Таблица степеней

Таблица степеней чисел с 1 до 10. Калькулятор степеней онлайн. Интерактивная таблица и изображения таблицы степеней в высоком качестве.

Калькулятор степеней

С помощью данного калькулятора вы сможете в режиме онлайн вычислить степень любого натурального числа. Введите число, степень и нажмите кнопку «вычислить».

Таблица степеней от 1 до 10

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1 n	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2 n	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3 n	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049
4 n	4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576
5 n	5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625
6 n	6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176
7 n	7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249
8 n	8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824
9 n	9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401
10 n	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000

Таблица степеней от 1 до 10

7 10 = 282475249

8 10 = 1073741824

9 10 = 3486784401

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

10 10 = 10000000000

Теория

Степень числа – это сокращенная запись операции многократного умножения числа самого на себя. Само число в данном случае называется – основанием степени, а количество операций умножения – показателем степени.

запись читается: «a» в степени «n».

«a» – основание степени

«n» – показатель степени

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Данное выражение читается: 4 в степени 6 или шестая степень числа четыре или возвести число четыре в шестую степень.

Таблица степеней

a n =	a · a · . · a

n

Калькулятор для вычисления степени числа

Таблица степеней чисел от 1 до 10

7 10 = 282475249

8 10 = 1073741824

9 10 = 3486784401

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

10 10 = 10000000000

Таблица степеней

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1 n	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2 n	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3 n	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049
4 n	4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576
5 n	5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625
6 n	6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176
7 n	7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249
8 n	8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824
9 n	9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401
10 n	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000

Скачать таблицу степеней в высоком качестве

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Упростить выражение.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
Представить в виде степени.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
Представить в виде степени.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2 ) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

m : a n =–>

a m

a n

= a m − n , где « a » — любое число, не равное нулю, а « m », « n » — любые натуральные числа такие, что « m > n ».

Записать частное в виде степени
(2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
Вычислить.

11 3 · 4 2
11 2 · 4

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8 : t = 3 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

512 · 4

2 9 · 2 2

2 5

2 9 + 2

2 5

2 11

2 5

= 2 11 − 5 = 2 6 = 64

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Свойство № 3
Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(a n ) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Пример.
(a 4 ) 6 = a 4 · 6 = a 24
Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .

По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Свойства 4
Степень произведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

Пример 1.
(6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
Пример 2.
(−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(a n · b n )= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Пример. Вычислить.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
Пример. Вычислить.
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b) n = a n : b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Таблица степеней

Возведение в степень: определение
Свойства степеней
- Произведение степеней
- Частное степеней
- Возведение степени в степень
- Степень произведения
- Степень частного
Виды таблиц
- Таблица степеней натуральных чисел
- Таблица отрицательных степеней
- Таблица степеней двузначных чисел
Степени от 1 до 10: пример
Квадраты чисел до 100: пример

Возведение в степень: определение

Возведение числа в натуральную степень — это умножение его на само себя определенное количество раз. Это такая же операция в алгебре, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Если определенное число нужно умножить на себя несколько раз, это значит, что его необходимо возвести в соответствующую степень. Например, если четыре нужно умножить само на себя три раза, это равно тому, что четыре следует возвести в третью степень. Закодировать это выражение можно следующей арифметической записью:

4 3 , где 4 — это основание, а 3 — показатель. Также 4 3 = 4·4·4 = 64

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Основные правила выполнения данных вычислений:

итог возведения отрицательного основания в четную степень — положительный;
итог возведения отрицательного основания в нечетную — отрицательный;
итог возведения положительного основания в любую — положительный;
любое основание с показателем один равно себе;
ноль при любом возведении в результате дает ноль;
единица с любым показателем равна единице;
любое основание с показателем ноль равно единице.

Таблица представляет собой ряд чисел, возведенных в определенные степени.

Свойства степеней

a, b — любое рациональное число, n, m — любое натуральное

Произведение степеней

Данное действие подразумевает то, что одинаковое основание остается без изменений, а показатели складываются.

Частное степеней

Под выполнением данной операции понимается то, что одинаковое основание остается без изменений, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.

Возведение степени в степень

Для вычисления результата этой операции основание остается без изменения, а показатели перемножаются.

Степень произведения

Для выполнения этого арифметического действия каждый из множителей возводится в степень, после чего полученные результаты перемножаются.

(left(acdot bright)^n=a^ncdot b^n)

Степень частного

Чтобы выполнить данную арифметическую операцию, следует возвести в степень делимое и делитель, а затем первый результат разделить на второй.

Виды таблиц

Таблица степеней натуральных чисел

Натуральными являются те числа, которые получаются при счете предметов. Наименьшее — один, наибольшего не существует.

Чтобы вычислить результат возведения, нужно основание умножить само на себя столько раз, сколько указано в показателе. То есть основание а с показателем n значит, что а нужно умножить на себя n раз.

Таблица для чисел от одного до десяти:

Таблица отрицательных степеней

Деление является обратной операцией умножению. Отрицательный показатель указывает на то, сколько раз необходимо разделить число. Легче всего представить в виде десятичной дроби:

Для вычисления (а^<-n>) нужно:

Возвести а в степень n.
Затем разделить единицу на полученный результат, то есть (frac<1>) .

Пример таблицы для двойки:

Таблица степеней двузначных чисел

Двузначное число – это комбинация двух однозначных цифр.

Свойства степеней и действия с ними

Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Как обычно — чтобы облегчить себе жизнь. Знание свойств степеней позволит тебе упрощать вычисления и считать быстрее, что пригодится и в жизни и на ОГЭ или ЕГЭ!

Чтобы узнать все о степенях и научиться пользоваться свойствами степеней, читай эту статью.

P.S Если ты хорошо знаешь степени и тебе надо только повторить, переходи сразу к продвинутому уровню.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Степени. Коротко о главном

Определение степени:

Свойства степеней:

Произведение степеней с одинаковым основанием:	( <^>cdot <^>=<^>)
Произведение степеней с одинаковыми показателями:	( <^>cdot <^>=<^>)
Деление степеней с одинаковым основанием:	( frac<<^>><<^>>=<^>)
Деление степеней с одинаковыми показателями:	( frac<<^>><<^>>=<right)>^>)
Возведение степени в степень:	( <> right)>^>=<^>)
Дробная степень:	( <^>>=sqrt[m]<<^>>)

Особенности степеней:

Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное;
Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное;
Положительное число в любой степени – число положительное;
Ноль в любой степени равен ( 0);
Любое число в нулевой степени равно ( 1);
Степень с целым показателем — это степень, показатель которой натуральное число (т.е. целое и положительное);
Степень с рациональным показателем — это степень, показатель которой отрицательные и дробные числа;
Степень с иррациональным показателем — это степень, показатель которой бесконечная десятичная дробь или корень.

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.

Сложение

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.

Умножение

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: (displaystyle 2cdot 8=16).

Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».

В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением.

Согласись, (displaystyle 2cdot 8=16) считается легче и быстрее, чем (displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.

И другая таблица, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень.

Например, (displaystyle 2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2=<<2>^<5>>). Математики помнят, что два в пятой степени – это (displaystyle 32).

И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Примеры из жизни

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером ( displaystyle 3) метра на ( displaystyle 3) метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться.

Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из ( displaystyle 9) кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет ( displaystyle 9) кусков. Это легко…

Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет ( displaystyle 10) см на ( displaystyle 10) см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать.

Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится ( displaystyle 30) плиток (( displaystyle frac<300 см><10 см>=30) штук) и по другой тоже ( displaystyle 30) плиток.

Умножив ( displaystyle 30) на ( displaystyle 30) , ты получишь ( displaystyle 900) плиток (( displaystyle 30cdot 30=900) ).

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень».

Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше.

Итак, тридцать во второй степени будет ( displaystyle 900) (( displaystyle <<30>^<2>>=900) ). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет ( displaystyle 900) .

Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа.

Квадрат – это изображение второй степени числа.

Вот тебе задание, посчитать, сумму белых и черных квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа… По одной стороне ( displaystyle клеток и по другой тоже ( displaystyle .

Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной ( displaystyle , то можно возвести восемь в квадрат. Получится ( displaystyle 64) клетки (( displaystyle 8cdot 8=<<8>^<2>>=64)). Так?

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?)

Нарисуй бассейн: дно размером ( displaystyle 3) на ( displaystyle 3) метра и глубиной ( displaystyle 3) метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать?

Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту.

В нашем случае объем бассейна будет равен ( displaystyle 3cdot 3cdot 3=27) кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя…

А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты ( displaystyle 27) раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно ( displaystyle 27) . Записывается это так: ( displaystyle <<3>^<3>>=27) .

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

У тебя есть ( displaystyle 2) миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через ( displaystyle 5) лет?

Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп!

Ты заметил, что число ( displaystyle 2) перемножается само на себя ( displaystyle 6) раз. Значит, два в шестой степени – ( displaystyle 64) миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти ( displaystyle 64) миллиона получит тот, кто быстрее посчитает…

Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

У тебя есть ( displaystyle 1) миллион. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через ( displaystyle 4) года?

Давай считать. Первый год — ( displaystyle 1) умножить на ( displaystyle 3) , потом результат еще на ( displaystyle 3) …

Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя ( displaystyle 4) раза.

Значит ( displaystyle 3) в четвертой степени равно ( displaystyle 81) миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это ( displaystyle 81) или ( displaystyle <<3>^<4>>=81) .

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Числа. Степень числа.

Общеизвестный факт что сумму нескольких равных слагаемых можно найти с помощью умножения. Например : 5+5+5+5+5+5=5х6. О таком выражении говорят, что сумму равных слагаемых свернули в произведение. И наоборот, если читать это равенство справа налево, получаем, что мы развернули сумму равных слагаемых. Аналогично можно сворачивать произведение нескольких равных множителей 5х5х5х5х5х5=5 6 .

То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».

Выражение 5 6 – это степенью числа, где:

5 – основание степени;

6 – показатель степени.

Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.

В общем виде степень с основанием “a” и показателем “n” записывается так

Возвести число a в степень n – значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а

Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1

Если возвести число «а» возвести в первую степень, то получим само число a: a 1 = a

Если возвести любое число в нулевой степень, то в результате вычислений получим один . a 0 = 1

Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа, третью – кубом этого числа.

В степень можно возводить любое число – положительное, отрицательное или нуль. При этом не пользуются следующими правилами:

-при нахождении степени положительного числа получается положительное число.

-при вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.

– при вычислении степени отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Если решить несколько примеров на вычисление степени отрицательных чисел, то получится, что если мы вычисляем нечётную степень отрицательного числа, то в результате будет число со знаком минус. Так как при умножении нечётного количество отрицательных сомножителей получаем отрицательное значение.

Если же мы рассчитываем четную степень для отрицательного числа, то в результате будет положительное число. Так как при умножении чётного количества отрицательных сомножителей получаем положительное значение.

Свойства степени с натуральным показателем.

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями мы основания не меняем, а показатели степеней складываем:

например: 7 1.7 · 7 – 0.9 = 7 1.7+( – 0.9) = 7 1.7 – 0.9 = 7 0.8

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем:

например: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.

например: (2 3 ) 2 = 2 3·2 = 2 6

Если необходимо рассчитать возведение в степень произведения, то в эту степень возводится каждый множитель

например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби

например: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3 .

Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.

При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.

Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.

Фибоначчи повсюду!

Числа Фибоначчи названы в честь Леонардо Фибоначчи из города Пизы (современная Италия). На самом деле эти числа были известны задолго до Фибоначчи ещё в древней Индии, где они использовались в метрическом стихосложении.

Леонардо Фибоначчи первым ввёл эту числовую последовательность в западноевропейской математической науке в своей важной книге «Liber Abaci» («Книга абака») в 1202 году. Он использовал эту последовательность чисел, когда пытался объяснить рост популяции кроликов.

Числа Фибоначчи и золотое сечение

Как известно, последовательность Фибоначчи начинается с 1 и 1, после чего каждое новое число является результатом сложения двух предыдущих чисел:

Если разделить два последовательных числа в этом ряду, например 144/89, в конечном итоге получится число 1,618, которое называется «Золотое число» или «Золотое сечение».

Пропорция золотого сечения считается эстетически приятной и из-за этого многие художники и архитекторы, в том числе Сальвадор Дали и Ле Корбюзье использовали её в своих работах.

Последовательность Фибоначчи и Золотое сечение тесно взаимосвязаны. Отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится и приближается к золотому сечению, а выражение замкнутой формулы для последовательности Фибоначчи включает Золотое сечение.

Спираль Фибоначчи или золотая спираль — это последовательность соединенных четвертей окружностей, вписанных внутри массивов квадратов со сторонами равными числам Фибоначчи. Квадраты идеально подходят друг к другу из-за природы последовательности Фибоначчи, в которой следующее число равно сумме двух перед ним (см.предыдущий рисунок). Любые два последовательных числа Фибоначчи имеют отношение, очень близкое к золотому сечению, которое составляет примерно 1.618034. Чем больше пара чисел Фибоначчи, тем ближе это приближение. Спираль и результирующий прямоугольник называются золотым прямоугольником.

Почему эта последовательность настолько уникальна

Числа Фибоначчи описывают различные явления в искусстве, музыке и природе. Числа спиралей на большинстве шишек и ананасах равны числам Фибоначчи. Расположение листьев и ветвей на стеблях многих растений соответствуют числам Фибоначчи. На пианино количество белых (8) клавиш и черных (5) клавиш в каждой октаве (13) являются числами Фибоначчи. Длины и ширины много прямоугольных предметов, таких как учетные карточки, окна, игральные карты и пр. соответствуют последовательным числам ряда Фибоначчи.

Числа Фибоначчи в природе

Подсолнухи являются отличными примерами последовательности Фибоначчи, потому что семена в центре цветка организованы в два набора спиралей — короткие, идущие по часовой стрелке от центра, и более длинные — против часовой стрелки. Если считать спирали последовательно, то, видимо, всегда найдутся числа Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи можно также увидеть в форме или разделении ветвей дерева. Основной ствол будет расти до тех пор, пока он не создаст ветвь, которая создает две точки роста. Затем один из новых стеблей разветвляется на два, в то время как другой находится в состоянии покоя. Такая картина ветвления повторяется для каждого из новых стеблей. Корневая система и даже водоросли также демонстрируют эту закономерность.

Вот еще несколько примеров, где вы можете найти спираль Фибоначчи в природе.

Неудивительно, что спиральные галактики также следуют знакомой схеме Фибоначчи. Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет логарифмическую спираль около 12 градусов.

Числа Фибоначчи в теле человека

Есть много примеров соотношений частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, например рука и, в частности, кости пальца.

Каждая кость указательного пальца, от кончика до основания запястья, больше предыдущей примерно на коэффициент Фибоначчи 1,618, что соответствует числам Фибоначчи 2, 3, 5 и 8.

Числа Фибоначчи в биржевой торговле

Последовательность Фибоначчи является инструментом технического анализа, используемым профессиональными трейдерами в сочетании с другими инструментами для расчета прогноза потенциального конца коррекции, принимая процент от предыдущего движения.

Считается, что во время мощного рыночного движения, цены могут откатываться на 23,6% (это соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+3), 38,2% (соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+2) или 50% (половина). Эти уровни коррекции Фибоначчи считаются «нормальными». Если же цена падает на 61,2% (отношение двух соседних чисел ряда Фибоначчи — позиции N и N+1) и более, то это серьезный сигнал вероятного разворота тренда.

Числа Фибоначчи в фотографии и искусстве

В фотографии сетка фи (phi) является интерполяцией спирали Фибоначчи и в наши дни считается фундаментальным методом для создания приятной композиции в кадре. Цель состоит в том, чтобы выровнять объект по линиям, созданным спиралью, или использовать её в качестве разделителя для создания правильного ощущения кадра.

Имеется много примеров, когда последовательность Фибоначчи появляется вокруг нас, и мы не обращаем внимания на это математическое чудо, которое кажется таинственным фактором, приносящим универсальную форму гармонии элементам математического музыкального искусства природы.

Может именно из-за этого Дональд Трамп был избран президентом? (шутка):