Смежные углы определение, виды, признаки подобия, основные свойства

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие смежных и вертикальных углов
  • Свойства смежных и вертикальных углов
  • Отличие аксиомы от теоремы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

  • Сумма смежных углов равна 180 0 .
  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
  • Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180 о .

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180 о .

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180 о . Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 90 0 , называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 180 0 и ∠3+ ∠2= 180 0 . Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____ 0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 180 0 . По условию задачи ∠АОК= 11 0 , то ∠ВОК+ ∠АОК= 180 0

∠ВОК+ 11 0 = 180 0

Читайте также:
Степени чисел - возведение в степень в алгебре, таблица, правила

∠ВОК= 180 0 – 11 0 = 169 0 .

Ответ: ∠ВОК= 169 0

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Варианты ответов:

  1. 112 0
  2. 64 0
  3. 116 0
  4. 68 0

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 32 0 + 32 0 = 64 0 . ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 180 0 –∠COD= 180 0 – 64 0 =116 0 .

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 125 0 , ∠BMC= 115 0 .

Выделите верный ответ из списка:

60 0 ; 30 0 ; 75 0 ; 90 0

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 180 0 . Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 180 0 –∠AMD= 180 0 -–125 0 = 55 0 . Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

Что такое угол? Виды углов

О чем эта статья:

2 класс, 5 класс

Определение угла

Угол — это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.

Луч — прямая линия, у которой есть начало, но нет конца, и продолжается она только в одну сторону.

Если нам дана прямая a на плоскости, и на ней есть некоторая точку O — выходит, что прямая разделена точкой на две части, каждая из которых является лучом с началом в точке O.

Луч можно обозначить одной строчной буквой латинского алфавита или двумя прописными. Например, вот так:

Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон.

В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: .

Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Если стороны угла названы большими буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, при этом вершина всегда записывается в центре. При сторонах угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA.

Иногда можно встретить обозначение в виде цифр — так тоже можно.

Для наглядности — все способы обозначения углов:

Что такое вершина и стороны угла:

  • Стороны угла — лучи, из которых состоит угол.
  • Вершина угла — общее начало сторон угла.

Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла. Вот так:

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Единица измерения углов — градусы. Символ для обозначения градуса угла: °.

Определение смежных и вертикальных углов

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Таким образом два смежных угла составляют развернутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны, при условии, что смежные углы не равны.

Вертикальные углы — это пара углов, у которых есть общая вершина, при этом стороны одного угла составляют продолжение сторон другого угла.

При пересечении прямых получается четыре пары смежных и две пары вертикальных углов. Вот как это выглядит:

Виды углов

Есть разные типы углов и у каждого своё название:

  • острый
  • прямой
  • тупой
  • развернутый
  • выпуклый
  • полный

Различать виды углов в геометрии важно. Определять можно на глаз или с помощью линейки.

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать самый простой способ из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны заданных углов совпадут, значит углы равные. Если нет, то угол, который лежит внутри другого, будет меньшим. Здесь два наглядных примера с равными и неравными углами:

Читайте также:
Сборник ГДЗ по математике для 5 класса по Виленкину читать

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов ∠ и ∠ происходит следующим образом:

  1. Вершину одного угла совмещаем с вершиной другого угла.
  2. Сторону одного угла накладываем на сторону другого угла так, чтобы стороны и располагались в одном направлении.

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠ = ∠ .

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠

Как правильно измерять углы

Измерение углов похоже на измерение отрезков: нужно сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Обозначается — 0.

Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Есть еще две возможные меры угла: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно, когда величина не является целым обозначением градуса.

Минута — 1/60 часть градуса. Обозначается — ´.

Секунда — 1/60 часть минуты. Обозначается — ´´.

Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60′ = 3600′.

Как происходит измерение угла: сначала измеряются стороны угла, а после его внутренняя область. Всегда нужно считать количество уложенных углов, так как они предопределяют меру измеряемого угла.

Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

На рисунке изображен угол АОВ, он состоит из углов АОС, СОD и DОВ. Можно записать так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135 °.

Угол называется прямым, если он равен 90°, а острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол имеет 180°.

Равные углы имеют равную градусную меру.

Обозначение углов на чертеже

Чертеж помогает решать задачки по геометрии в разы быстрее. Чтобы наглядно изображать дуги, углы и прочие фигурки, придумали даже отдельное направление — геометрический чертеж.

Задачи с углами могут быть разными и не всегда есть возможность правильно изобразить и отметить угол. Вот, что важно запомнить при обозначении лучей и углов:

  • Равные углы обозначают одинаковым количеством дуг.
  • Неравные углы обозначают разным количеством дуг, чтобы они отличались между собой.
  • Для обозначения на чертеже более трех углов используем разные виды дуг: волнистые, зубчатые.

На чертеже отмечены острые, равные и неравные углы.

Обозначать углы можно разными цветами. Главное, чтобы было просто и броско. При этом необязательно отмечать все-все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачки.

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

  • Недавние изменения
  • Управление медиафайлами
  • Все страницы

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Содержание

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Читайте также:
Объем цилиндра определение, формулы расчета через диаметр и площадь

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° – ∠ COD = 180° – 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х . Тогда градусная мера большего угла будет Зх . Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° – 50° = 130°.

Отыскание смежных углов треугольника. Пример 5

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.

Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Угол – определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Содержание:

  1. Определения
    1. Аксиомы
      1. Пример №1
      2. Пример №2
      3. Пример №3
    2. Смежные углы. Вертикальные углы
      1. Пример №4
      2. Пример №5
      3. Пример №6

Определение: Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, и частью плоскости, которую они ограничивают.

Два угла называются равными, если их можно совместить наложением.

Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Определение. Развернутым углом называется угол, стороны которого являются дополнительными лучами.

На рисунке 56 луч АК — биссектриса угла ВАС и

На рисунке 57 угол ABC — развернутый, лучи ВА и ВС — дополнительные. Другая (незакрашенная) полуплоскость относительно прямой АС также задает развернутый угол ABC.

Читайте также:
Множество - обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры

Углы измеряются в градусах, минутах, секундах.

Развернутый угол равен 180°; часть развернутого угла называется градусом и обозначается ; часть одного градуса называется минутой и обозначается 1′; часть минуты называется секундой и обозначается 1″.

Угол, равный 5 градусов 20 минут и 35 секунд, записывается так: 5°20’35”.

Вместо «градусная мера угла равна 20°» часто говорят «угол равен 20°», вместо найти «градусную меру угла» говорят «найти угол».

Определения

Определение: Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, и частью плоскости, которую они ограничивают.

Определение: Угол, равный 90°, называется прямым; угол, меньший 90°, — острым; угол, больший 90°, но меньший 180°, — тупым; угол, равный 360°, называется полным (его стороны совпадают).

На рисунке 58 последовательно изображены: острый угол, равный 60°; прямой угол, равный 90°; тупой угол, равный 120°; угол, равный 270°; и полный угол, равный 360°.

Градусная мера угла является его важной характеристикой. Свойства градусной меры угла: любой угол имеет градусную меру, выраженную некоторым положительным числом; равным углам соответствуют равные градусные меры, а большему углу — большая градусная мера. И наоборот.

Аксиомы

Аксиома измерения углов. Если внутри угла из его вершины провести луч, то он разобьет данный угол на два угла, сумма градусных мер которых равна градусной мере данного угла.

Аксиома откладывания углов. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной градусной меры, и притом только один.

На рисунке 59 луч AD проходит внутри угла ВАС. По аксиоме измерения углов Например, если из вершины развернутого угла АОВ (рис. 60) провести ЛУЧ ОС, который составит со стороной ОВ угол 50°, то со стороной OA луч ОС составит 180° – 50° = 130°.

Два луча с общим началом задают на плоскости два угла. В дальнейшем будем рассматривать меньший из этих двух углов (если они неразвернутые). Такой угол меньше 180°.

Пример №1

Внутри угла ВАС, равного 114°, из его вершины проведен луч АЕ. Угол ВАЕ в 2 раза больше угла ЕАС. Найти величину угла ВАЕ.

Решение:

Пусть Тогда (рис. 61).

По аксиоме измерения углов

Тогда

Замечания. 1. Возможен другой способ записи решения, когда рядом с буквой пишут знак градуса: Тогда в уравнении знак градуса писать не нужно:

2. В дальнейшем при решении задач не будем ссылаться на аксиому измерения углов.

Пример №2

Внутри угла проведены лучи BD и BF (рис. 62).

Найти величину угла DBF, если:

Решение:

Если сложить углы ABF и CBD, то получим угол ABC плюс угол DBF.

Отсюда

Ответ:

Пример №3

Луч AD делит угол ВАС на два угла BAD и CAD. Доказать, что угол между биссектрисами АК и АЕ углов BAD и CAD равен половине угла ВАС (рис. 63).

Доказательство:

Так как АК иАЕ — биссектрисы, то Тогда

Следовательно, Что и требовалось доказать.

Замечание. В данной задаче мы доказали свойство: «Если внутри угла из его вершины провести луч, то угол между биссектрисами полученных углов равен половине данного угла».

Геометрия 3D

В пространстве при пересечении двух плоскостей образуются двугранные углы. Две полуплоскости с общей границей являются гранями такого двугранного угла, а их граница — его ребром. Измеряется двугранный угол величиной линейного угла, образованного двумя лучами, проведенными в каждой из полуплоскостей из точки на ребре двугранного угла перпендикулярно этому ребру. На рисунке 69 ZABC — линейный угол изображенного двугранного угла.

Геометрия 3D

В пространстве при пересечении двух плоскостей образуются двугранные углы. Две полуплоскости с общей границей являются гранями такого двугранного угла, а их граница — его ребром. Измеряется двугранный угол величиной линейного угла, образованного двумя лучами, проведенными в каждой из полуплоскостей из точки на ребре двугранного угла перпендикулярно этому ребру. На рисунке 69 — линейный угол изображенного двугранного угла.

Читайте также:
Неравенства с двумя переменными - примеры с пошаговым решением

Смежные углы. Вертикальные углы

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Если на рисунке 70 лучи OA и ОВ дополнительные, то углы АОС и ВОС — смежные.

Теорема (свойство смежных углов). Сумма смежных углов равна 180°.

Дано: — смежные.

Доказать:

Доказательство:

Из определения смежных углов следует, что лучи OA и ОВ являются дополнительными и поэтому образуют развернутый угол АОВ, равный 180°. Луч ОС проходит между сторонами этого угла, и по аксиоме измерения углов Поэтому . Теорема доказана.

Следствия.

  1. Если смежные углы равны, то каждый из них прямой.
  2. Если два угла равны, то равны и смежные с ними углы.

Замечание. Все теоремы курса геометрии 7—9 классов описывают свойства фигур на плоскости.

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого.

При пересечении двух прямых АС и DB в точке О (рис. 71) получим, что лучи OA и ОС, О В и OD — дополнительные. Поэтому углы AOD и BОС — вертикальные. Углы АОВ и DOC также вертикальные.

Теорема (свойство вертикальных углов). Вертикальные углы равны.

Дано: — вертикальные (рис. 72).

Доказать:

Доказательство:

Углы 1 и 3 смежные, так как лучи OA и OD — дополнительные по определению вертикальных углов. По свойству смежных углов Углы 2 и 3 также смежные,

Так как

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется меньший из образованных ими углов. Если при пересечении прямых АВ и CD (рис. 73) то как вертикальные. Угол между прямыми АВ и CD равен 30°. Говорят, что прямые пересекаются под углом 30°.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла (не считая развернутых). Если один из них 90°, то и остальные по 90° (докажите самостоятельно). Говорят, что прямые пересекаются под прямым углом.

Угол между параллельными прямыми считается равным 0°.

Пример №4

Смежные углы относятся как 2:3. а) Найти величину каждого из углов, б) Определить, сколько процентов развернутого угла составляет меньший угол.

Решение:

а) Пусть — данные смежные углы (рис. 74). Согласно условию (градусную меру одной части принимаем за ). По свойству смежных углов

то есть

б) Меньшим является а 72° от 180° составляют

Ответ: 72°, 108°; 40 %.

Пример №5

а) Найти угол между биссектрисами ОК и ОМ смежных углов ВОС и АОС (рис. 75), если б) Доказать, что биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

Решение:

а) Если

б) Так как ОМ и ОК — биссектрисы, то

Найдем градусную меру По свойству смежных углов Тогда . Что и требовалось доказать.

Замечание. Можно было сослаться на ключевую задачу 3* к § 5.

Пример №6

Доказать, что биссектрисы вертикальных углов образуют развернутый угол.

Решение:

а) Пусть ОЕ и ОК — биссектрисы вертикальных углов АОС и BOD (рис. 76). Докажем, что — развернутый. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Так как вертикальные углы равны, то равны и их половины. Поэтому

б) так как лучи OA и ОВ дополнительные, и поэтому — развернутый. Заменив в последнем равенстве на равный ему получим Отсюда следует, что — развернутый.

Замечание. Из решения задачи следует свойство: если — развернутый и — вертикальные.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Читайте также:
Числа Фибоначчи: история, определение, золотое сечение, комбинаторика

Смежные углы и их свойства

Смежные углы и их свойства.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой.

Смежные углы (понятие и определение):

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол .

Рис. 1. Смежные углы

В свою очередь, развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180°.

Поэтому сумма величин смежных углов составляет 180 градусов.

Из этого следует, что величина угла β, являющимся смежным для угла величиной α градусов, будет (180° – α) градусов.

Свойства смежных углов:

1. Сумма величин смежных углов равна 180 градусам.

2. При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов.

Рис. 2. Смежные углы

3. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол . Такие углы равны между собой.

Рис. 3. Смежные углы

4. В паре смежных углов один угол всегда тупой, а другой – острый либо оба угла являются прямыми.

5. Синусы смежных углов равны.

6. Косинусы и тангенсы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

  • ← Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы
  • Вертикальные углы и их свойства →

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

  • Концепция инновационного развития общественного производства – осуществления Второй индустриализации России на период 2017-2022 гг. (106 533)
  • Экономика Второй индустриализации России (102 545)
  • Программа искусственного интеллекта ЭЛИС (27 747)
  • Метан, получение, свойства, химические реакции (24 179)
  • Этилен (этен), получение, свойства, химические реакции (23 880)
  • Природный газ, свойства, химический состав, добыча и применение (21 534)
  • Крахмал, свойства, получение и применение (20 870)
  • Пропилен (пропен), получение, свойства, химические реакции (19 941)
  • Целлюлоза, свойства, получение и применение (19 728)
  • Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы (18 986)

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Смежные и вертикальные углы. Треугольник. Равнобедренный треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия

Готовиться с нами – ЛЕГКО!

Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Читайте также:
Взаимное расположение 2 плоскостей в пространстве

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт 1.
(bullet) Смежные углы – два угла, имеющие общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями одна другой.

Смежные углы: (angle AOB) и (angle BOC) .
Теорема: Сумма смежных углов равна (180^circ) : (angle AOB+angle BOC=180^circ) .

Факт 2.
(bullet) Вертикальные углы – два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (образуются, например, при пересечении двух прямых).

Вертикальные углы: (angle 1) и (angle 2) , (angle 3) и (angle 4) .
Теорема: Вертикальные углы равны: (angle 1=angle 2) и (angle 3=angle 4) .

Факт 3.
(bullet) Сумма углов (angle A, angle B, angle C) треугольника (ABC) равна (180^circ) .
(bullet) Внешний угол (angle BCD) треугольника (ABC) равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Факт 4.
(bullet) Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
(bullet) Биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых взаимно перпендикулярны.

Факт 5.
(bullet) Прямая теорема: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.
(bullet) Обратная теорема: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Факт 6.
(bullet) Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны. Третья сторона треугольника называется основанием.
Первое свойство равнобедренного треугольника:

Второе свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны.

Первый признак равнобедренного треугольника: если у треугольника два угла равны, то он равнобедренный.
Второй признак равнобедренного треугольника: если у треугольника совпадают высота и медиана (высота и биссектриса или медиана и биссектриса), проведенные к одной и той же стороне, то этот треугольник является равнобедренным.

Факт 7.
(bullet) Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Факт 8.
(bullet) Медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.

Факт 9.
(bullet) Медиана треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Факт 10.
(bullet) Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, делит его на два треугольника, подобных исходному.
(bullet) Квадрат этой высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Факт 11.
(bullet) Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
(bullet) 1. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне.
(bullet) 2. Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.
(bullet) 3. Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему треугольник.

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, – на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Читайте также:
Числовые выражения - определение, значения, формулы для 7 класса

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Смежные углы определение, виды, признаки подобия, основные свойства

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области.

Содержание:

На рисунке 2.47 изображена прямая , на ней отмечена точка В, которая разделяет прямую на три части:

1) первая состоит из точек, лежащих левее точки В;

2) вторая состоит из самой точки В;

3) третья состоит из точек, лежащих правее точки В.

Объединение первого или третьего множеств с точкой В называется лучом или полупрямой. Таким образом, точка В определила на прямой два луча.

Точка В называется началом каждого из этих лучей или начальной точкой полупрямой.

Луч обозначается латинскими буквами: одной строчной (например, на рис. 2.48) или двумя заглавными, одна из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-либо точку на луче (например, луч ВС на рис. 2.49).

Полупрямые прямой , на которые она разбивается точкой В, называются дополнительными.

В повседневной жизни мы часто употребляем понятие направления: направление движения пешехода или автомобиля, направление удара мяча в

футбольном матче, направление полета самолета или ракеты и т. д.

При задании направления используют понятие луча. В геометрии считают, что направление задается лучом, а определить понятие «направление» можно как множество лучей, сонаправлен-ных (одинаково направленных) с данным (рис. 2.50).

1. Если два луча лежат на одной прямой, то будем считать их одинаково направленными, если один из них содержится в другом, и противоположно направленными, если один из них не содержится в другом.

2. Если два луча параллельны, но не лежат на одной прямой, то проведем через их начала плоскость, которая разделит пространство на два полупространства. Если лучи лежат в одном из этих полупространств, то они сонаправлены (рис. 2.51). Если же лучи лежат в разных полупространствах, то они противоположно направлены (рис. 2.52).

Понятие угла

На рисунке 2.53 два луча OA и ОВ имеют общее начало. Эти два луча с общим началом всегда лежат в одной плоскости.

При таком расположении лучи разбивают плоскость, которую они образуют, на две части (рис. 2.54). Эти части плоскости вместе с образовавшими их лучами в геометрии называются углами.

Определение. Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости.

На рисунке 2.54 лучи OA и ОВ имеют общее начало — точку О и разбивают плоскость на две части. Исходя из определения угла, получили два различных угла.

Точка, из которой выходят ограничивающие угол лучи, называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла (рис. 2.55). Лучи OA и ОС на этом рисунке определяют два угла.

Весь угол изобразить на рисунке нельзя, как нельзя на рисунке изобразить весь луч. Каждый угол в действительности продолжается бесконечно. На рисунке 2.56 выделены только части изображенных углов.

Слово «угол» иногда заменяют знаком . Часто при изображении угла чертят только выходящие из вершины начальные участки его сторон, а ту часть, которую хотят указать, обозначают дужкой (рис. 2.57)

Угол обозначается или одной заглавной буквой, поставленной у вершины угла, например: (рис. 2.57), или тремя буквами, из которых одна ставится при вершине угла, а две другие — у каких-нибудь точек сторон, например: (рис. 2.57). Буква, стоящая при вершине угла, всегда записывается между двумя другими буквами. Иногда угол обозначают цифрой, поставленной внутри угла (рис. 2.58).

Читайте также:
Теорема косинусов для треугольника - суть, как доказать

Для изучения свойств углов используется понятие луча, проходящего между сторонами угла.

Определение. Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

На рисунке 2.59 луч ОВ проходит между сторонами угла АОС, так как он исходит из вершины угла АОС и пересекает отрезок MP. Концы отрезка MP лежат на сторонах угла АОС.

Возьмем луч АС (рис. 2.60) и будем поворачивать его вокруг точки А против часовой стрелки, например, до положения АВ, тогда его последовательные положения «заметут» угол со сторонами АС и АВ.

Продолжая вращать луч в том же направлении, мы будем получать все новые и новые углы. В определенный момент оба луча составят прямую линию (рис. 2.61). Такой угол называется развернутым углом.

Развернутый угол есть часть плоскости, ограниченная прямой, т. е. полуплоскость (рис. 2.62). Сторонами развернутого угла являются две дополнительные полупрямые.

Определение. Развернутым углом называют угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми одной прямой.

Если продолжить вращение луча дальше, чем показано на рисунке 2.62, то будут получаться новые углы (рис. 2.63), пока луч не вернется в свое первоначальное положение (рис. 2.64).

Самый большой возможный угол, полученный в ходе вращения луча, называется полным углом. Полный угол, в сущности, есть вся плоскость (рис. 2.65), а не ее часть, ограниченная двумя лучами.

Измерение углов

Каждый угол характеризуется его величиной, которая называется градусной мерой угла. Измерение углов осуществляется аналогично измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный части развернутого угла. Градус обозначают знаком .

Градусную меру часто называют просто величиной угла. Величина угла, равного части градуса, называется минутой и обозначается знаком , часть минуты называется секундой и обозначается знаком . Например, угол в 60 градусов 32 минуты 17 секунд записывается так: 60°32’17”.

Так как градус составляет часть развернутого угла, развернутый угол равен 180°.

Определение. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называют градусной мерой угла.

В зависимости от градусной меры углы бывают трех видов: острые, прямые и тупые.

Определение. Угол, равный 90°, называют прямым углом. Прямой угол обозначается буквой d. Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90°, называют тупым углом.

Градусные меры угла обозначаются или так же, как сами углы, или буквами греческого алфавита. Например, запись читается: величина (или градусная мера) угла АОВ равна 45 градусам. На рисунке 2.66 величина острого угла записана: , читаем: величина угла меньше 90 градусов. Аналогично записываются и читаются величины прямого и тупого углов (рис. 2.67, 2.68).

Основные свойства измерения углов

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Например, на рисунке 2.69 луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, градусная мера угла АОВ равна сумме градусных мер углов АОС и СОВ, то есть

Для измерения градусных мер углов (величин углов) на уроках геометрии применяется транспортир (рис. 2.70). На рисунке 2.71 показано, как с помощью транспортира можно измерять угол в 30°, 90°, 120°. На рисунке 2.72 показано, как с помощью транспортира можно отложить от полупрямой OA в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.

Пример:

Между сторонами угла COD, равного 120°, проходит луч OA. Найдите углы СОА и AOD, если их градусные меры относятся как 4:2.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1.

2. Луч OA проходит между сторонами угла COD.

3.

Найдите градусные меры углов СОА и AOD.

4. (2, свойства измерения углов).

5. Так как градусные меры углов СОА и AOD относятся как 4:2, то можно считать, что состоит из 6 частей (1, 2, 3, 4).

Читайте также:
Четырехугольник является параллелограммом - доказательство

6.

Равенство углов. Биссектриса угла

Как и при определении равенства отрезков, рассматриваются два определения равенства углов.

Определение. Углы равны, если равны их градусные меры.

На рисунке 2.73 изображены два угла ABC и DEM, величины которых равны, а значит, по определению, эти углы равны. Равенство углов обозначается так:

Определение. Углы называются равными, если их можно совместить наложением друг на друга.

Развернутые углы при наложении всегда могут быть совмещены. Отсюда следует, что все развернутые углы равны между собой. Полные углы равны между собой.

Пусть есть два угла: (рис. 2.74). Если угол 1 наложить на угол 2 так, чтобы их вершины совпали, одна из сторон угла 1 совместится со стороной угла 2, но при этом угол 1 составит только часть угла 2 (рис. 2.75). В этом случае говорят, что величина угла 1 меньше величины угла 2. Можно сформулировать по-другому: угол 1 меньше угла 2.

Используя понятие равенства углов, можно дать определение одному из важных понятий геометрии — биссектрисе угла.

Определение. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

На рисунке 2.76 луч ОМ — биссектриса угла АОВ, при этом

Смежные углы

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке 2.77 являются смежными, так как лучи OA и ОС — дополнительные полупрямые, а луч ОВ — общая сторона этих углов.

Теорема 4.

Сумма смежных углов равна 180°.

Из теоремы 4 вытекают следующие следствия — свойства смежных углов.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым, является тупым, а смежный с тупым — острым.

Вертикальные углы

На рисунке 2.78 изображены две пересекающиеся в точке О прямые АВ и CD. При пересечении этих прямых образовалось четыре угла:

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

На рисунке 2.78 углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные.

Теорема 5.

Вертикальные углы равны.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.

Пример:

На рисунке 2.79 угол COD равен 30°. Чему равны углы АОК и DOK?

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Прямые СК и AD пересекаются в точке О.

2. (рис. 2.79)

3. Найдите углы АОК и DOK.

4. Углы COD и АОК вертикальные (1, определение вертикальных углов).

5. (2, свойство вертикальных углов).

6. Угол DOK смежный с углом COD (1, определение смежных углов).

7. (6, свойство смежных углов).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета “Математика”:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету “Математика”:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: