Б2.Электрическое поле. Напряжённость поля. Принцип суперпозиции полей. Силовые линии поля. Поле Диполя.
Электрическое поле — одна из составляющих электромагнитного поля; особый вид материи, существующий вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также при изменении магнитного поля (например, в электромагнитных волнах). Электрическое поле непосредственно невидимо, но может быть обнаружено благодаря его силовому воздействию на заряженные тела.
Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика — напряжённость электрического поля — векторная физическая величина, равная отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещённый в данную точку пространства, к величине этого заряда. Направление вектора напряженности совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.
При́нцип суперпози́ции — один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:
результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.
Если в данной точке пространства различные электрически заряженные частицы 1, 2, 3. и т.д. создают электрические поля с напряженностью Е1, Е2, Е3 . и т.д., то результирующая напряженность в данной точке поля равна геометрической сумме напряженностей.
Электрическое поле наглядно изображается с помощью силовых линий. Силовой линией электрического поля называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором напряженности поля. Силовые линии проводятся с такой густотой, чтобы число линий, пронизывающих воображаемую площадку 1м2, перпендикулярную полю, равнялось величине напряженности поля в данном месте. Тогда по изображению электрического поля можно судить не только о направлении, но и о величине напряженности поля. Электрическое поле называется однородным, если во всех его точках напряженность Е одинакова. В противном случае поле называется неоднородным.
При положительном заряде, образующем поле, вектор напряженности направлен вдоль радиуса от заряда, при отрицательном – вдоль радиуса по направлению к заряду. Исходя из положительного заряда (или входя в отрицательный заряд) силовые линии теоретически простираются до бесконечности.
. Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:
Как следует из формул напряженность поля точечного заряда в вакууме
Векторная сумма-это принцип суперпозиции.Для того чтобы задать поле надо в каждой точке пространства задать направление вектора E и его модуль. Силовая линия-это мысленная кривая.проведенная т. о. ,чтобы в каждой точке её вектор E был бы касательной
Напряж.данной точки будет равна 1.Если 3,то 3. Договоримся,что из поожительных выходят,а в отрицательный заряд входят
Силовая линия .Выбрали площадку ds, n-нормаль,тогда потоком вектора e будет наз-ся величина -скалярное произведение.
Имеется конечная площадка ds,тогда поток
Если поверхность замкнутая,то поток через замкнутую поверхность
Замкнт. Поверхность разделяет просторан. На внутреннею часть и на внешнюю,которые между собой не прикасаются.замкн. находится,тогда поток вектора E через заданную поверхность
Имеется несколько зарядов. Теорема
Е—напряженность результирующего поля, а Еi — напряженность поля, создаваемого зарядом Qi. Подставляя последние выражения в, получаем
Формула выражаетпринцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q,–Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называетсяплечом диполя 1. Вектор
совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда |Q| на плечо l, называетсяэлектрическим моментом диполяилидипольным моментом.Согласно принципу суперпозиции напряженность Е поля диполя в произвольной точке
где Е+ и Е– — напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.
Б3.Поток вектора напряжённости электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса. Примеры.
Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности Ne.
Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4).
Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению
где -a угол между силовой линией и нормалью n к площадке dS; dS – проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен
т.к 
то
где – En проекция вектора E на нормаль и к поверхности dS.
Принцип суперпозиции полей
Средняя оценка: 4.9
Всего получено оценок: 90.
Средняя оценка: 4.9
Всего получено оценок: 90.
Одним из важнейших принципов, существующих в электростатике, является принцип суперпозиции полей. Кратко рассмотрим суть этого принципа, выведем его математическую формулу.
Действие силового поля
Силовое поле – это особая форма материи, действие которого заключается в силовом влиянии на носители заряда. То есть, если у тела есть некоторый электрический заряд, и оно находится в силовом электрическом поле, то со стороны этого поля на тело будет действовать определенная сила, тем большая, чем больше напряженность поля.
Рис. 1. Напряженность электрического поля.
Природа поля не обязательно должна быть электрической. Действие гравитационного силового поля заключается в силовом воздействии на тела, имеющие массу (носители «гравитационного заряда»).
Сложение действия полей
Что произойдет с зарядом, на который действует несколько полей ?
Опыт показывает, что сила, действующая на заряд со стороны поля, не зависит от других сил, тоже действующих на заряд. При этом их источником могут являться другие поля. Фактически, несколько полей будут действовать на заряд независимо, каждое будет создавать силу, точно такую же, как если бы это поле в точке было бы единственным.
Таким образом, если заряд помещен одновременно в несколько электрических полей, он испытывает одновременное действие нескольких сил. А если на материальную точку действует несколько сил, то результатом их действия будет одна равнодействующая сила, которая находится векторным сложением исходных сил:
Сила, действующая на заряд, равна произведению напряженности поля на величину заряда:
Поскольку заряд в рассматриваемой ситуации один и тот же, то:
Принцип суперпозиции
Выражение в скобках представляет собой векторную сумму напряженностей всех полей, действующих на заряд. Получается, что результат действия на заряд нескольких полей эквивалентен действию одного поля, напряженность которого равна векторной сумме напряженностей всех полей, действующих на заряд. Иначе можно сказать, что результирующее поле, существующее в точке, является векторной суммой всех полей, его составляющих. В этом и состоит принцип суперпозиции (наложения) полей.
Если в данной точке пространства электрическое поле создано несколькими зарядами, и напряженность поля каждого по отдельности равна $overrightarrow
То есть, формула принципа суперпозиции полей записывается следующим образом:
Рис. 2. Принцип суперпозиции электрических полей.
Отметим, что потенциал результирующего поля не обязательно равен сумме потенциалов исходных полей. Это происходит потому, что потенциал – скалярная величина, не учитывающая направление.
Принцип суперпозиции полей позволяет не только находить напряженность поля, создаваемые несколькими зарядами. Гораздо чаще возникает ситуация, когда заряд распределен по телу неравномерно. В этом случае тело можно разбить на множество элементарных тел, каждое из которых имеет свой заряд, отличный от прочих. А потом поле в любой точке пространства вычисляется, как векторная сумма полей всех элементарных зарядов. При уменьшении размера элементарного тела до нуля сумма заменяется интегралом по объему. Данный способ используется при определении картины картину сложных электрических полей, например, при проектировании электровакуумных приборов.
Рис. 3. Устройство электронно-лучевой трубки.
Принцип суперпозиции вовсе не так очевиден и универсален, как кажется на первый взгляд. Он действует лишь для линейных полей. Если поле нелинейно – принцип суперпозиции не работает. Примером нелинейного поля является поле сил трения. Если на тело действует несколько внешних сил, то, пока оно не сдвинется, сила трения равна векторной сумме отдельных составляющих. Но, как только тело сдвинулось, сила трения останется неизменной по модулю, даже если мы будем увеличивать количество действующих на тело сил.
Что мы узнали?
Принцип суперпозиции полей заключается в том, что результирующая напряженность поля, состоящего из нескольких исходных полей равна векторной сумме их напряженностей. Принцип суперпозиции выполняется для всех линейных полей, к числу которых относится и электрическое.
Принцип суперпозиции электрических полей
Одна из задач, которые ставит электростатика перед собой – это оценка параметров поля при заданном стационарном распределении зарядов в пространстве. И принцип суперпозиции является одним из вариантов решения такой задачи.
Принцип суперпозиции
Предположим наличие трех точечных зарядов, находящихся во взаимодействии друг с другом. При помощи эксперимента возможно осуществить измерение сил, действующих на каждый из зарядов. Для нахождения суммарной силы, с которой на один заряд действуют два других заряда, нужно силы воздействия каждого из этих двух сложить по правилу параллелограмма. При этом логичен вопрос: равны ли друг другу измеряемая сила, которая действует на каждый из зарядов, и совокупность сил со стороны двух иных зарядов, если силы рассчитаны по закону Кулона. Результаты исследований демонстрируют положительный ответ на этот вопрос: действительно, измеряемая сила равна сумме вычисляемых сил согласно закону Кулона со стороны других зарядов. Данное заключение записывается в виде совокупности утверждений и носит название принципа суперпозиции.
Принцип суперпозиции:
- сила взаимодействия двух точечных зарядов не изменяется, если присутствуют другие заряды;
- сила, действующая на точечный заряд со стороны двух других точечных зарядов, равна сумме сил, действующих на него со стороны каждого из точечных зарядов при отсутствии другого.
Принцип суперпозиции полей заряда является одним из фундаментов изучения такого явления, как электричество: значимость его сопоставима с важностью закона Кулона.
В случае, когда речь идет о множестве зарядов N (т.е. нескольких источников поля), суммарную силу, которую испытывает на себе пробный заряд q , можно определить по формуле:
F → = ∑ i = 1 N F i a → ,
где F i a → является силой, с которой влияет на заряд q заряд q i , если прочий N – 1 заряд отсутствует.
При помощи принципа суперпозиции с использованием закона взаимодействия между точечными зарядами существует возможность определить силу взаимодействия между зарядами, присутствующими на теле конечных размеров. С этой целью каждый заряд разбивается на малые заряды d q (будем считать их точечными), которые затем берутся попарно; вычисляется сила взаимодействия и в заключение осуществляется векторное сложение полученных сил.
Полевая трактовка принципа суперпозиции
Полевая трактовка: напряженность поля двух точечных зарядов есть сумма напряженностей, создаваемым каждым из зарядов при отсутствии другого.
Для общих случаев принцип суперпозиции относительно напряженностей имеет следующую запись:
где E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → является напряженностью i -го точечного заряда, r i → – радиусом вектора, проложенного от i -го заряда в некоторую точку пространства. Указанная формула говорит нам о том, что напряженность поля любого числа точечных зарядов есть сумма напряженностей полей каждого из точечных зарядов, если другие отсутствуют.
Инженерная практика подтверждает соблюдение принципа суперпозиции даже для очень больших напряженностей полей.
Значимым размером напряженности обладают поля в атомах и ядрах (порядка 10 11 – 10 17 В м ), но и в этом случае применялся принцип суперпозиции для расчетов энергетических уровней. При этом наблюдалось совпадение результатов расчетов с данными экспериментов с большой точностью.
Все же следует также заметить, что в случае очень малых расстояний (порядка
10 – 15 м ) и экстремально сильных полей принцип суперпозиции, вероятно, не выполняется.
Например, на поверхности тяжелых ядер при напряженности порядка
10 22 В м принцип суперпозиции выполняется, а при напряженности 10 20 В м возникают квантово-механические нелинейности взаимодействия.
Когда распределение заряда является непрерывным (т.е. отсутствует необходимость учета дискретности), совокупная напряженность поля задается формулой:
В этой записи интегрирование проводится по области распределения зарядов:
- при распределении зарядов по линии ( τ = d q d l – линейная плотность распределения заряда) интегрирование проводится по линии;
- при распределении зарядов по поверхности ( σ = d q d S – поверхностная плотность распределения) интегрирование проводится по поверхности;
- при объемном распределении заряда ( ρ = d q d V – объемная плотность распределения) интегрирование проводится по объему.
Принцип суперпозиции дает возможность находить E → для любой точки пространства при известном типе пространственного распределения заряда.
Примеры применения принципа суперпозиции
Заданы одинаковые точечные заряды q , расположенные в вершинах квадрата со стороной a . Необходимо определить, какая сила воздействует на каждый заряд со стороны других трех зарядов.
Решение
На рисунке 1 проиллюстрируем силы, влияющие на любой из заданных зарядов в вершинах квадрата. Поскольку условием задано, что заряды одинаковы, для иллюстрации возможно выбрать любой из них. Сделаем запись суммирующей силы, влияющей на заряд q 1 :
F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .
Силы F 12 → и F 14 → являются равными по модулю, определим их так:
F 13 → = k q 2 2 a 2 .
Теперь зададим направление оси О Х (рисунок 1 ), спроектируем уравнение F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → , подставим в него полученные выше модули сил и тогда:
F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .
Ответ: сила, оказывающее воздействие на каждый из заданных зарядов, находящихся в вершинах квадрата, равна F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .
Задан электрический заряд, распределенный равномерно вдоль тонкой нити (с линейной плотностью τ ). Необходимо записать выражение, определяющее напряженность поля на расстоянии a от конца нити вдоль ее продолжения. Длина нити – l .
Решение
Первым нашим шагом будет выделение на нити точечного заряда d q . Составим для него, в соответствии с законом Кулона, запись, выражающую напряженность электростатического поля:
d E → = k d q r 3 r → .
В заданной точке все векторы напряженности имеют одинаковую направленность вдоль оси ОХ, тогда:
d E x = k d q r 2 = d E .
Условием задачи дано, что заряд имеет равномерное распределение вдоль нити с заданной плотностью, и запишем следующее:
Подставим эту запись в записанное ранее выражение напряженности электростатического поля, проинтегрируем и получим:
E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ – 1 r a l + a = k τ l a ( l + a ) .
Ответ: напряженность поля в указанной точке будет определяться по формуле E = k τ l a ( l + a ) .
Принцип суперпозиции электрических полей.
Принцип суперпозиции (наложения) полей формулируется так:
Если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля, напряженности которых 
и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна: 
.
Принцип суперпозиции полей справедлив для случая, когда поля, созданные несколькими различными зарядами, не оказывают никакого влияния друг на друга, т. е. ведут себя так, как будто других полей нет. Опыт показывает, что для полей обычных интенсивностей, встречающихся в природе, это имеет место в действительности.
Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряженности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно воспользоваться выражением напряженности поля точечного заряда.
На рисунке ниже показано, как в точке A определяется напряженность поля 
, созданная двумя точечными зарядами q1 и q2.
Силовые линии электрического поля.
Электрическое поле в пространстве принято представлять силовыми линиями. Понятие о силовых линиях ввел М. Фарадей при исследовании магнетизма. Затем это понятие было развито Дж. Максвеллом в исследованиях по электромагнетизму.
Силовая линия, или линия напряженности электрического поля, — это линия, касательная к которой и каждой ее точке совпадает с направлением силы, действующей на положительный точечный заряд, находящийся в этой точке поля.
На рисунках ниже изображены линии напряженности положительно заряженного шарика (рис. 1); двух разноименно заряженных шариков (рис. 2); двух одноименно заряженных шариков (рис. 3) и двух пластин, заряженных разными по знаку, но одинаковыми по абсолютной величине зарядами (рис. 4).
Линии напряженности на последнем рисунке почти параллельны в пространстве между пластинами, и плотность их одинакова. Это говорит о том, что поле в этой области пространства однородно. Однородным называется электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства.
В электростатическом поле силовые линии не замкнуты, они всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах. Они нигде не пересекаются, пересечение силовых линий говорило бы о неопределенности направления напряженности поля в точке пересечения. Плотность силовых линий больше вблизи заряженных тел, где напряженность поля больше.
Поле заряженного шара.
Напряженность поля заряженного проводящего шара на расстоянии от центра шара, превышающем его радиус r ≥ R. определяется по той же формуле, что и поля точечного заряда 
. Об этом свидетельствует распределение силовых линий (рис. а), аналогичное распределению линий напряженности точечного заряда (рис. б).
Заряд шара распределен равномерно по его поверхности. Внутри проводящего шара напряженность поля равна нулю.
Принцип суперпозиции — определение, формула и значение
Большая часть популярных доктрин, открытых на сегодня, описывает довольно своеобразные явления — механические движения, тепловые процессы, электрические явления и так далее. Однако существуют мнения, которые относятся ко всем областям физических явлений. Одним из таких теоретических понятий считается принцип суперпозиции (ПС).
Общая концепция
Можно столкнуться с принципом суперпозиции всякий раз, когда есть больше одного источника электростатического поля. Затем в каждой точке пространства происходит сборка линий, поступающих из каждого источника. Поскольку интенсивность является вектором, в каждой точке добавляют друг к другу векторы любого из источников, то есть учитывают их значения направления и отдачи.
Самый простой способ — добавить параллельные векторы, затем просто вычесть значения, и уравнение становится скалярным. В любом ином случае угол между векторами должен быть принят во внимание. В общем, векторное уравнение суперпозиции полей может быть сохранено через знак суммы. Определяется принцип суперпозиции формулой:
E = ∑ − → E i E → = ∑ E i →
Напряжение электростатического поля
Стоит рассмотреть напряжённость электрического поля, принцип суперпозиции, создаваемый двумя начальными зарядами одновременно в любой точке пространства. Например, есть 2 источника, положительный заряд и отрицательный, примерно одинаковых значений, то есть диполь. Нужно выяснить результирующую напряжённость электростатического поля в 3 точках.
Сначала отмечают вспомогательные линии, которые проходят через каждую из трёх точек и оба источника. Затем по очереди рисуют интенсивность в каждой из точек, основываясь на обеих линиях. Стоит отметить важную информацию о принципе суперпозиции электрических полей: направление и возврат вектора интенсивности будут такими же, как и у линии, действующей на положительный заряд, размещённый в этой точке.
Нужно рассмотреть первый пункт, поскольку пробный заряд всегда +. Интенсивность от источника плюсового будет влево. Он представлен в виде вектора E1 +. Ток от источника отрицания будет отправлен в то же место, поскольку противоположные заряды притягивают друг друга. Он как вектор E1-. Поскольку сила электростатического поля будет вектором, результирующий ток — сумма двухкомпонентных линий. Он в виде E1. Первая точка близка к положительному источнику, потому вектор интенсивности от него больше, чем отрицательный заряд.
Разделяя их, однажды в точке 2 сила, исходящая от нагрузки отрицательного Е2, направляется на источник, а исходящая от нагрузки положительного Е2 + направляется от него. Точка 2 находится на одинаковом расстоянии от обоих полей, поэтому значения линий напряжения E2 + E2 равны. Так как векторы не параллельны, применяют метод параллелограмма для их добавления — рисуют его стороны, что являются векторами интенсивности (ВИ). Сумма — диагональ, исходящая из начала. В результате получают E2.
Точно так же это будет для пункта 3. E3 + от источника, E3 направлена наоборот. Длинная диагональ представляет собой сумму векторов компонентов, то есть результирующей интенсивности в точке E3.
Полученные уравнения являются векторными, поэтому в расчётах следует учитывать не только значение, но также их направление и возврат. Это означает, что для трёх точек только одна с номером 1 может быть легко представлена в скалярной форме. Поскольку векторы E1 + E1 находятся на одной прямой, они параллельны. Их значения должны быть добавлены, потому что их возвраты, то есть стрелки, будут в одном направлении. Следовательно, в этом случае скалярное уравнение выглядит так же, как вектор.
Введение в волновую суперпозицию
Волны окружают нас, и их присутствие влияет на ряд явлений. Можно представить себе нахождение в лодке и слышимую сирену корабля. В этом случае можно получить звуковую волну непосредственно, а также ту, которая отражается от морской воды. Чтобы понять это, нужно сосредоточиться на базовой концепции суперпозиции, а также на знаниях, связанных с теоремой.
Пример струнной волны для определения суперпозиции на основе теоремы поможет лучше всё понять. В соответствии с этим чистое перемещение любого компонента строки в течение заданного времени равно алгебраическому набору смещений, вызванных каждой волной. Потому такой метод добавления отдельных сигналов для оценки частоты называется принципом суперпозиции.
ПС выражается утверждением, что перекрывающиеся волны алгебраически добавляются для создания результирующей линии. Исходя из этого (f1, f2 …., fn), они не мешают движению друг друга. Следовательно, суперпозиция волн может привести к следующим трем последствиям:
- Всякий раз, когда две волны с одной частотой движутся с похожей скоростью в одном и том же направлении в нужной среде, они перекрывают друг друга и создают эффект, называемый помехой.
- В ситуации, когда 2 линии с равными частотами передвигаются с примерной скоростью в противоположных направлениях, они перекрывают друг друга, создавая стационарность.
- Наконец, когда две волны, имеющие слегка изменяющиеся частоты, движутся с одинаковой скоростью в одном и том же направлении, они перекрывают друг друга: получается биение.
Конструктивное и деструктивное вмешательство
Это когда две волны движутся в определённом или одном и том же направлении. Согласно ПС, последующее смещение можно записать в виде решения:
y (x, t) = y m sin (kx-ωt) + y m sin (kx-ωt+ϕ) = 2 y m cos (ϕ/2) sin (kx-ωt+ϕ/2)
Эта волна имеет развитие амплитуды, которая зависит от фазы (ϕ). Считается, что две линии находятся в фазе (ϕ = 0). Они мешают конструктивно. Кроме того, результирующая часть имеет двойную амплитуду по сравнению с отдельными волнами. С другой стороны, задача, когда две линии имеют противоположную фазу (ϕ = 180). Они оказывают разрушающее воздействие на друг друга.
Две синусоиды в противоположных направлениях
Бегущая волна распространяется из одного места в другое, но стоячая выглядит как неподвижная. Предположим, что две линии (имеющие одинаковые свойства — амплитуду, длину и частоту) передвигаются в противоположных направлениях.
Основываясь на системе суперпозиции, конечная амплитуда может быть записана как формулировка:
y (x, t) = y m sin (kx-ωt) + y m sin (kx+ωt) = 2 y m sin (kx) cos (ωt)
Согласно теореме о суперпозиции, несколько волн не называют бегущими, поскольку зависимость положения и времени делится. В этом случае амплитуда, в зависимости от точки или местоположения, составляет 2ymsin (kx). Она не будет смещаться, но сможет стоять с колебанием вверх и вниз на основе независимого cos (wt).
Линии электропередач
Электрическое поле в пространстве обычно можно создать силовыми линиями. Понятие было введено М. Фарадеем при изучении закона взаимодействия магнетизма. Затем концепцию индукции разработал Джон Максвелл.
Важные особенности магнитной теории заключаются в следующем:
Принцип супербора
С точки зрения квантовой механики, этот принцип содержит большое количество особенностей, которые нельзя просто принять. Это связано с тем, что фактически эта отрасль физики имеет дело, прежде всего, с другими состояниями объекта. С точки зрения традиционной механики, они должны быть элементарно взаимоисключающими. Принцип суперпозиции, который на квантовом уровне еще не полностью понят ученым, подразумевает, среди прочего, необходимость суперотбора, то есть главного класса фактора, который оказывает наибольшее влияние на пучок сил в определенный момент.
Подводя итоги, можно сказать следующее: в тот момент, когда поток электростатического поля больше, чем 1 заряд, то в каждой точке пространства поля всех линий собираются, и результирующий ВИ является суммой всех компонентов.
Принцип суперпозиции сил и полей
теория по физике 🧲 электростатика
Принцип суперпозиции сил
Результирующая, или равнодействующая, сила равна векторной сумме всех сил, действующих на тело:
Fi — сила, с которой электрическое поле зарядом q действует на пробный заряд qi, помещенный в это поле на расстоянии ri от этого заряда. Численно ее можно вычислить по формуле:
F i = k q i q r 2 i . .
Алгоритм решения задач на определение равнодействующей силы (точечный заряд находится в поле, созданном другими точечными зарядами):
- Сделать чертеж. Указать расположение всех зарядов и их знаки.
- Выделить заряд, для которого определяют равнодействующую.
- Пронумеровать остальные заряды.
- Определить расстояния от выделенного заряда до всех остальных.
- Построить все силы, действующие на интересующий нас заряд. При этом необходимо учитывать знаки зарядов, их модули и расстояния между зарядами.
- Найти геометрическую (векторную) сумму всех сил, действующих на выделенный заряд.
- Пользуясь формулами геометрии и законом Кулона, определить модуль равнодействующей.
Пример №1. Как направлена (вправо, влево, вверх, вниз) кулоновская сила − F K , действующая на положительный точечный электрический заряд +2q, помещенный в центр квадрата, в вершинах которого находятся заряды +q, +q, –q, –q?
Известно, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются. Из рисунка видно, что заряд +2q, находящийся в центре квадрата, будет отталкиваться от зарядов +q, находящихся справа, и будет притягиваться к зарядам –q, находящимся слева.
Сила Кулона обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами, то есть с увеличением расстояния r убывает по квадратическому закону. Так как заряд +q находится точно в центре квадрата, то расстояния от зарядов +q, +q, -q, -q будут равны, следовательно, равна по модулю и сила Кулона, действующая на заряд +2q. Суперпозиция сил, действующих на заряд +2q:
Из рисунка видно, что кулоновская сила − F K , действующая на положительный точечный электрический заряд +2q, направлена влево.
Принцип суперпозиции полей
Если в некоторой точке пространства складываются электрические поля от нескольких зарядов, то результирующая напряженность находится как векторная сумма напряженностей отдельных полей:
− E i — напряженность, создаваемая зарядом q i в точке, находящейся на расстоянии r i :
− E i = k q i r 2 i . .
Векторное сложение напряженностей аналогично нахождению равнодействующей сил Кулона, только в интересующую нас точку пространства помещают положительный пробный заряд. Чтобы найти результирующий потенциал в точке, необходимо алгебраически сложить потенциалы всех полей. Нельзя забывать, что знак потенциала определяется знаком заряда, создающим электрическое поле:
φ i — потенциал электростатического поля, создаваемого зарядом q i на расстоянии r i от него. Численно он равен:
φ i = ± k q i r i . .
Для определения полной энергии надо сложить потенциальные энергии всех пар зарядов:
W i p — потенциальная энергия взаимодействия зарядов q i и q n , находящихся на расстоянии r i друг от друга. Численно она равна:
W i p = ± k q i q n r i . .
Примеры определения расстояний
r 1 = x ; r 2 = l − x
r 1 = r 3 = a ; r 2 = a √ 2
r 1 = r 2 = r 3 = a √ 3 . .
r 1 = b ; r 2 = √ a 2 + b 2 ; r 3 = a
r 1 = r 3 = a √ 3 2 . . ; r 2 = r 4 = a 2 . .
r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = r 5 = r 6 = a
Пример №2. Маленький заряженный шарик массой m, имеющий заряд q, движется с высоты h по наклонной плоскости с углом наклона α. В вершине прямого угла, образованного высотой и горизонталью, находится неподвижный заряд Q. Какова скорость шарика у основания наклонной плоскости v, если его начальная скорость равна нулю? Трением пренебречь.
Применим закон сохранения энергии, согласно которому полная энергия шарика в точке А равна полной энергии шарика в точке В (трением пренебрегаем):
Полная энергия шарика с зарядом qв точке А равна сумме его механической потенциальной энергии и потенциальной энергии взаимодействия с зарядом Q:
E A = m g h + k q Q h . .
В точке В механическая потенциальная энергия шарика равна нулю, но в этой точке максимальная его кинетическая энергия. Полная энергия шарика в точке В равна:
E B = m v 2 2 . . + k q Q b . .
Расстояние между точкой В и местом, где находится заряд Q:
Приравняем правые части уравнений:
m g h + k q Q h . . = m v 2 2 . . + k q Q b . .
m g h + k q Q h . . = m v 2 2 . . + k q Q tan . α h . .
m v 2 2 . . = m g h + k q Q h . . − k q Q tan . α h . . = m g h + k q Q h . . ( 1 − tan . α )
v = . ⎷ 2 ( m g h + k q Q h . . ( 1 − tan . α ) ) m . . = √ 2 g h + 2 k Q m h . . ( 1 − tan . α )
Точка В находится в середине отрезка АС. Неподвижные точечные заряды + q и −2q расположены в точках А и С соответственно (см. рисунок). Какой заряд надо поместить в точку С взамен заряда −2q, чтобы напряжённость электрического поля в точке В увеличилась в 2 раза?
Свободное падение тел
Что такое свободное падение? Это падение тел на Землю при отсутствии сопротивления воздуха. Иначе говоря – падение в пустоте. Конечно, отсутствие сопротивления воздуха – это вакуум, который нельзя встретить на Земле в нормальных условиях. Поэтому мы не будем брать силу сопротивления воздуха во внимание, считая ее настолько малой, что ей можно пренебречь.
Ускорение свободного падения
Проводя свои знаменитые опыты на Пизанской башне Галилео Галилей выяснил, что все тела, независимо от их массы, падают на Землю одинаково. То есть, для всех тел ускорение свободного падения одинаково. По легенде, ученый тогда сбрасывал с башни шары разной массы.
Ускорение свободного падения
Ускорение свободного падения – ускорение, с которым все тела падают на Землю.
Ускорение свободного падения приблизительно равно 9 , 81 м с 2 и обозначается буквой g . Иногда, когда точность принципиально не важна, ускорение свободного падения округляют до 10 м с 2 .
Земля – не идеальный шар, и в различных точках земной поверхности, в зависимости от координат и высоты над уровнем моря, значение g варьируется. Так, самое большое ускорение свободного падения – на полюсах ( ≈ 9 , 83 м с 2 ) , а самое малое – на экваторе ( ≈ 9 , 78 м с 2 ) .
Свободное падение тела
Рассмотрим простой пример свободного падения. Пусть некоторое тело падает с высоты h с нулевой начальной скоростью. Допустим мы подняли рояль на высоту h и спокойно отпустили его.
Свободное падение – прямолинейное движение с постоянным ускорением. Направим ось координат от точки начального положения тела к Земле. Применяя формулы кинематики для прямолинейного равноускоренного движения, можно записать.
h = v 0 + g t 2 2 .
Так как начальна скорость равна нулю, перепишем:
Отсюда находится выражение для времени падения тела с высоты h :
Принимая во внимание, что v = g t , найдем скорость тела в момент падения, то есть максимальную скорость:
v = 2 h g · g = 2 h g .
Движение тела, брошенного вертикально вверх
Аналогично можно рассмотреть движение тела, брошенного вертикально вверх с определенной начальной скоростью. Например, мы бросаем вверх мячик.
Пусть ось координат направлена вертикально вверх из точки бросания тела. На сей раз тело движется равнозамедленно, теряя скорость. В наивысшей точки скорость тела равна нулю. Применяя формулы кинематики, можно записать:
Подставив v = 0 , найдем время подъема тела на максимальную высоту:
Время падения совпадает со временем подъема, и тело вернется на Землю через t = 2 v 0 g .
Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально:
Взглянем на рисунок ниже. На нем приведены графики скоростей тел для трех случаев движения с ускорением a = – g . Рассмотрим каждый из них, предварительно уточнив, что в данном примере все числа округлены, а ускорение свободного падения принято равным 10 м с 2 .
Первый график – это падение тела с некоторой высоты без начальной скорости. Время падения t п = 1 с . Из формул и из графика легко получить, что высота, с которой падало тело, равна h = 5 м .
Второй график – движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 10 м с . Максимальная высота подъема h = 5 м . Время подъема и время падения t п = 1 с .
Третий график является продолжением первого. Падающее тело отскакивает от поверхности и его скорость резко меняет знак на противоположный. Дальнейшее движение тела можно рассматривать по второму графику.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
С задачей о свободном падении тела тесно связана задача о движении тела, брошенного под определенным углом к горизонту. Так, движение по параболической траектории можно представить как сумму двух независимых движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.
Вдоль оси O Y тело движется равноускоренно с ускорением g , начальная скорость этого движения – v 0 y . Движение вдоль оси O X – равномерное и прямолинейное, с начальной скоростью v 0 x .
Условия для движения вдоль оси О Х :
x 0 = 0 ; v 0 x = v 0 cos α ; a x = 0 .
Условия для движения вдоль оси O Y :
y 0 = 0 ; v 0 y = v 0 sin α ; a y = – g .
Приведем формулы для движения тела, брошенного под углом к горизонту.
Время полета тела:
t = 2 v 0 sin α g .
Дальность полета тела:
L = v 0 2 sin 2 α g .
Максимальная дальность полета достигается при угле α = 45 ° .
L m a x = v 0 2 g .
Максимальная высота подъема:
h = v 0 2 sin 2 α 2 g .
Отметим, что в реальных условиях движение тела, брошенного под углом к горизонту, может проходить по траектории, отличной от параболической вследствие сопротивления воздуха и ветра. Изучением движения тел, брошенных в пространстве, занимается специальная наука – баллистика.
