . Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD

В целях совершенствования доступности рассуждений при решении олимпиадных задач я предлагаю использовать следующее:

3. Следствия из теоремы Вариньона.

Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике диагонали равны и бимедианы перпендикулярны.

Следствие 2.Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Следствие 3. ( теорема Эйлера) Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Следствие 4 ( теорема о бабочках). Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан выпуклого четурехугольника равны.

Результатом этого этапа исследования является то, что теорема Вариньона и её следствия применяются для различных видов четырехугольника: выпуклых , самопересекающихся четырехугольных замкнутых ломаных, тетраэдра, пространственных четырехугольников и т.д.

Поэтому изученный материал позволит решить мне получить необходимую информацию для решения , ее структуру; составить план решения; сделать необходимые расчеты; проанализировать . Все это способствует эффективному решению.

2.4.Применение теоремы Вариньона при решении сложных ( олимпиадных) задач.

Постройте ромб с вершинами на сторонах прямоугольника ABCD.

Поскольку диагонали прямоугольника равны, то параллелограмм Вариньона для прямоугольника ABCD и будет искомым ромбом KLMN.

Рис (см. в презентации )

Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона KLMN равна половине площади четырехугольника ABCD.

Доказательство.

S ABCD=1/2AC*BD*sin(угла 1).

S KLMN=KL*KN*sin(угла 2)

Учитывая, что угол первый равен углу второму и KL=1/2AC, KN=1/2BD, получим необходимое.

Рис. (см. в презентации)

Задача 3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

В параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов диагоналей равна

сумме квадратов всех его сторон, т.е.

Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD

KM 2 +LN 2 =1/2(AC 2 +BD 2 ),

AC 2 +BD 2 =2(KM 2 +LN 2 ).

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: