Параллельность плоскостей определение в геометрии, свойства, признаки

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
Признаки параллельности двух плоскостей

Признаки параллельности плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

Фигура Рисунок Определение
Две пересекающиеся плоскости Две плоскости называют пересекающимися , если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.
Две параллельные плоскости Две плоскости называют параллельными , если они не имеют общих точек.

Определение:
Две плоскости называют пересекающимися , если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.

Определение:
Две плоскости называют параллельными , если они не имеют общих точек.

Признаки параллельности двух плоскостей

Первый признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые , лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β

Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K . Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.

Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости.

Плоскость α проходит через прямую a , параллельную прямой c , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b , параллельную прямой d , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b , которые параллельны прямой l . Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

Второй признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β .

На этом рисунке также изображены прямые a и b , которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β . Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №6. Параллельность плоскостей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. Определение параллельных плоскостей;
  2. Свойства параллельных плоскостей;
  3. Признак параллельности плоскостей.

Глоссарий по теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Читайте также:
Теорема Вариньона - определение, формулировка, доказательство

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Основная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 Москва «Просвещение» 2013 год. С. 1-4.

Дополнительная литература:

Зив Б. Г. Геометрия 10 класс Дидактические материалы Москва «Просвещение» 2013 год. С.4, 14, 24

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β.

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях – пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β – данные плоскости, a1 и a2 – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой плоскости β.

Прямая a2 параллельна прямой b2, значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β – параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.

Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.

Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b.

Линии пересечения a и b лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Доказательство.

Пусть α и β – параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их.

Через прямые a и b можно провести плоскость – эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.

Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD.

По предыдущей теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.

Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Доказательство.

Пусть α||β, a пересекает α в точке А.

Выберем в плоскости любую точку C. Через эту точку и прямую a проведём плоскость.

Так как плоскость имеет с плоскостями α и β общие точки A и C соответственно, то она пересекает эти плоскости по некоторым прямым b и c, которые проходят соответственно через точки A и C. По предыдущей теореме прямые b и c параллельны. Тогда в плоскости прямая a пересекает (в точке A) прямую b, которая параллельна прямой c. Значит, прямая a пересекает и прямую c в некоторой точке B. Так как прямая c лежит в плоскости, то точка B является точкой пересечения прямой a и плоскости. Теорема доказана.

Читайте также:
Взаимное расположение 2 плоскостей в пространстве

Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Доказательство.

Пусть α||β, α и γ пересекаются.

Докажем, что плоскости β и γ пересекаются.

Проведём в плоскости γ прямую a, пересекающую плоскость α в некоторой точке B. Тогда по теореме 3 прямая a пересекает и плоскость β в некоторой точке A. Следовательно, плоскости β и γ имеют общую точку A, т. е. пересекаются. Теорема доказана.

Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство.

Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.

Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.

В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a1 и b1, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a1 и b1, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.

Докажем методом от противного, что β — единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.

Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β1, параллельная α.

Так как β1 пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β1 пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β — единственна. Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров на применение данных свойств.

Даны две пересекающиеся прямые a и b точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b, и притом только одна.

Доказательство.

Прямые a и b пересекаются по условию, следовательно, по следствию из аксиомы А1, эти прямые единственным образом определяют плоскость α.

Известно, что через точку А, не принадлежащую плоскости α, проходит единственная плоскость, параллельная α, т.е. параллельная прямым a и b (по теореме 5) .

Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

Доказательство.

Предположим, что прямая m пересекает плоскость β в точке М. Тогда точка М принадлежит плоскости α (т.к. прямая m лежит в плоскости α) и М принадлежит плоскости β, значит, α и β пересекаются, но они параллельны по условию. Очевидно, m не пересекает плоскость α, т.е. параллельна ей.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.

Доказательство.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.

Читайте также:
Коллинеарные векторы - определение, свойства, обозначения

Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Тип задания: выделение цветом

Два равнобедренных треугольника FKС и FKD с общим основанием FK расположены так, что точка С не лежит в плоскости FKD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам KС и KD.

Прямые, которые содержат медианы треугольников к KC и KD- выходят из одной точки F. Соответственно, можно сделать вывод, что данные прямые пересекаются.

Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей

В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.

Параллельные плоскости: основные сведения

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: ∥ . Если заданы две плоскости: α и β , являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α ‖ β .

На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α .

Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности

В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за 10 – 11 класс.

В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.

Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α и β , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а также задана плоскость β , которую определяет общее уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имела решения (являлась несовместной).

Читайте также:
Правильный треугольник определение, основные свойства и признаки

Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Заданы две плоскости: 2 x + 3 y + z – 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Необходимо определить, являются ли они параллельными.

Решение

Запишем систему уравнений из заданных условий:

2 x + 3 y + z – 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.

Ранг матрицы 2 3 1 2 3 1 1 3 равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 2 3 1 1 2 3 1 1 3 – 4 равен двум, поскольку минор 2 1 2 3 – 4 отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.

Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений 2 x + 3 y + z – 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости 2 x + 3 y + z – 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 являются параллельными.

Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.

Ответ: заданные плоскости параллельны.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.

Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.

Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.

Допустим, что n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) являются нормальными векторами плоскостей α и β соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2 , где t – некое действительное число.

Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости α и β с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число t , для которого верно равенство:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости α и β . Плоскость α проходит через точки: A ( 0 , 1 , 0 ) , B ( – 3 , 1 , 1 ) , C ( – 2 , 2 , – 2 ) . Плоскость β описывается уравнением x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.

Решение

Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки A не соответствуют уравнению плоскости β .

Следующим шагом определим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → , соответствующие плоскостям α и β . Также проверим условие коллинеарности этих векторов.

Вектор n 1 → можно задать, взяв векторное произведение векторов A B → и A C → . Их координаты соответственно: ( – 3 , 0 , 1 ) и ( – 2 , 2 , – 2 ) . Тогда:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → – 3 0 1 – 2 1 – 2 = – i → – 8 j → – 3 k → ⇔ n 1 → = ( – 1 , – 8 , – 3 )

Для получения координат нормального вектора плоскости x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z – 1 = 0

Таким образом: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов n 1 → = ( – 1 , – 8 , – 3 ) и n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Так как – 1 = t · 1 12 – 8 = t · 2 3 – 3 = t · 1 4 ⇔ t = – 12 , то векторы n 1 → и n 2 → связаны равенством n 1 → = – 12 · n 2 → , т.е. являются коллинеарными.

Ответ: плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.

Читайте также:
Математика - предмет, задачи, изучение, понятие, определения

Свойства параллельных плоскостей

Урок 11. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока “Свойства параллельных плоскостей”

Для начала давайте вспомним определение параллельных плоскостей и признак параллельности двух плоскостей. Итак, две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Признак параллельности плоскостей:если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

А теперь рассмотрим свойства параллельных плоскостей.

Первое свойство.Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство. Пусть даны параллельные плоскости α и β. И пусть дана плоскость γ, которая пересекает плоскости α и β по прямым а и b соответственно. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

Рассмотрим прямые а и b. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости γ и не пересекаются. Если бы прямые а и bпересекались, то их общая точка принадлежала бы плоскостям α и β, чего быть не может, так как по условию они параллельны.

Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, т.е. прямая а параллельна прямой b.Что и требовалось доказать.

Наглядным представлением данного свойства служат линии пересечения пола и потолка со стеной комнаты – эти линии параллельны.

Второе свойство.Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство.Пусть даны параллельные плоскости α и β. И пустьданы параллельные отрезкиAB и CD, которыележат на параллельных прямых а и b, расположенных между плоскостями α и β. Докажем, что отрезок ABравен отрезку CD.

Две параллельные прямые а и b образуют единственную плоскость γ. Плоскость γ, проходящая через параллельные прямые а и b, пересекает плоскости α и β по прямымAC и BD. По первому свойству, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, следует, что прямыеAC и BD – параллельны. А, значит, четырехугольник ABDC – параллелограмм, так как в нем противолежащие стороны попарно параллельны. По свойству противоположных сторон параллелограмма, следует, чтоотрезок AB равен отрезкуCD.Что и требовалось доказать.

Третье свойство.Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом единственная.

Доказательство. Пусть дана плоскость α и точка M, которая не лежит в данной плоскости. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые а и b. Через точку M проведем прямые а1 и b1, параллельные прямым а и b соответственно.

Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а1 и b1. Плоскость β – искомая, так как она проходит через точку M и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.

Докажем единственность плоскости β. Предположим, что существует другая плоскость β1, которая проходящая через точку M и параллельна плоскости α.

Плоскость γ, проходящая через точку М и прямую а, пересекает плоскости β и β1, так как с каждой из них плоскость гамма имеет общую точку М.

Следовательно, линии пересеченияl и l1 плоскости гамма с плоскостями β и β1, проходят через точку М и параллельны прямой а. Получили, что через точку М, не лежащую на прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а. А это противоречит теореме о том, что через точкуМ, не лежащей на прямой а, можно провести единственную прямую, параллельную данной. Значит, наше предположение неверно и плоскость β единственная. Что и требовалось доказать.

Читайте также:
Смежные углы определение, виды, признаки подобия, основные свойства

Задача. Даны плоскости . Плоскость пересекает эти плоскости по прямым и соответственно, причем , прямая . Прямая и пересекает прямые и в точках и соответственно. Угол . Определите чему равен угол

Ответ:.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы рассмотрели некоторые из свойств, которыми обладают две параллельные плоскости в пространстве. Узнали, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Доказали, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. А также доказали свойство о существовании единственнойплоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее.

Параллельные плоскости. 10-й класс

Класс: 10

Презентация к уроку

Для уроков по стереометрии разработано уже много интересных и полезных презентаций, на пример презентации учителей математики Савченко Е.М. (http://le-savchen.ucoz.ru/load) и Афанасьевой С.В. (asv420@mail.ru), но появилось желание разработать свою презентацию.
Хочется отметить положительные, с моей точки зрения, данной работы:

1. В презентацию вставлены кадры 2-11 для того, чтобы подчеркнуть следующее

  • практическую значимость геометрии (кадры 2, 4-6);
  • связь геометрии не только с естественными науками, но и гуманитарными: о параллельности слагают стихи и пишут картины (кадры 2, 3);
  • в жизни не существует абсолютно параллельных плоскостей (кадры 9-11).

2. Остановлюсь подробно на кадре № 14. Левая часть этого кадра запись доказательства теоремы из предыдущего кадра, разбитая на этапы. А правая часть – ссылки на ранее изученный материал.
Доказательство теоремы, разложенное на этапы с расставленными акцентами на уже изученную теоретическую базу для выводов каждого этапа, позволяет выявить все причинно-следственные связи этой теоремы.

3. Подведение итога в виде проведения теста с последующей проверкой тоже представляется мне рациональным моментом данной презентации. Можно предположить, что кому-то покажется, что файл № 20 перегружен текстом. Дело в том, что это вопросы устного опроса, но не все учащиеся воспринимают вопрос на слух, поэтому я поддерживают его еще и видеорядом и последовательным медленным анимационным эффектом.

4. В кадрах 15-17 я привожу полное решение задач № 51 и 53. А в задаче 54 привожу лишь правильно выполненный чертеж, а решение учащиеся запишут на доске и в тетрадях.
В Приложении я привожу самоанализ моего урока, с уверенностью, что он может пригодиться молодым коллегам.

Цели урока:

  • Образовательные:
    • ввести понятие параллельных плоскостей;
    • доказать признак параллельности двух плоскостей;
    • сформировать у учащихся навыки применения этого признака при решении задач.
  • Развивающие:
    • развивать у учащихся логическое мышление, внимание;
    • формировать потребность в приобретении знаний;
    • развивать пространственное воображение детей;
    • развивать у учащихся навыки рефлексии.
  • Воспитательные:
    • обогащение знаний учащихся практическими навыками;
    • повышение интереса учащихся к изучаемой теме.

I. Организационный момент

Сообщить тему урока и сформулировать цели урока.

П. Актуализация знаний учащихся

Подготовка учащихся к восприятию нового материала:

  1. Сформулировать А3.
  2. Сформулировать утверждение 1° п. 6.
  3. Признаки подобия треугольников.
  4. Свойство средней линии треугольника.
  5. Теорема об отношениях площадей подобных треугольников.
Читайте также:
Множество - обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры

III. Изучение нового материала

Кадр 2. Стихотворение Анатолия Кудрявцева «Параллельный мир – нечто, состоящее из слов и линий».

Кадр 3. Определение параллельных плоскостей.

Кадры 4-10. Примеры параллельных плоскостей в жизни, природе, технике, живописи.

Кадр 11. Еще раз определение параллельных плоскостей.

Кадр 12-13. Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Кадр 14. Какие теоремы мы использовали при доказательстве признака?

Обсуждение причинно-следственных связей этой теоремы:

Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Пусть Делаем предположение, противное заключению
Тогда Теорема о линии пересечения плоскостей: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема о параллельности трех прямых в пространстве Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Теорема о параллельных прямых

IV. Закрепление изученного материала

Кадр 15. № 51. (еще один признак параллельности плоскостей).

Кадр 16-17. № 53.

Кадр 18. № 54.

V. Подведение итогов (в форме текста)

Кадр 20. Ответьте на вопросы:

  1. Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
  2. Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Плоскости а и р параллельны, прямая т лежит в плоскости а.
  3. Верно ли, что прямая т параллельна плоскости р?
  4. Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет только одну общую точку?
  5. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости а и плоскости трапеции?
  6. Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
  7. Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
  8. Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
  9. Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости а, то и третья сторона параллельна плоскости а?

Кадр 21. Рефлексия: Проверяем выполнение задания.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
да нет да нет да нет нет нет нет да

Кадр 22. Домашнее задание

П. 10, № 55, 56, 57.
Пояснения к домашнему заданию: при выполнении № 55 перепишите в тетрадь приведенное в учебнике решение задачи и разберите его.

Дополнительная задача. Прямая а параллельна плоскости a. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости a. Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.

Параллельные плоскости
презентация к уроку по геометрии (10 класс)

Презентация к уроку геометрии в 10 классе. Взаимное расположение плоскостей, признак параллельности плоскостей, свойства параллельных плоскостей.

Скачать:

Вложение Размер
8._parallelnye_ploskosti.pptx 2.71 МБ
Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Взаимное расположение плоскостей. Параллельные плоскости Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение школа №543 Московского района Санкт-Петербурга Учитель математики высшей категории Чагина Юлия Анатольевна 2020

Пересекающиеся плоскости Плоскости называются пересекающимися, если они имеют общие точки

Параллельные плоскости Плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными

Теорема. Признак параллельности плоскостей Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны. Дано: а ∩ b = М; а Є α ; b Є α а 1 ∩ b 1 = М 1 ; а 1 Є β ; b 1 Є β a || a 1 ; b || b 1 Доказать: α || β α β а b М b 1 а 1 М 1

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство: (от противного) Пусть α ∩ β = с Тогда а || β , т.к. a || a 1 , а 1 Є β а Є α ; α ∩ β = с, значит а || с. b || β , т.к. b || b 1 , b 1 Є β b Є α α ∩ β = с, значит b || с. Имеем а || b , то есть через точку М проходят две прямые а и b , параллельные прямой с. Получили противоречие. Значит, α || β . α β а b М b 1 а 1 М 1 с По признаку параллельности прямой и плоскости а || β и b || β .

Задача № 51. Дано: т ∩ n = К, т Є α , n Є α , т || β , n || β . Доказать: α || β . α β т п К с

Задача № 51. Дано: т ∩ n = К, т Є α , n Є α , т || β , n || β . Доказать: α || β . α β т п К с 1) Допустим, что ___________ 2) Так как __________________, то ______________________. Получаем, что ______________________________________________________. Вывод: α ∩ β = с п || β , т || β т || с и п || с через точку К проходят две прямые параллельные прямой с. α || β

Задача № 53. Дано: отрезки А 1 А 2 ; В 1 В 2 ; С 1 С 2 О Є А 1 А 2 ; О Є В 1 В 2 ; О Є С 1 С 2 А 1 О = ОА 2 ; В 1 О = ОВ 2 ; С 1 О = ОС 2 Доказать: А 1 В 1 С 1 || А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 А 2 В 2 С 2 С 1 О

Задача № 53. Дано: отрезки А 1 А 2 ; В 1 В 2 ; С 1 С 2 О Є А 1 А 2 ; О Є В 1 В 2 ; О Є С 1 С 2 А 1 О = ОА 2 ; В 1 О = ОВ 2 ; С 1 О = ОС 2 Доказать: А 1 В 1 С 1 || А 2 В 2 С 2 В 2 С 1 А 1 В 1 А 2 С 2 О

Задача № 54. М Р N А В D C

Задача № 54. М Р N А D C В

Проверка знаний Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Плоскости α и β параллельны, прямая n лежит в плоскости α . Верно ли, что прямая n параллельна плоскости β ? Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? Да Нет Да Нет Нет

Решение задач № 1 № 2

№ 3 № 4 Решение задач

Решение задач № 5 № 6

№ 7 № 8 Решение задач

Домашнее задание № 1 № 2

Домашнее задание № 3 № 4

Свойства параллельных плоскостей 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.

Свойства параллельных плоскостей 2 . Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Доклад Параллельность плоскостей

что надо знать:основные понятия, определения, теоремы;что надо уметь:применение обязательного теоретического .

Учебно-методический сайт по математике 10 кл “Параллельность плоскостей”

Сайт представляет собой методическую разработку серии уроковпо теме “Параллельность плоскостей 10 класс” с использованиеммедиаресурса от компании “Кирилл и Мефодий”.

Параллельность плоскостей

Презентация к уроку геометрии “Параллельность_плоскостей”.

Контрольная работа по геометрии для 10 класса по теме “Параллельность плоскостей”

В работу включены задачи на свойства параллельных плоскостей.

Презентация к уроку геометрии “Параллельность плоскостей” 10 класс

Данная презентация иллюстрирует учащимся параллельность плоскостей.

Параллельные плоскости

Признак параллельности плоскостей и его применение при решении задач.

Параллельность плоскостей

карточки – помощники для опроса теоретического материала в 10 классе.

Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей.

Эта статья посвящена параллельным плоскостям и параллельности плоскостей. Сначала дано определение параллельных плоскостей, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации. Далее приведен признак параллельности плоскостей и теоремы, позволяющие доказывать параллельность плоскостей. В заключении рассмотрены необходимые и достаточные условия параллельности плоскостей, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, а также подробно разобраны решения примеров.

Навигация по странице.

  • Параллельные плоскости – основные сведения.
  • Параллельность плоскостей – признак и условия параллельности.

Параллельные плоскости – основные сведения.

Дадим определение параллельных плоскостей.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «». Таким образом, если плоскости и параллельны, то можно кратко записать .

Обычно две параллельные плоскости на чертеже изображаются в виде одинаковых параллелограммов, смещенных относительно друг друга.

Отметим, что если плоскости и параллельны, то также можно сказать, что плоскость параллельна плоскости , или плоскость параллельна плоскости .

Представление о параллельных плоскостях позволяют получить, к примеру, плоскость потолка и пола. Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях.

Параллельность плоскостей – признак и условия параллельности.

При решении геометрических задач часто встает вопрос: «параллельны ли две заданные плоскости»? Для ответа на него существует признак параллельности плоскостей, который представляет собой достаточное условие параллельности плоскостей. Сформулируем его в виде теоремы.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

С доказательством этого признака параллельности плоскостей Вы можете ознакомиться на страницах учебника геометрии за 10 – 11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.

На практике для доказательства параллельности плоскостей также часто используются две следующие теоремы.

Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость либо тоже параллельна этой плоскости, либо совпадает с ней.

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основании приведенных теорем и признака параллельности плоскостей доказывается параллельность любых двух плоскостей.

Теперь подробно остановимся на необходимом и достаточном условии параллельности двух плоскостей и , которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости соответствует общее уравнение плоскости вида , а плоскости – вида . (Если плоскости заданы уравнениями плоскостей в отрезках, то от них легко перейти к общим уравнениям плоскостей.)

Для параллельности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений (была несовместна).

Если плоскости и параллельны, то по определению они не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяли бы одновременно обоим уравнениям плоскостей. Поэтому, система уравнений не имеет решений.

Если система линейных уравнений не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы. Следовательно, плоскости и не имеют ни одной общей точки, то есть, они параллельны.

Рассмотрим применение необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Параллельны ли плоскости и ?

Составим систему уравнений из заданных уравнений плоскостей. Она имеет вид . Выясним, имеет ли эта система линейных уравнений решения (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Ранг матрицы равен одному, так как все миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы равен двум, так как минор отличен от нуля. Итак, ранг основной матрицы системы уравнений меньше ранга расширенной матрицы системы. При этом из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений не имеет решений. Этим доказано, что плоскости и параллельны.

Заметим, что использование метода Гаусса для решения системы линейных уравнений привело бы нас к этому же результату.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей можно сформулировать иначе.

Для параллельности двух несовпадающих плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и нормальный вектор плоскости были коллинеарны.

Доказательство этого условия основано на определении нормального вектора плоскости.

Пусть и – нормальные векторы плоскостей и соответственно. Условие коллинеарности векторов и записывается как , где t – некоторое действительное число.

Таким образом, для параллельности несовпадающих плоскостей и , нормальными векторами которых являются векторы и соответственно, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число t , для которого справедливо равенство .

Известно, что в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость проходит через три точки , а плоскость определяется уравнением . Докажите параллельность плоскостей и .

Сначала убедимся, что плоскости и не совпадают. Это действительно так, так как координаты точки А не удовлетворяют уравнению плоскости .

Теперь найдем координаты нормальных векторов и плоскостей и и проверим выполнение условия коллинеарности векторов и .

В качестве вектора можно взять векторное произведение векторов и . Векторы и имеют координаты и соответственно (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца). Тогда .

Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости приведем ее уравнение к общему уравнению плоскости: . Теперь видно, что .

Проверим выполнение условия коллинеарности векторов и .

Так как , то векторы и связаны равенством , то есть, они коллинеарны.

Итак, плоскости и не совпадают, а их нормальные векторы коллинеарны, следовательно, плоскости и параллельны.

Замечание: разобранное необходимое и достаточное условие не очень удобно для доказательства параллельности плоскостей, так как отдельно приходится доказывать, что плоскости не совпадают.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: