Периметр равностороннего треугольника – помощь в решении задач

Задача периметр равностороннего треугольника

Периметр геометрической фигуры – суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр

имеет ту же размерность величин, что и длина.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника обозначаются малыми

буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, общая формула:

где a,b,c – длины сторон треугольника

Формула периметра треугольника для треугольника АВС:

Периметр равностороннего треугольника.

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника (или найти периметр правильного

треугольника), нужно знать его сторону.

В общем случае для нахождения периметра треугольника используют формулу:

Поскольку в равностороннем треугольнике все три стороны равны, формула упрощается:

Таким образом, периметр равностороннего треугольника находится по такой формуле:

где а — длина его стороны.

Периметр равнобедренного треугольника.

Чтобы найти периметр равнобедренного треугольника, нужно знать всего две его стороны — основание

и боковую сторону.

Поскольку у равнобедренного треугольника две стороны равны (боковые), найти периметр

равнобедренного треугольника можно по такой формуле:

То есть, периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин основания и

Ответ

Мы знаем, что у равностороннего треугольника все три стороны равны, соответственно:
Р равностороннего треугольника = а + а + а = 3а.

Р нашего треугольника = 3а = 18, отсюда получается:
а (сторона равностороннего треугольника) = 18 : 3 = 6 (см).

Мы знаем, что у равнобедренного треугольника равны две стороны.
И они по условию задачи = 6 см. А третья сторона – на 2 см короче.
6 – 2 = 4 (см)

Ответ: длина третьей стороны равнобедренного треугольника равна 4 см.

Формула нахождения периметра равностороннего треугольника

Формула периметра равностороннего треугольника вытекает из определений. Что такое периметр? Периметр это сумма всех сторон фигуры. Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

Значит,для того, чтобы найти значение периметра достаточно умножить величину стороны на количество сторон:

Решим несколько разных по сложности задач, чтобы разобраться, какие проблемы могут встречаться на пути нахождения периметра.

Задача 1

  • В равностороннем треугольнике сторона равна 6. Найти периметр треугольника.

Это самый простой вариант задачи. Достаточно подставить значение в формулу и получить результат. Такая задача не должна вызывать затруднений:

Задача 2

  • В равнобедренном треугольнике острый угол при основании равен 60 градусам, площадь треугольника равна $$ >$$.

Особое внимание нужно обращать на вид фигуры, который указан в условии задачи.

В данной задаче дан равнобедренный треугольник. Чтобы воспользоваться общей формулой, необходимо доказать, что этот равнобедренный треугольник является еще и равносторонним.

Обратим внимание на величину угла. Угол при основании равен 60. При этом углы у основания равнобедренного треугольника равны, а сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. Значит у основания два угла по 60 градусов. Рассчитаем угол при вершине:

180-60-60=60 – угол при вершине так же равен 60 градусам.

Значит, данный треугольник будет равносторонним, так как все углы равны 60 градусам.

Углы по 60 градусов характерны только для равностороннего треугольника. Именно сочетание 3 равных сторон образует 3 равных угла. В любых других ситуациях, хотя бы один угол будет отличаться.

Читайте также:
Обыкновенные дроби - основное свойство, примеры, действия

Для площади равностороннего треугольника имеется отдельная формула:

$$S=a^2* over 4>= >$$ – где а значение стороны, которое нам и нужно выразить из этой формулы.

Подставим полученное значение в формулу:

Задача 3

  • В равностороннем треугольнике высота равна $$3*sqrt $$. Найти периметр треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче 3

Для данной задачи нужно воспользоваться методом решения, который часто используется в задачах с равнобедренным треугольником. Из любой вершины опустим высоту, которая будет медианой и биссектрисой.

В одном из получившихся треугольников выразим значение высоты через сторону с помощью теоремы Пифагора:

Вычтем подобные слагаемые:

Из получившейся формулы выразим значение стороны:

Рис. 3. Периметр равностороннего треугольника

Подставим получившееся значение в формулу периметра равностороннего треугольника.

Что мы узнали?

Мы обсудили формулу для нахождения периметра равностороннего треугольника. Выделили проблемы, которые приходится решать при нахождении стороны равностороннего треугольника для дальнейшего решения задачи. Рассмотрели различные пути решения задач на нахождение периметра равностороннего треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 269.

Не понравилось? – Напиши в комментариях, чего не хватает.

Содержание

  1. Формула нахождения периметра равностороннего треугольника
  2. Задача 1
  3. Задача 2
  4. Задача 3
  5. Что мы узнали?

Бонус

    Тест по теме
  • Диагональ прямоугольника Периметр равностороннего треугольника
  • Периметр прямоугольного треугольника
  • Равнобедренный прямоугольный треугольник

По многочисленным просьбам теперь можно: сохранять все свои результаты, получать баллы и участвовать в общем рейтинге.

  1. 1. Михаил Тяпин 214
  2. 2. Наталия Дробот 198
  3. 3. Мария Кауфман 192
  4. 4. Игорь Проскуренко 157
  5. 5. Соня Зверева 153
  6. 6. Данил Лысогорский 145
  7. 7. Василиса Варавкина 131
  8. 8. Иоанн Стефановский 107
  9. 9. Софья Холена 94
  10. 10. Оля Проскурина 85
  1. 1. Мария Николаевна 13,500
  2. 2. Лариса Самодурова 12,695
  3. 3. Liza 12,310
  4. 4. Кристина Волосочева 11,445
  5. 5. TorkMen 11,441
  6. 6. Ekaterina 11,176
  7. 7. Влад Лубенков 11,100
  8. 8. Лиса 11,070
  9. 9. Юлия Бронникова 11,060
  10. 10. Вячеслав 10,840

Самые активные участники недели:

  • 1. Виктория Нойманн – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 2. Bulat Sadykov – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 3. Дарья Волкова – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Три счастливчика, которые прошли хотя бы 1 тест:

  • 1. Наталья Старостина – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 2. Николай З – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 3. Давид Мельников – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Карты электронные(код), они будут отправлены в ближайшие дни сообщением Вконтакте или электронным письмом.

Как найти периметр треугольника

  • Периметр треугольника
  • Способы нахождения
    • По трем сторонам
    • По площади и радиусу вписанной окружности
    • По двум сторонам и углу между ними
    • По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
    • По двум катетам (для прямоугольного)
  • Примеры решения задач
    • Задача №1
    • Задача №2
    • Задача №3
    • Задача №4
    • Задача №5

Учимся находить периметр треугольника разными способами, а также тренируем полученные знания на примерах задач.

Читайте также:
Гипербола - определение, свойства и виды, уравнение

Периметр треугольника

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой. Эти точки попарно соединены тремя отрезками, которые называются сторонами (ребрами) многоугольника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Рассмотрим несколько способов нахождения периметра рассматриваемой фигуры. Каждая из предложенных формул опирается на те величины, которые нам уже известны.

Способы нахождения

По трем сторонам

Если мы уже знаем длину каждого ребра фигуры, расчет периметра будет проходить так:

где a, b и с — это стороны треугольника.

В случае, если нам известны стороны равнобедренного треугольника (у которого два ребра равны), формула для расчета периметра выглядит следующим образом:

где a — основание фигуры, а b и с — равные ребра.

Треугольник может также быть равносторонним (когда все стороны равны). Тогда P будем находить в соответствии с расчетами:

где a — это любая сторона фигуры.

По площади и радиусу вписанной окружности

Когда нам известна площадь данного многоугольника и радиус вписанной в него окружности, расчет P выглядит так:

где S — площадь фигуры, r — радиус вписанной в нее окружности.

По двум сторонам и углу между ними

Так как нам известен угол и две стороны, которыми он образован, мы можем найти третью сторону треугольника по теореме косинусов. И потом уже вычислить сумму длин всех ребер фигуры.

Теорема косинусов выглядит так:

где α — известный угол.

Тогда формула для расчета периметра всей фигуры в этом случае:

По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)

Возвращаясь к свойствам равнобедренного треугольника, вспоминаем, что высота, проведенная к основанию треугольника из противоположной вершины, является одновременно высотой, биссектрисой и медианой. Это значит, что оба прямоугольных треугольника, которые она образует, равны между собой.

Формула для поиска периметра нашего равнобедренного будет опираться на теорему Пифагора. Пусть 1/2 основания (с) = d. Тогда:

где a — сторона равнобедренного треугольника и гипотенуза прямоугольного, h — высота равнобедренного и катет прямоугольного.

Не забываем, что d — это лишь половина основания равнобедренного треугольника, поэтому для поиска периметра результат нужно будет умножить на 2.

По двум катетам (для прямоугольного)

Еще раз вспомним теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (обозначим ее буквой с).

где a и b — катеты треугольника.

Подставляем значение c в формулу для нахождения периметра и получаем:

Примеры решения задач

Для тренировки полученных знаний, рассмотрим несколько примеров решения задач на поиск периметра треугольника.

Задача №1

Какой P треугольника, если его стороны равны 6 см, 7 см и 3 см.

Решение:

Подставляем в формулу P = a+b+c известные величины и получаем: P = 6+7+3=16 см.

Задача №2

Известно, что основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а его боковая сторона — 4 см. Найти P фигуры.

Решение:

Для данного случая подходит формула P=a+2b, подствляем значения: (P=6+4times2 = 14) см.

Задача №3

Нам известно, что площадь треугольника — 24 см 2 , а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найти P.

Читайте также:
Определитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение

Решение:

В данном случае рассчитывать P будем следующим образом: (P=frac<2S>r) . С уже известными нам величинами получаем: (P=frac<2times24>8 = 6) см.

Задача №4

Дан равнобедренный треугольник. Нам известна его боковая сторона (4 см) и высота, опущенная к основанию (2 см). Нужно вычислить периметр фигуры.

Решение:

Мы знаем, что в этом случае P вычисляется, как (P=2sqrt+2a) . С имеющимися значениями получается: (P=2sqrt<4^2-2^2>+2times2 = 4sqrt3+4) см.

Ответ: P=4sqrt3+4 см.

Задача №5

Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см. Определить периметр фигуры.

Решение:

В формулу (P=sqrt+a+b) подставляем известные значения: (P=sqrt<5^2+7^2>+5+7 = sqrt<74>+12) см.

Равносторонний треугольник (ЕГЭ 2022)

И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор…

Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!

Тема простая, но очень важная!

Равносторонний треугольник — коротко о главном

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны. (AB=BC=AC=a)

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны (<<60>^>).

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;

Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка (O);

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны (a):

  • Высота=медиана=биссектриса: (h=frac><2>);
  • Радиус описанной окружности: (R=frac><3>);
  • Радиус вписанной окружности: (r=frac><6>);
  • Площадь: (S=frac<<^<2>>sqrt<3>><4>);
  • Периметр: (P=3a);

Определение равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны (<<60>^>)

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме (<<180>^>), значит, каждый по (<<60>^>)

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не (12) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. (R=2cdot r)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка( O) – центр треугольника.

Значит, (OB) – радиус описанной окружности (обозначили его (R)), а (OK) – радиус вписанной окружности (обозначим (r)).

Но ведь точка (O) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.

Поэтому (OB=2cdot OK), то есть (R=2cdot r).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Высота равностороннего треугольника

Рассмотрим (Delta ABK) – он прямоугольный.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Это уже теперь должно быть совсем ясно:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Бонус 1. Статьи о других треугольниках

Подробная информация о других треугольниках в следующих статьях:

А в нашем учебнике по подготовке к ЕГЭ по математике вы найдете подробную информацию о других разделах математики:

Бонус 2: Вебинары о треугольниках, чтобы набить руку в решении задач

А в этих видео из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике вы можете потренироваться, решая задачи вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком.

Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени.

Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.

Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Итак, задача 16 профильного ЕГЭ. Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ.

Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника

(blacktriangleright) Площадь треугольника равна полупроизведению основания (a) и высоты (h) , проведенной к этому основанию.

(blacktriangleright) Формула Герона для площади треугольника:

(blacktriangleright) Если треугольники имеют равные высоты ( (triangle) и (triangle_<1>) ), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

(blacktriangleright) Если треугольники имеют по равному углу ( (triangle) и (triangle_<2>) ), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

В треугольнике (ABC) : (angle C = 90^) , (CM) – медиана, (AC = 4) , (CM = 2,5) . Найдите периметр треугольника (ABC) .

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда (AB = 2,5 cdot 2 = 5) . По теореме Пифагора: (AB^2 = AC^2 + CB^2) , откуда находим (CB = 3) . Периметр треугольника (ABC) равен (3 + 4 + 5 = 12) .

Точка (D) лежит на стороне (AC) треугольника (ABC) . Периметр треугольника (ABD) равен (10) , периметр треугольника (BDC) равен (7) , (BD = 3) . Найдите периметр треугольника (ABC) .

Периметр треугольника (ABC) равен (AB + AC + BC) .

Периметр треугольника (BDC) равен (BD + DC + BC = 7) , а (BD = 3) , тогда (DC + BC = 4) ,

периметр треугольника (ABD) равен (AB + BD + AD = 10) , тогда (AB + AD = 7) .

(AB + AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 + 7 = 11) .

В треугольнике (ABC) : (BD) – высота, (AD = 1) , (DC = 3) , (angle DBC = 45^) . Найдите площадь треугольника (ABC) .

(angle BCD = 90^ – angle DBC = 45^ = angle DBC) , тогда (BD = DC = 3) . Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника (ABC) равна (0,5 cdot (3 + 1) cdot 3 = 6) .

В треугольнике (ABC) : (AF) и (BD) – высоты, (AF = 4) , (BD = 3) , (AC = 6) . Найдите (BC) .

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то (0,5 cdot AC cdot BD = 0,5 cdot BC cdot AF) , откуда (9 = 0,5 cdot BC cdot 4) , значит, (BC = 4,5) .

Точки (P) и (Q) – середины сторон (AB) и (AC) треугольника (ABC) соответственно. Найдите периметр треугольника (ABC) , если периметр треугольника (APQ) равен (21) .

(Задача от подписчиков.)

Т.к. (PQ) – средняя линия (triangle ABC) , то (2PQ=BC) . Периметр (triangle ABC) : [P_=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2cdot P_=2cdot 21=42.]

В треугольнике (ABC) : (BD) – медиана. Площадь треугольника (ABD) равна (1) . Найдите площадь треугольника (ABC) .

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника (BDC) равна площади треугольника (ABD) и равна (1) . Тогда площадь треугольника (ABC) , равная сумме площадей треугольников (ABD) и (BDC) , равна 2.

Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника (ABD) равна (0,5 cdot AD cdot h) , где (h) – высота, проведённая из (B) к стороне (AC) . Площадь треугольника (BDC) равна (0,5 cdot CD cdot h) , но (CD = AD) , тогда (0,5 cdot AD cdot h = 0,5 cdot CD cdot h) и, значит, площади треугольников (ABD) и (BDC) равны.

В треугольнике (ABC) : точка (D) лежит на (AC) , причём (dfrac = dfrac<2><3>) . Площадь треугольника (ABD) равна (7,5) . Найдите площадь треугольника (BCD) .

Построим высоту (BK)
Площадь треугольника (ABD) может быть найдена по формуле: (S_ = 0,5cdot ADcdot BK) .
Аналогично (S_ = 0,5cdot CDcdot BK) , откуда можно сделать вывод:
(dfrac>> = dfrac<0,5cdot CDcdot BK> <0,5cdot ADcdot BK>= dfrac = dfrac<3><2>) , тогда (S_ = dfrac<3><2>cdot S_ = dfrac<3><2>cdot 7,5 = 11,25) .

Задачи на нахождение площади и периметра равностороннего и равнобедренного треугольника каждый год включаются в программу ЕГЭ по математике. Понимать принцип их решения должны старшеклассники, которые планируют сдавать базовый и профильный уровень аттестационного испытания. Научившись правильно решать задачи на нахождение периметра треугольника в ЕГЭ, школьники смогут оперативно выполнять задания в несколько действий и рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по результатам сдачи единого госэкзамена.

Подготовка к аттестационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

Зачастую во время занятий накануне сдачи единого государственного экзамена перед учащимися встает проблема поиска подходящего источника. Школьного учебника иногда просто не оказывается под рукой в нужный момент. А подобрать все необходимые формулы, к примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника оказывается вовсе не так легко даже в Интернете.

Чтобы успешно пройти выпускное аттестационное испытание, рекомендуем вам заниматься вместе с образовательным порталом «Школково». Наш ресурс предлагает учащимся и преподавателям выстроить процесс подготовки к единому госэкзамену по-новому. Занимаясь вместе с нами, старшеклассники смогут определить те разделы, которые вызывают у них наибольшие трудности, и улучшить собственные знания.

На сайте «Школково» собран весь базовый материал по теме «Вычисление длин и площадей треугольника», который позволит качественно подготовиться к единому государственному экзамену. Данная информация систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.

Чтобы задачи ЕГЭ на вычисление площади правильного треугольника по трем сторонам не вызывали особых затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Множество подобных заданий представлено в разделе «Каталог». В каждом из них старшеклассники смогут увидеть подробный алгоритм решения и правильный ответ. Базу упражнений в соответствующем разделе мы регулярно обновляем и дополняем.

Выполнять задания на нахождение высоты треугольника или его площади учащиеся из МО и других регионов нашей страны могут в онлайн-режиме. В случае необходимости выполненное упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем задачу, к примеру, на вычисление периметра треугольника можно будет оперативно найти, чтобы обсудить принцип ее решения со школьным преподавателем или репетитором.

Урок геометрии: как найти по формуле периметр треугольника

Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю, дизайнеру.

Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.

  1. Классическая формула
  2. Альтернативный вариант
  3. Периметр по двум сторонам
  4. Равнобедренный треугольник
  5. Полезное видео: задачи на периметр труегольника
  6. Треугольник прямоугольный
  7. Расчет через высоту
  8. Полезное видео: нахождение периметра треугольника

Классическая формула

Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:

Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.

Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.

Это интересно! Что значит вертикально и как выглядит вертикальная линия

Альтернативный вариант

В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:

.

Далее рассчитывайте Р по такой формуле:

.

Периметр по двум сторонам

Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.

Это интересно! Основы геометрии: что это такое биссектриса треугольника

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольнике является наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:

  • биссектриса вершинного угла,
  • медиана к основанию,
  • высота треугольника,
  • срединный перпендикуляр.

Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.

В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».

В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:

Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.

Это интересно! Изучаем символы: как обозначается в математике площадь

Полезное видео: задачи на периметр труегольника

Треугольник прямоугольный

Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.

В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

.

На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.

.

Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:

.

Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.

.

Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:

.

Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности

Расчет через высоту

Рассчитать периметр таких категорий, как равнобедренные и прямоугольные треугольники, можно через показатель их средней линии. Как известно, высота треугольника разделяет его основание пополам. Таким образом, она образует две прямоугольных фигуры. Далее, нужный показатель вычисляется при помощи теоремы Пифагора. Формула будет иметь следующий вид:

.

Если известна высота и половина основания, используя этот способ, вы получите нужное число без поиска остальных данных о фигуре.

Решение задач по теме “Треугольники” (7-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 7

Цели и задачи урока:

  • обобщить, закрепить и углубить знания по изученной теме;
  • формировать умение обучаемых доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, применять свойства равнобедренного треугольника;
  • отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки;
  • развивать логическое мышление, самостоятельность учащихся при решении заданий; умение на практике применять знания, полученные на уроках;
  • воспитывать познавательную активность, упорство в достижении поставленной цели, культуру умственного труда

Оборудование:

  • интерактивная доска или наглядный материал (готовые чертежи);
  • карточки с задачами для индивидуальной работы на доске;
  • таблицы с признаками равенства треугольников.

Тип урока: урок закрепления полученных знаний.

Ход урока

І. Организационный момент.

Учитель:

– Тема урока: «Решение задач по теме «Треугольники»». Мы сегодня обобщим и систематизируем знания по данной теме и наша цель: подготовиться к контрольной работе, которая будет на следующем уроке.

– Откройте дневники и запишите домашнее задание.

  • I уровень: № 120(б), 121;
  • II – III уровень: №160 (б), 162(б).

II. Актуализация опорных знаний.

1. У доски двое учащихся решают задачи по карточкам.

Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану АА1 к боковой стороне ВС.

Дано: АО = BO, СО = DO, CO = 5см, ВО = 3см, BD = 4см.
1)Докажите, что САО = DBO.
2)Найдите периметр треугольника САО.


2. Для остальных учащихся класса организована фронтальная работа.

Цель: повторить основные вопросы теории темы «Равнобедренный треугольник и его свойства» с помощью теста. (Вопросы теста – на интерактивной доске)

Теоретический тест. [1]
В каждом задании из трёх предложенных ответов выберите верный и обоснуйте его. Верных ответов может быть несколько. Подумайте и ответьте на вопрос. (А я считаю, что…; я не согласна с этим утверждением, т.к. …)

1) Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
Ответ: б), если медиана проведена к основанию равнобедренного треугольника.

2) Если треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;
б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
Ответ: а), б), и в), равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому в равностороннем треугольнике все углы равны.

3) В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
Ответ: б), высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника.

4) Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
Ответ: а)

5) Если треугольник равнобедренный, то
а) он равносторонний;
б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
в) ответы а) и б) неверны.
Ответ: в), т.к. равнобедренный треугольник не всегда является равносторонним; медиана, проведённая к боковой стороне равнобедренного треугольника, не является биссектрисой и высотой, если треугольник не равносторонний.

6) В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
Ответ: в).

Учитель:
– Мы с вами повторили материал темы «Равнобедренный треугольник и его свойства», а теперь повторим признаки равенства треугольников. (Обратить внимание обучающихся на таблицы с признаками равенства треугольников)

3. Задачи в рисунках (на интерактивной доске).

Учитель:
– Определите, являются ли равными треугольники на рисунках.

– Сколько пар равных элементов должно быть в равных треугольниках?

Алгебра как наука — история появления, классификация раздела и понятия

История появления алгебры как науки уходит в далекие недра древности. Именно тогда была заложена база проведения обобщающих арифметических операций. Этот раздел можно охарактеризовать как продолжение арифметики, когда числовые значения заменяются буквенными символами. Происходит работа с элементами множеств для обобщения обычных операций сложения и вычитания.

Классификация раздела

Алгебра является разделом математики. Она классифицируется на несколько видов:

Каждый из этих разделов решает определенные задачи. При этом наука не стоит на месте и продолжает развитие.

Древняя история

Информация об истории возникновения алгебры связывается с древними рукописями. В те времена появилось понятие о натуральных числах, с которыми можно было проводить арифметические операции. Такая потребность возникла в связи с проведением астрономических и других видов расчетов. Изучая историю алгебры, становится понятно, что ее зарождение произошло в античной Греции.

Происхождение науки связывается с мыслителем Диофантом. На сегодняшний день трудно сказать, кто придумал алгебру, но именно этим человеком были впервые введены буквенные обозначения чисел. На основании полученных сообщений известно, что Диофант знал о сокращении чисел и умел переносить члены из разных частей уравнения.

Информация об ученом содержится только в одном историческом труде, поэтому сказать точно, что математик создал алгебру, невозможно. К тому же этот источник дошел до нынешних времен не в полном объеме.

Продвижение на Восток

Достижения европейцев в области развития алгебры прервались после нашествий варварских племен. Кроме того, уменьшение к ней интереса произошло с открытием геометрии, которая стала считаться основным разделом математики. В этот период многие науки получили свое развитие на Востоке. Здесь продолжилось становление и алгебры. Поскольку все достижения Европы практически были забыты, создателем этой науки в мусульманском мире считается Ала-Хорезми. Произошло это после создания им трактата под названием «Учение об отношениях, перестановках и решениях». Некоторые ученые считают, что слово «алгебра» может вести свое начало от термина «алгоритм».

При этом существуют гипотезы, что мусульманский мир опирался в своих изучениях на европейские достижения. В некоторых их летописях присутствуют фамилии греческих последователей Диофанта, приводятся их высказывания относительно этой науки.

Вклад других стран

Основателем алгебры считается Ала-Хорезми, но особого развития она у арабов она получила. Однако именно они изобрели на своем языке арабские цифры, которые применяются в современном мире. Существенный вклад в развитие науки внесли представители и других стран. Кратко их достижения выражаются в следующем:

  • Индия. Вклад индийцев заключается в том, что они ввели такое понятие, как ноль, который стал впоследствии использоваться арабами и европейцами.
  • Китай. Эта страна внесла весомый вклад в раздел математики тем, что научилась проводить операции с отрицательными и иррациональными числами.
  • Вавилон. Хоть местные математики не умели обращаться с отрицательными числами, они научились решать квадратные уравнения.

    Таким образом, в развитии этого раздела принимали участие многие страны мира. Их исследовательские работы вносили общий вклад в становление алгебры.

    Под конец XVI века эта часть математики снова возвращается в Европу, откуда она взяла свое начало. Этому способствовало купечество, разъезжающее по всему свету и знакомившееся с математикой. Дальнейший толчок произошел после распада феодальной системы. Страны, ставшие на капиталистический путь развития, уже не могли обойтись без алгебраических действий.

    Алгебра относится к наиболее интересным наукам, которые изучаются учениками школ и студентами вузов. Учащиеся постоянно пишут рефераты и готовят доклады на различные темы, относящиеся к этому разделу математики. В дальнейшем они зачитывают свои работы на уроках.

  • Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: