Теорема косинусов для треугольника – суть, как доказать

Теорема Пифагора. Теорема косинусов

Теорема Пифагорав
Теорема косинусов

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора . В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Доказательство . Докажем, что длины сторон произвольного прямоугольного треугольника ABC (рис.1)

С этой целью рассмотрим квадрат квадрат со стороной, равной c , изображённый на рисунке 2.

Площадь этого квадрата равна сумме площадей четырёх одинаковых прямоугольных треугольников, равных треугольнику ABC (рис.3, рис.4), и площади квадрата со стороной, равной a – b (рис.5).

Рис.3
Рис.4
Рис.5

Поэтому справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема косинусов

Теорема косинусов . Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство . Рассмотрим сначала треугольник ABC , у которого углы A и С – острые (рис.6).

Докажем, что длины сторон этого треугольника удовлетворяют равенству

a 2 = b 2 + c 2 –
– 2bc cos A
(1)

С этой целью проведём высоту BD из вершины B (рис.7).

В соответствии с определениями синуса и косинуса угла прямоугольного треугольника справедливы равенства

BD = c sin A, AD = c cos A, DC = b – AD = b – c cos A.

Из теоремы Пифагора, применённой к прямоугольному треугольнику BDC , получим

Таким образом, в случае треугольника ABC с острыми углами A и С теорема косинусов доказана.

Замечание 1 . Для того, чтобы получить полное доказательство теоремы косинусов, необходимо рассмотреть также и следующие случаи:

  1. Угол A – острый, угол C – тупой (рис.8)

Угол A – прямой (рис. 9).

Угол A – тупой (рис.10).

Во всех перечисленных случаях доказательства теоремы косинусов проводятся совершенно аналогично тому, как это было сделано для случая острых углов A и C , и мы рекомендуем читателю провести эти доказательства в качестве полезного и несложного упражнения.

Замечание 2 . В случае, когда угол A является прямым углом, формула (1) принимает вид

откуда вытекает, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Замечание 3 . Если у треугольника известны длины всех сторон, то с помощью теоремы косинусов можно найти косинус любого угла треугольника, например,

Теорема косинусов и синусов

О чем эта статья:

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из формулы следует: a 2 = c 2 – b 2

К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:


Но так как b = c * cos α, то

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

Читайте также:
Объем цилиндра определение, формулы расчета через диаметр и площадь

BC 2 = a 2 = (b cos α – c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α – 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2

cos 2 α + sin 2 α = 1основное тригонометрическое тождество.

b 2 (cos 2 α + sin 2 α) – 2bc cos α + c 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:

  • Когда b 2 + c 2 – a 2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b 2 + c 2 – a 2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b 2 + c 2 – a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b * cos α,
  • DB = c – b * cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h 2 = b 2 – (b * cos α) 2
  • h 2 = a 2 – (c – b * cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b 2 – (b * cos α) 2 = a 2 – (c – b * cos α) 2
  • a 2 = b 2 + c 2 – 2bc * cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b 2 = a 2 + c 2 – 2ac * cos β;
  • c 2 = a 2 + b 2 – 2ab * cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 – 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

    Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:



Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

  • Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Теорема косинусов

Формулировка теоремы косинусов

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

Читайте также:
Сборник ГДЗ по математике для 5 класса по Виленкину читать

Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними

Полезные формулы теоремы косинусов:

Как видно из указанного выше, с помощью теоремы косинусов можно найти не только сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, можно, зная размеры всех сторон треугольника, определить косинусы всех углов, а также вычислить величину любого угла треугольника. Вычисление любого угла треугольника по его сторонам является следствием преобразования формулы теоремы косинусов.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора . В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы .

Доказательство . Докажем, что длины сторон произвольного прямоугольного треугольника ABC (рис.1)

С этой целью рассмотрим квадрат квадрат со стороной, равной c , изображённый на рисунке 2.

Площадь этого квадрата равна сумме площадей четырёх одинаковых прямоугольных треугольников, равных треугольнику ABC (рис.3, рис.4), и площади квадрата со стороной, равной a – b (рис.5).

Рис.3
Рис.4
Рис.5

Поэтому справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Формулировка теоремы косинусов для треугольника

Теорема косинусов для треугольника связывает две стороны треугольника и угол между ними со стороной, лежащей против этого угла. К примеру, обозначим буквами , , и длины сторон треугольника ABC, лежащие соответственно против углов A, B и C.

Тогда имеет теорема косинусов для этого треугольника может быть записана в виде:

На рисунке для удобства дальнейших рассуждений угол С обозначен углом . Словами это можно сформулировать следующим образом: «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.»

Понятно, что если бы вы выражали другую сторону треугольника, например, сторону , то в формуле нужно было бы брать косинус угла A, то есть лежащего против искомой стороны в треугольнике, а справа в уравнении на своих местах стояли бы стороны , то в формуле нужно было бы брать косинус угла A, то есть лежащего против искомой стороны в треугольнике, а справа в уравнении на своих местах стояли бы стороны и . Выражение для квадрата стороны . Выражение для квадрата стороны получается аналогично:

Классическое доказательство теоремы косинусов.

Пусть есть треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Значит:

Записываем теорему Пифагора для 2-х прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h 2 = b 2 – (b cos α) 2 (1)

h 2 = a 2 – (c – b cos α) 2 (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):

b 2 – (b cos α) 2 = a 2 – (c – b cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α.

Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определить стороны b и c:

b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ.

Формулировка и формула теоремы

В плоском треугольнике квадрат стороны равняется сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение данных сторон, умноженное на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

Теорема косинусов для остроугольного треугольника.

Если угол острый, то справедлива формула:

a 2 = b 2 + c 2 −2bx

Доказательство теоремы косинусов для треугольника

Доказательство теоремы косинусов для треугольника проводят обычно следующим образом. Разбивают исходный треугольник на два прямоугольных треугольника высотой, а дальше играются со сторонами полученных треугольников и теоремой Пифагора. В результате после долгих нудных преобразований получаю нужный результат. Мне лично этот подход не по душе. И не только из-за громоздких вычислений, но ещё и потому что в этом случае приходится отдельно рассматривать случай, когда треугольник является тупоугольным. Слишком много трудностей.

Читайте также:
Производная сложной функции - теорема, примеры вычислений

Я предлагаю доказать эту теорему с помощью понятия «скалярного произведения векторов». Я сознательно иду на этот риск для себя, зная, что многие школьники предпочитают обходить эту тему стороной, считая, что она какая-то мутная и с ней лучше не иметь дела. Но нежелание возиться отдельно с тупоугольным треугольником во мне всё же пересиливает. Тем более, что доказательство в результате получается удивительно простым и запоминающимся. Сейчас вы в этом убедитесь.

Заменим стороны нашего треугольника следующими векторами:


Согласно правилам сложения векторов имеем: . Действительно, по правилу треугольника вектор, равный сумме двух векторов, отложенных последовательно один за другим, — это вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго. Переносим . Действительно, по правилу треугольника вектор, равный сумме двух векторов, отложенных последовательно один за другим, — это вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго. Переносим в правую часть равенства с противоположным знаком, в результате чего получаем следующее векторное выражение: .

Теперь возьмём скалярный квадрат обеих частей полученного выражения. В результате чего получим:

Я напоминаю, что по определению скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Из этого определения также следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Действительно, ведь угол между вектором и им же самим равен нулю, то есть соответствующих косинус равен 1. То есть остаётся только квадрат длины вектора. Исходя из этого мы сразу получаем выражение для теоремы косинусов:

Что и требовалось доказать. Причём данное доказательство хорошо ещё тем, что позволяет лучше запомнить саму формулу. Ведь теперь становится понятным, откуда берётся этот хвост . Как раз из скалярного произведения. Ну и, как я уже говорил, это доказательство справедливо для любых треугольников: остроугольных, тупоугольных и прямоугольных. То есть угол . Как раз из скалярного произведения. Ну и, как я уже говорил, это доказательство справедливо для любых треугольников: остроугольных, тупоугольных и прямоугольных. То есть угол может быть острым, тупым или прямым. И не требуется рассматривать доказательство для каждого из этих случаев, что не может не радовать.

Кстати, в случае, когда угол прямой, мы получаем прямой, мы получаем , и выражение принимает следующий вид: . Что мы получили? Правильно! Это запись теоремы Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так что ниточки постепенно сплетаются. То есть, как обычно говорят, теорема косинусов для треугольника есть обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника, не обязательно прямоугольного.

Теорема косинусов

Теорема косинусов . Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.

Читайте также:
Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин - формула

Доказательство . Рассмотрим сначала треугольник ABC , у которого углы A и С – острые (рис.6).

Докажем, что длины сторон этого треугольника удовлетворяют равенству

a 2 = b 2 + c 2 –
– 2bc cos A
(1)

С этой целью проведём высоту BD из вершины B (рис.7).

В соответствии с определениями синуса и косинуса угла прямоугольного треугольника справедливы равенства

BD = c sin A, AD = c cos A, DC = b – AD = b – c cos A.

Из теоремы Пифагора , применённой к прямоугольному треугольнику BDC , получим

Таким образом, в случае треугольника ABC с острыми углами A и С теорема косинусов доказана.

Замечание 1 . Для того, чтобы получить полное доказательство теоремы косинусов, необходимо рассмотреть также и следующие случаи:

  1. Угол A – острый, угол C – тупой (рис.8)

Угол A – прямой (рис. 9).

Угол A – тупой (рис.10).

Во всех перечисленных случаях доказательства теоремы косинусов проводятся совершенно аналогично тому, как это было сделано для случая острых углов A и C , и мы рекомендуем читателю провести эти доказательства в качестве полезного и несложного упражнения.

Замечание 2 . В случае, когда угол A является прямым углом, формула (1) принимает вид

откуда вытекает, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Замечание 3 . Если у треугольника известны длины всех сторон, то с помощью теоремы косинусов можно найти косинус любого угла треугольника, например,

Примеры задач

Задание 1
В треугольнике известны длины двух сторон – 5 и 9 см, а также, угол между ними – 60°. Найдите длину третьей стороны.

Решение:
Применим формулу теоремы, приняв известные стороны за b и c, а неизвестную за a:
a 2 = 5 2 + 9 2 – 2 * 5 * 9 * cos 60° = 25 + 81 – 45 = 61 см 2 . Следовательно, сторона a = √ 61 см ≈ 7,81 см.

Задание 2
Самая большая сторона треугольника равна 26 см, а две другие – 16 и 18 см. Найдите угол между меньшими сторонами.

Решение:
Примем бОльшую сторону за a. Чтобы найти угол между сторонами b и c, воспользуемся следствием из теоремы:

Следовательно, угол α = arccos (-1/6) ≈ 99,59°.

Теорема косинусов для прямоугольного треугольника

Теорема косинусов для прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

По теореме косинусов сторона «а» равна:

но угол А прямой, косинус прямого угла равен нулю, отсюда получаем:

Таким образом мы получили формулу теоремы Пифагора:

Теорема косинусов (ЕГЭ 2022)

Что же такое теорема косинусов?

Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника. Она однажды тебя спасёт!

Дальше смотри рисунки и ты все поймешь. Один рисунок лучше тысячи слов

Разберёшься в ней – будь уверен, что любая задача с треугольником окажется тебе под силу!

Теорема косинусов — коротко о главном

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Почему теорема косинусов это… теорема Пифагора

И причем тут теорема Пифагора? Сейчас поясню.

Согласно теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

А что будет, если угол ( displaystyle angle C), скажем, острый?

Вроде ясно, что величина ( displaystyle <^<2>>) должна быть меньше, чем ( displaystyle <^<2>>+<^<2>>). Но вот на сколько меньше?

А если угол ( displaystyle angle C) – тупой?

Читайте также:
Функция y=k/х свойства и график, область определения функции, коэффициент

Ну, тогда величина ( displaystyle <^<2>>) больше, чем ( displaystyle <^<2>>+<^<2>>)?

Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной ( displaystyle angle C)?

Обрати внимание на вот эту добавку к теорему Пифагора: ( displaystyle «-2abcos gamma »).

Вот она и «адаптирует» теорему Пифагора под острые и тупые углы треугольника. Сейчас мы докажем теорему косинусов и ты увидишь в теореме косинусов теорему Пифагора своими глазами.

Доказательство теоремы косинусов

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Рассмотрим три случая:

  • угол С острый,
  • угол С тупой,
  • угол С прямой.

И убедимся, что для всех трех случаев теорема косинусов работает!

Угол С острый

( displaystyle angle C

Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

Что такое ( displaystyle AH) и ( displaystyle HB) ?

( displaystyle AH) можно выразить из треугольника (прямоугольного!) ( displaystyle AHC).

( displaystyle AH=bsin gamma )

А вот ( displaystyle BH=a-CH=a-bcos gamma ) (снова из ( displaystyle Delta AHC) ).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Угол С тупой

Начинаем точно также: опускаем высоту из точки ( displaystyle A).

А теперь, внимание, отличие!

( displaystyle AH=bsin left( <<180>^>-gamma right)) — это из ( displaystyle Delta AHC) , который теперь оказался снаружи ( displaystyle Delta ABC), а

( displaystyle BH=a+bcos left( <<180>^>-gamma right)).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Угол С прямой

Но тогда ( displaystyle cos gamma =0) и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле:

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

И приходи к нам на бесплатные вебинары и занятия ( о них ниже).

Бонус: Вебинар на решение задач по теореме косинусов и синусов

Теорема косинусов (и синусов) — универсальный инструмент при решении треугольников — это теоремы косинусов и синусов.

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

Этот вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике (о нем ниже). Вы выучите сами теоремы и научитесь применять их при решении задач первой части.

Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

Теорема косинусов

Чтобы найти строну или угол треугольника применяют Теорему Косинусов.
Эта теорема обобщает теорему Пифагора. Доказать Теорему
Косинусов достаточно просто через треугольник, который
разделяют высотой на два прямоугольных треугольника.

Читайте также:
Арктангенс - что это такое, свойства и функции, формулы

Мы рассмотрим доказательство, формулировку,
следствия из Теоремы Косинусов.

Наряду с одной из известных теорем геометрии — теоремой Пифагора,
существует теорема косинусов. Теорема косинусов похожа по теорему
Пифагора, но отличается. Теорему косинусов, можно применить к абсолютно
любым треугольникам. А теорема Пифагора применяется исключительно
для прямоугольных треугольников.

Теорема косинусов — это теорема геометрии, обобщающая
теорему Пифагора, применяющаяся при нахождении углов
и сторон в любых треугольниках.

  1. Формулировка теоремы косинусов
  2. Доказательство теоремы косинусов
  3. Следствия из теоремы косинусов
  4. Значение теоремы косинусов

Формулировка теоремы косинусов

Формулировка у теоремы косинусов такая: в треугольнике квадрат любой из сторон
равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними. Запишем эту
формулировку более кратко, используя рисунок 1, на котором изображен
произвольный треугольник ABC:​ ( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 * (AB * AC) * cos ∠A ) ​.
Или, же еще более кратко: ​ ( a^2 = b^2 + c^2 — 2bc * cos ∠A ) ​.

Доказательство теоремы косинусов

Для доказательства теоремы косинусов воспользуемся
рисунком 2, на котором изображен треугольник ABC.

Докажем, что ​ ( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 * (AB * AC) * cos ∠A: )

  1. Доп. построение: высота BD.
  2. Рассмотрим △BDC:
    ​ ( BC^2= BD^2 + DC^2. )
  3. Рассмотрим △ABD:
    ​ ( AD = AB * cos ∠A, ) ​
    ​ ( BD = AB * sin ∠A, ) ​
    ​ ( CD = AC — AD = AC — AB cos ∠A. ) ​
  4. Из всего этого следует, что: ​
    ( ВС^2 = (AB * sin ∠A)^2 + (AC — AB * cos ∠A)^2 = ) ​
    ( AB^2 * sin^2 ∠A + AC^2 — 2AB * AC * cos ∠A + AB^2 * cos^2 ∠A = )
    ( AB^2 + AC^2 — 2 * (AB*AC) * cos ∠A. )
    Следовательно, ​ ( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 * (AB * AC) * cos ∠A. ) ​ч.т.д.
  5. Теорема косинусов доказана.

Следствия из теоремы косинусов

  1. Квадрат любой из сторон треугольника равен сумме квадратов двух
    других сторон минус удвоенное произведение этих
    сторон на косинус угла между ними.
  2. ​ ( a^2 = b^2 + c^2 — 2bc * cos ∠A ) ​;
    ​ ( b^2 = c^2 + a^2 — 2ca * cos ∠B ) ​;
    ​ ( c^2 = a^2 + b^2 — 2ab * cos ∠C ) ​;
  3. Так, как в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусам,
    следовательно теорема косинусов преобразуется в теорему Пифагора.
  4. С помощью теоремы косинусов, можно определить косинус
    любого из углов треугольника.
  5. Если, b 2 + c 2 — a 2 > 0, ∠A будет острый.
    Если b2+c2a2= 0, ∠A будет прямым.
    Если b2+c2a2∠A будет тупым.

Значение теоремы косинусов

Где применяется теорема косинусов?

Теорема косинусов применяется в тригонометрии, в частности
при нахождение сторон и углов в любых треугольниках. Например, зная
формулировку теоремы косинусов, косинус одно из угла треугольника,
и две стороны можно найти неизвестную сторону треугольника.

Виды теорем косинусов.

В зависимости от свойств треугольника, длины его сторон, градусной меры
его углов — теорема косинусов немного видоизменяется. Например, в
прямоугольных треугольниках теорема косинусов преобразуется в теорему Пифагора.

Теорема косинусов для треугольника – суть, как доказать

§4. Теоремы косинусов и синусов. Применение тригонометрии к решению геометрических задач

Как обычно, в треугольнике $$ ABC$$ стороны, противолежащие углам `A`, `B` и `C`, обозначим `a`, `b` и `c`. Справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника, утверждения которых можно кратко записать так:

Покажем на примерах, как применяются эти теоремы.

Рис. 26

Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

d 1 2 = a 2 + b 2 – 2 a b cos φ , d 2 2 = a 2 + b 2 – 2 a b cos ( 180 ° – φ ) . d_1^2=a^2+b^2-2abcosvarphi,;d_2^2=a^2+b^2-2abcos(180^circ-varphi).

Рис. 26

Из решения данной задачи легко получить выражение медианы $$ _$$ треугольника через его стороны $$ a, b$$ и $$ c$$. Пусть в `ABD:AB=a`, `AD=b`, `BD=c`; `AM` – медиана, `AM=m_c` (рис. 26). Достроим этот треугольник $$ ABD$$ до параллелограмма $$ ABCD$$ и воспользуемся результатом задачи 11, получим:

Рис. 27

На стороне $$ AD$$ ромба $$ ABCD$$ взята точка $$ M$$, при этом $$ MD=<10>>AD, BM=MC=11.$$ Найти площадь треугольника $$ BCM.$$

1. Обозначим длину стороны ромба $$ x, angle BAD=varphi $$

(рис. 27). По условию $$ MD=<10>>xRightarrow AM=<10>>x.$$ Из треугольников $$ ABM$$ и $$ MCD$$ по теореме косинусов получаем:

2. В равнобедренном треугольнике $$ BMC$$ основание равно `10`, находим высоту $$ MK$$:

тогда площадь треугольника `BMC` равна $$ <2>>BC·MK=20sqrt<6>$$.

Рис. 28

В равнобедренном треугольнике $$ ABC (AB=BC)$$ проведена биссектриса $$ AD$$ (рис. 28). Найти радиус описанной около треугольника $$ ABC$$ окружности, если $$ AD=4$$ и $$ DC=sqrt<6>.$$

2. Вычисляем сторону $$ AC$$:

3. Как следует из теоремы синусов, радиус $$ R$$ описанной около треугольника `ABC` окружности может быть найден из равенства:

В решении следующих задач существенно используется знание тригонометрических тождеств, умение решать тригонометрические уравнения. Подобные задачи не рассматривались в заданиях 9 – 10 классов, поскольку большинство учащихся в то время не обладало знаниями по тригонометрии в достаточном объёме.

В этих задачах в качестве неизвестной выбирается некоторый угол и по данным задачи и известным метрическим соотношениям составляется тригонометрическое уравнение или система уравнений. Их составление и решение является основным этапом всего решения задачи, а искомые элементы определяются через значения тригонометрических функций введённого угла.

Рис. 29

Точки $$ K$$ и $$ M$$ расположены соответственно на стороне $$ BC$$ и высоте $$ BD$$ остроугольного треугольника $$ ABC$$. Треугольник $$ AMK$$ – равносторонний (рис. 29). Найти его площадь, если $$ AD=3$$, $$ DC=<2>>$$, $$ BK_KC=10:1$$.

1. Обозначим сторону правильного треугольника $$ AMK$$ через $$ x, angle KAC=varphi $$ (рис. 29). Пусть $$ FKleft|right|AC$$ и $$ KNperp AC$$. Из подобия треугольников $$ CKN$$ и $$ CBD$$ следует $$ NC=<11>>DC=<2>>$$. Тогда $$ DN=5, AN=8.$$

2. Заметим, что $$ angle FKA=varphi $$ и $$ angle MKF=><3>>-varphi $$. Из прямоугольных треугольников $$ AKN$$ и $$ MKF$$ следует:

$$ AN=AKmathrmvarphi $$ и $$ FK=MKmathrm(><3>>-varphi )$$, т. е. $$ 8=xmathrmvarphi $$ и $$ 5=xmathrm(><3>>-varphi )$$. Из тригонометрического уравнения `5cosvarphi=8cos(pi/3-varphi)` получаем

Обратим внимание, что в этой задаче один треугольник повёрнут относительно другого. В качестве промежуточной переменной и был введён этот угол поворота.

Рис. 30

Окружность проходит через вершины $$ A$$ и $$ B$$ треугольника $$ ABC,$$ пресекает стороны $$ BC$$ и $$ AC$$ в точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно (рис. 30). Известно, что `AB=4`, `MN=2`, $$ angle ACB=mathrmfrac<3><5>$$. Найти радиус окружности.

1. Обозначим $$ angle ACB=varphi $$ тогда $$ mathrmvarphi =<5>>$$, $$ varphi $$ – острый угол, $$ mathrmvarphi =<5>>$$.

Надо найти радиус окружности, поэтому разумно ввести вписанный угол: $$ angle NMB=alpha $$. Угол $$ ANB$$ – внешний для треугольника $$ BNC,$$ поэтому $$ angle ANB=alpha +varphi $$.

2. Если $$ R$$ – радиус окружности, то $$ AB=2Rmathrm(alpha +varphi )$$, и $$ MN=2Rmathrmalpha $$ т. е. получаем систему:

Исключая `R`, придём к уравнению $$ 2mathrmalpha =mathrm(alpha +varphi )$$.

то уравнение приводится к виду

$$ 10mathrmalpha =4mathrmalpha +3mathrmalpha $$, `6sinalpha=3cosalpha`, `”tg”alpha=1/2`.

В задаче 15 угловая величина была задана значением $$ mathrm<5>>$$. По определению функции $$ y=mathrmx$$ это означало, что заданный угол острый и $$ mathrmvarphi =<5>>$$. Мы заменили условие $$ varphi =mathrm<5>>$$ равносильным ему. Аналогично следует поступать во всех задачах, условия которых содержат значения обратных тригонометрических функций для величин углов. Например, если угол задан в виде $$ alpha =pi -mathrmsqrt<<3>>>$$, то это означает, что $$ alpha $$ – тупой угол, $$ mathrmalpha =-sqrt<<3>> >$$, $$ mathrmalpha =>>$$ и могут быть найдены, если окажется необходимым, значения $$ mathrm2alpha $$, $$ mathrm<2>>$$ и т. п.

Некоторые учащиеся, проводя решение задачи в общем виде и подставляя числовые данные лишь в конце (что, заметим, обычно делает решение громоздким), получают, например, ответ для длины стороны в виде $$ alpha =3mathrmleft(2mathrm>>right)$$. Если далее это значение не записано в виде $$ a=2sqrt<2>$$, то решение не считается доведённым до конца. Т. е. ответ задачи, когда угловая величина задана значением обратной тригонометрической функции, не должен содержать значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций (если только сама искомая величина не является углом).

В заключение параграфа решим задачу об определении угла треугольника. Обратим внимание, что решение требует отбора в соответствии с условием задачи.

Рис. 31

В треугольнике $$ ABC$$ высота $$ BD$$, медиана $$ CM$$ и биссектриса $$ AK$$ пересекаются в точке $$ O$$. (рис. 31). Найти угол $$ A$$, если известно, что он больше $$ 60°$$ и $$ AM=sqrt<3>OM$$.

1. Обозначим

$$ AM=x$$ (тогда `AB=2x`), $$ angle BAC=2alpha $$ и $$ AO=y$$.

Из прямоугольных треугольников $$ AOD$$ и $$ ABD$$ имеем: $$ AD=ymathrmalpha $$ и $$ AD=2xmathrm2alpha $$. Выражаем $$ y=2alpha >alpha >>$$.

Подставляем выражение для $$ y$$, сокращаем на $$ ^<2>,$$ приводим уравнение к виду:

Используем тождество: $$ 2>^<2>alpha =1+mathrm2alpha ,$$ получаем уравнение:

3. По условию: $$ 2alpha =angle BAC$$, $$ 2alpha > ><3>>$$, значит $$ mathrm2alpha

Теорема косинусов


Формулировка: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для произвольного треугольника ABC и его сторон a,b и с (противолежащих к соответствующим вершинам) это равенство можно записать и для двух других сторон:

Теорема косинусов используется для решения треугольников в двух главных ситуациях:

1) Когда даны две стороны и угол между ними, а требуется найти последнюю сторону:

2) Когда даны все три стороны треугольника, а требуется найти его углы:

Иногда репетитор по математике рекомендует использовать теорему косинусов в задаче с двумя данными сторонами и углом, не лежащим между ними. В этом случае а) придется решать квадратное уравнение и отбирать среди полученных корней длину реальной стороны. б) такая ситуация не характерна для задач с ЕГЭ по математике, так как не всегда однозначно задает треугольник. Если угол не лежит между сторонами, то циркулем и линейкой можно построить двух разных треугольника с такими элементами.

Теорема косинусов иногда называют расширенной теоремой Пифагора или обобщением теоремы Пифагора, ибо при угле 90 градусов из указанных выше равенств получается . Как любое обобщение она намного универсальнее и эффективнее частного случая и применяется к большему числу реальных ситуаций (в отличае от искусственных задач ГИА и ЕГЭ по математике, расчитанных на программу 8 класса).

Доказательство теоремы косинусов

Все известные мне доказательства связаны с векторами и координатами. В учебнике Атанасяна оно проводится через координаты точек, а в учебнике Погорелове используется понятие «скалярное произведение векторов». Проведем доказательство по Атанасяну. Оно, как мне кажется больше всего подходит репетитору по математике для работы, так как имеет меньшую зависимость от соседних тем.

Докажем равенство для стороны а и угла А. Для этого введем систему координат как показано на рисунке (ось Ох направляется вдоль стороны АС). Точка B при этом получит координаты B (cCosA;cSinA). Это единственный сложный для слабого или среднего ученика факт, который репетитор по математике, работающий по учебнику Атанасяна, должен отдельно рассмотреть. Cложным он является часто по причине того, что не подкреплен в программе достаточным количеством задач и после изучения теоремы косинусов не используется. В случае с данным расположеним точек (когда — острый) репетитору по математике достаточно обратиться к определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольных треугольниках с пунктирными сторонами.

Даленейшее доказательство строится на алгебраических и тригонометрических выкладках. К ним необходимо добавить знание формулы расстояния между двумя точками.

Применяем формулу сокращенного усножения к квадрату суммы:

Выносим за скобку: . Используем основное тригонометрическое тождество и получаем

Любознательному ученику репетитор по математике может показать редкое доказательство теоермы косинусов. Проведем в треугольнике ABC высоту BH и запишем АВ=АН+НВ или с=bCosA+aCosB. Если угол B — тупой, то АВ=АН-НВ и с учетом того, что косинусы смежных углов противоположны, снова получим равенство с=bCosA+aCosB. Поэтому оно не зависит от вида треугольника. запишем аналогичные формулы для а и b:
a=cCosB+bCosC и b=aCosC+cCosA. Умножая их соответственно на а и b и вычитая из их суммы равнство с=bCosA+aCosB получим равенсто

Торема косинусов позволяет объяснить весьма полезное на практике свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Для того, чтобы в этом убедиться достаточно записать теорему косинусов для каждой диагонали и сложить полученные равенства.

Примеры задач, в которых так или иначе можно (или нужно) использовать теорему косинусов:

1) В треугольнике со сторонами 2,3 и 4 найдите длину медианы, проведенную к большей стороне.
2) В том же треугольнике найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
3) В треугольнике АВС отрезок, соединяющий середины АВ и ВС, равен 3 дм, а сторона АВ равна 7дм, угол С равен . Найдите ВС.
4) Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С находится на расстоянии и от вершин А и В. Надите катеты треугольника.

Полноценная подготовка к ЕГЭ по математике невозможна без решения задач на теорему косинусов. В варианте ЕГЭ она может встретится или в номере B4 или в C4. Постепенно я буду переносить на страницу интересные задачи С4 из моей дидактической базы и с пробных экзаменов. Репетиторы, не забудьте, что в ГИА, как на ЕГЭ, теорема косинусов может проявиться и в первой и во второй части варианта.

Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве. Подготовка к ЕГЭ

Любознательному ученику репетитор по математике может показать редкое доказательство теорермы косинусов. Проведем в треугольнике ABC высоту СH и запишем АВ=АН+НВ или с=bCosA+aCosB. Если угол B — тупой, то АВ=АН-НВ и с учетом того, что косинусы смежных углов противоположны, снова получим равенство с=bCosA+aCosB. Поэтому оно не зависит от вида треугольника. запишем аналогичные формулы для а и b:
a=cCosB+bCosC и b=aCosC+cCosA. Умножая их соответственно на а и b и вычитая из их суммы равенство с=bCosA+aCosB, умноженное на с, получим классический вид теоремы косинусов.

Мне этот вариант больше всего нравится. Примерно так я и вывел. Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов .

Здравствуйте! Вы сами такое доказательство нашли? Честь Вам и хвала. Самое интересно, что доказательство не требует координатной и векторной привязки, что позволяет репетитору по математике отрезать часть материала для отстающего ученика, дабы как можно скорее поравняться со школьной программой. Возьму на вооружение. Интересно, Вы репетитор, школьный преподаватель или самородок — любитель математики? Вам от меня личный респект и уважение.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: