Напряженность электрического поля ⚡ формула, единица измерения, значение, сила напряженности точечного заряда электрического поля, модуль, от чего зависит напряженность

Решение. Модуль напряжения электростатического поля, которое создает точечный заряд, определяется формулой:

r- расстояние от заряда, создающего поле до точки в которой ищем поле.

Из формулы (1.2) следует, что модуль $bar$ равен:

Подставим в (1.1) исходные данные и полученное расстояние r, имеем:

Ответ. $E=9 cdot 10^<7>left(fracright)$

Формула напряженности электрического поля не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Запишите выражение для напряженности поля в точке, которая определена радиус – вектором $bar$, если поле создается зарядом, который распределен по объему V с плотностью $rho=rho(r)$ .

Решение. Сделаем рисунок.

Проведем разбиение объема V на малые области с объемами $Delta V_$ заряды этих объемов $Delta q_$, тогда напряженность поля точечного заряда в точке А (рис.1) будет равна:

Для того чтобы найти поле, которое создает все тело в точке А, используем принцип суперпозиции:

где N – число элементарных объемов, на которые разбивается объем V.

Плотность распределения заряда можно выразить как:

Из выражения (2.3) получим:

$Delta q_=rholeft(bar_right) Delta V_(2.4)$

Подставим выражение для элементарного заряда в формулу (2.2), имеем:

Так ка распределение зарядов задано непрерывное, то если устремить $Delta V_i$ к нулю, то можно перейти от суммирования к интегрированию, тогда:

Читайте также:

Электрическое напряжение определение физической величины, основные виды

ЛЕКЦИЯ №4

“Поле” сдашь – студентом будешь. (народная примета)

1. Понятие напряженности.

В опыте Милликена (см.лк.№2 п.12) мы встретились с величиной , с которой также знакомы по школьному курсу физики. Настала пора уточнить, что это такое.

Пусть в пространстве имеется некоторое расположение зарядов (рис.4.1). Нас интересует, как они будут действовать на пробный заряд q. По принципу суперпозиции

(4.1)

Поделим на величину пробного заряда.

(4.2)

Выражение справа зависит только от исходного расположения зарядов и от положения рассматриваемой точки.

def:Физическая величина, являющаяся отношением силы, действующей со стороны электрического поля на пробный заряд, к величине этого заряда, называется напряженностью электрического поля. (4.3)

Здесь нам необходима определенная осторожность. Если мы введем пробный заряд, то исходные заряды могут прийти в движение, и изменить напряженность. Предел q ® 0 также не очень хорош, так как существует минимальный заряд |e|. Поэтому лучше исходить из следующего положения:

def:Напряженность – это векторная функция зарядов-источников электрического поля, которая определяется следующим образом (4.4)

В этом случае трудности снимаются, и нет необходимости упоминать о пробном заряде и о неподвижности.

2. Единица измерения напряженности.

Из определения напряженности очевидно, что

Однако в SI чаще используют другую единицу (будет разъяснено в лекции №7 п.3).

def:1 В/м – единица SI напряженности электрического поля, равная напряженности однородного электрического поля, при которой между точками, находящимися на расстоянии 1 м вдоль линии напряженности поля, создается разность потенциалов 1 Вольт.

3. Принцип суперпозиции.

Из определения (4.4) ясно, что в вакууме напряженность, как и сила, подчиняется принципу суперпозиции.

def:Напряженность поля в точке пространства равна сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными точечными зарядами. (4.5)

4. Напряженность поля заряженного тела.

Ясно, что для определения напряженности, создаваемой реальными заряженными телами необходимо мысленно разбить их на столь малые заряды, чтобы их можно было считать точечными, а потом грамотно сложить (проинтегрировать).

Пусть заряд распределен по некоторому телу объема V’. Тогда напряженность поля в точке М равна

(4.6)

где интегрирование выполняется по объему заряженного тела. Если плотность заряда , то (4.7)

5. Напряженность поля точечного заряда.

Используя предыдущую формулу и плотность точечного заряда ( лк.№2,п.10), имеем (рис.4.3)

(4.8)

Если начало системы отсчета выбрать там, где находится точечный заряд, т.е. (см. рис.4.3), то

(4.9)

или в скалярной форме

(4.10)

Зависимость E(r) достаточно проста и представлена на рис.4.4. Расходимость в нуле не должна пугать, так как точечный заряд – это идеализация. В природе не существует зарядов в нулевом объеме, а любое распределение зарядов конечных размеров, как мы увидим ниже, не имеет особенностей.

6. Понятие электрического поля.

Теперь несколько замечаний об электрическом поле. На вопрос о том, что такое электрическое поле, реально ли оно или это некий числовой коэффициент, ответить очень трудно. “Есть вещи, которые вы спокойно можете объяснить два раза, не рискуя, что кто-нибудь поймет, о чем вы говорите”, – считала Сова в сказке о Винни-Пухе. К понятию поля мы будем возвращаться неоднократно. Пока речь идет об электростатическом поле. А ведь есть еще магнитное и электрическое вихревое, и даже электромагнитное.

Понятие “электрическое поле” имеет смысл. Оно сообщает пространству локальное свойство, а именно: если нам известно значение поля, то мы знаем без дальнейших рассуждений, что случится с любыми зарядами в этой точке, и для этого нам совсем не нужно знать, как это поле было создано. Напряженность – это количественная характеристика поля.

7. Графическое представление поля.

Чтобы наглядно представить себе поле, мы можем с каждой точкой пространства связать вектор напряженности, длину которого рисовать в соответствии с числовым значением (рис.4.5а и рис.4.5.б)

Читайте также:

Дифракционная решетка формулы, период, виды дифракции света

Другой способ – это изображение линий напряженности или силовых линий, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением поля в этой точке. Эти линии являются гладкими и непрерывными, за исключением таких особенностей, как заряд. Густота линий выбирается таким образом, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности перпендикулярной к линиям площадки было пропорционально Е. Тогда по картине линий напряженности, можно судить о направлении и величине Е. Эти линии начинаются на положительных, а заканчиваются на отрицательных зарядах (или на бесконечности) и нигде не пересекаются. На рис.4.6 представлены линии напряженности для разноименных (слева) и одноименных (справа) зарядов.

рис.4.6

Если эту картину привести во вращение вокруг оси, соединяющей заряды, то получим объемную картину распределения поля.

Для зарядов разной величины картина может выглядеть весьма причудливым образом (рис.4.7).

Линии напряженности можно воспроизвести и в эксперименте. С этой целью в сосуд с плоским дном наливают какую-нибудь изолирующую жидкость, (вазелин, касторовое масло) в которой, по возможности равномерно, распределены кристаллики хинина, манная крупа или вообще какие-нибудь небольшие тельца удлиненной формы. Погрузив в такую жидкость два электрода, можно увидеть, как эти частицы, наэлектризовавшись и притянувшись друг к другу, образуют собою кривые линии (рис.4.8) как раз той же самой формы, которая была рассчитана теоретическим путем. Мелкие частицы в поле выстраиваются вдоль силовых линий. (Почему? Ведь поле есть в любой точке ?!)

8. О поле для особо любопытных (можно не читать).

def:Физическое поле – особая форма материи, физическая система с бесконечно большим числом степеней свободы, которая осуществляет взаимодействие между частицами, но может существовать и без частиц.

Описание его производится с помощью нескольких непрерывных функций, зависящих от положения в пространстве-времени. Электромагнитное поле описывается с помощью скалярного и векторного потенциалов, производные от которых дают электрическую и магнитную напряженности. Можно составить выражение для действия и с помощью принципа наименьшего действия получить дифференциальные уравнения, определяющие поля. Значения функций в точках можно считать обобщенными координатами, отсюда бесконечность степеней свободы. Если еще вспомнить, что поле имеет частицы-переносчики взаимодействий, то следует переходить к квантово-операторной теории поля.

Если вы ничего не поняли – не расстраивайтесь. Читайте дальше.

9. Напряжённость поля равномерно заряженной полусферы.

В качестве примера вычислим напряжённость поля в центре полусферы радиуса R, если по поверхности этой сферы равномерно распределён заряд q. Будем исходить из формулы (4.6). Учитывая, что заданное распределение заряда обладает сферической симметрией, вычисление удобно провести в сферической системе координат, выбрав её начало в центре сферы. При этом поверхностная плотность заряда, а элемент площади поверхности сферы, и, следовательно, формула (4.6) записывается в данном случае в виде:

(4.11)

Разложим по ортам декартовой системы координат, чтобы показать явную зависимость его от j и q , , и подставим в (4.11):

(4.12)

Учитывая, что уже не зависят от j и q , можно провести вычисление интеграла в (4.12), представляя его в виде суммы трёх интегралов. При этом, как легко видеть, при выполнении сначала интегрирования по j , интегралы от первого и второго слагаемых обращаются в ноль, и остаётся только интеграл от третьего слагаемого, который легко вычисляется:

Напряженность электрического поля ⚡ формула, единица измерения, значение, сила напряженности точечного заряда электрического поля, модуль, от чего зависит напряженность

Электрическое поле. Для объяснения природы электрических взаимодействий заряженных тел необходимо допустить наличие в окружающем заряды пространстве физического агента, осуществляющего это взаимодействие. В соответствии с теорией близкодействия, утверждающей, что силовые взаимодействия между телами осуществляются через посредство особой материальной среды, окружающей взаимодействующие тела и передающей любые изменения таких взаимодействий в пространстве с конечной скоростью, таким агентом является электрическое поле.

Электрическое поле создается как неподвижными, так и движущимися зарядами. О наличии электрического поля можно судить, прежде всего, по его способности оказывать силовое действие на электрические заряды, движущиеся и неподвижные, а также по способности индуцировать электрические заряды на поверхности проводящих нейтральных тел.

Поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами, называют стационарным электрическим, или электростатическим полем. Оно представляет собой частный случай электромагнитного поля, посредством которого осуществляются силовые взаимодействия между электрически заряженными телами, движущимся в общем случае произвольным образом относительно системы отсчета.

Напряженность электрического поля. Количественной характеристикой силового действия электрического поля на заряженные тела служит векторная величина E , называемая напряжённостью электрического поля.

Она определяется отношением силы F , действующей со стороны поля на точечный пробный заряд q _пр, помещенный в рассматриваемую точку поля, к величине этого заряда.

Понятие «пробный заряд» предполагает, что этот заряд не участвует в создании электрического поля и так мал, что не искажает его, т. е. не вызывает перераспределения в пространстве зарядов, создающих рассматриваемое поле. В системе СИ единицей напряженности служит 1 В / м, что эквивалентно 1 Н / Кл.

Напряженность поля точечного заряда. Используя закон Кулона (1.1) найдем выражение для напряжённости электрического поля, создаваемого точечным зарядом q в однородной изотропной среде на расстоянии r от заряда:

(1.2)

В этой формуле r – радиус-вектор, соединяющий заряды q и q _пр. Из (1.2) следует, что напряжённость E поля точечного заряда q во всех точках поля направлена радиально от заряда при q > 0 и к заряду при q Принцип суперпозиции. Напряжённость поля, создаваемого системой неподвижных точечных зарядов q ₁, q ₂, q ₃, ¼ , q_n , равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности:

где r _i – расстояние между зарядом q_i и рассматриваемой точкой поля.

Принцип суперпозиции, позволяет рассчитывать не только напряжённость поля системы точечных зарядов, но и напряженность поля в системах, где имеет место непрерывное распределение заряда. Заряд тела можно представить как сумму элементарных точечных зарядов d q .

При этом, если заряд распределен с линейной плотностью t , то d q = t d l ; если заряд распределен с поверхностной плотностью s , то d q = d l и d q = r d l , если заряд распределен с объёмной плотностью r .

Графическое изображение электрического поля. Метод графического изображения электрического поля был предложен английским физиком Майклом Фарадеем. Суть метода заключается в том, что на чертеже изображаются непрерывные линии, которые называют линиями напряженности, или силовыми линиями.

Правило построения линий напряженности заключается в том, что касательные к ним в каждой точке чертежа совпадают с направлением вектора напряженности поля в изображаемой точке.

Таким образом, силовые линии имеют то же направление, что и напряжённость поля и не пересекаются, так как в каждой точке электрического поля вектор E имеет лишь одно направление.

С помощью силовых линий можно дать количественную характеристику напряжённости электрического поля. Для этого густота, или плотность, силовых линий выбирается пропорционально модулю вектора напряженности. Плотность силовых линий определяется как число линий, пронизывающих единичную поверхность в направлении, перпендикулярном к этой поверхности.

Изображение силовых линий позволяет получать картину поля, которая наглядно показывает, чему равна напряженность в разных частях поля и как она изменяется в пространстве.

Индукция электрического поля. Напряженность электрического поля является силовой характеристикой поля и определяется не только зарядами, создающими поле, но зависит и от свойств среды, в которой находятся эти заряды.

Часто бывает удобно исследовать электрическое поле, рассматривая только заряды и их расположение в пространстве, не принимая во внимание свойств окружающей среды. Для этой цели используется векторная величина, которая называется электрической индукцией или электрическим смещением. Вектор электрической индукции D в однородной изотропной среде связан с вектором напряженности Е соотношением

.

Единицей измерения индукции электрического поля служит 1 Кл/ м 2 . Направление вектора электрического смещения совпадает с вектором Е. Графическое изображение электрического поля можно построить с помощью линий электрической индукции по тем же правилам, что и для линий напряженности.

Вычисление характеристик электрического поля во многих случаях сильно упрощается применением важной теоремы, излагаемой ниже.

1) Какие поля называются электростатическими

2) Что такое напряженность электростатического поля. Каково направление вектора напряженности. Какова размерность

3) Изобразите качественно линии поля Е для следующих систем зарядов: а) точечного заряда; б) однородного электрического поля; в) диполя. Изобразите также эквипотенциальные поверхности

4) Какие системы зарядов создают однородное поле

5) Точечный заряд q находится в начале координат. Написать выражение для напряженности поля заряда. Ответ выразить через а) радиус вектор точки r ; б) декартовы координаты x , y , z

6) Как определяется вектор электрического смещения. Каково его направление и что он характеризует

Напряжённость электрического поля

Законом Кулона описывается взаимодействие заряженных частиц. Однако большинство сил, с которыми мы работали, возникает при взаимодействии тел посредством контакта (т.е. тела касаются друг друга). В случае электромагнитного взаимодействия контакта нет, тогда взаимодействие происходит посредством неких невидимых элементов. Тогда взаимодействия между частицами вещества и удалёнными друг от друга макроскопическими телами осуществляются через посредство физических полей, которые создаются этими частицами или телами в окружающем пространстве. В случае с заряженными частицами, эти поля назовём электромагнитными.

Тогда логика электромагнитного взаимодействия такова: заряд создаёт вокруг себя электромагнитное поле, которое, в свою очередь, действует на любой другой заряд , находящийся на любом расстоянии от источника.

Закон Кулона описывает взаимодействие между двумя зарядами:

• где
  • , — модули взаимодействующих зарядов,
  • — расстояние между центрами взаимодействующих зарядов,
  • Н*м /Кл — постоянная.

Рис. 1. Закон Кулона. Пробный заряд

Сила (1) зависит от обоих зарядов, что не позволяет толком описать электрическое поле, создаваемое каждым из взаимодействующих частиц. Тогда придумаем немного другую систему: возьмём пробный заряд — некий малый заряд, который не будет искажать поле исследуемого нами заряда . Поместим пробный заряд в различные точки пространства рядом с исследуемым нами зарядом и проиллюстрируем силы Кулона (рис. 1).

В принципе, значение силы Кулона можно найти в любой точке пространства, однако данные силы зависят как от заряда источника, так и от значения пробного заряда. Введём новую переменную, поделив значение силы Кулона на значение пробного заряда:

• где
  • — вектор напряжённости электрического поля.

Подставим силу Кулона в (1):

Исходя из (3), можно заключить, что напряжённость электрического поля зависит от заряда источника поля и точки наблюдения, описываемой расстоянием от заряда (рис. 2).

Рис. 2. Напряжённость электрического поля

Т.е. напряжённость электрического поля — параметр, описывающий поле, создаваемое зарядом-источником. Значение напряжённости электрического поля позволяет оценить сильно или слабо будет действовать поле на заряд, помещённый в него. Размерность — В/м.

Исходя из (3), можно найти напряжённость поля точечного заряда. Напряжённость электрического поля — величина векторная, поэтому для её нахождения необходимо знать как модуль, так и направление вектора. Начнём с модуля:

Рис. 3. Напряжённость электрического поля (направление)

Чтобы выяснить направление вектора, воспользуемся уравнением (2). Исходя из (2), можно заключить, что направление напряжённости электрического поля совпадает с направлением силы Кулона, а направление силы Кулона зависит от знака взаимодействующих зарядов. Чтобы не заморачиваться с рассмотрением этих зарядов в каждой задаче, просто договоримся. Если источник поля (заряд) положителен, тогда напряжённость поля направлена от заряда, если источник поля (заряд) отрицателен, тогда напряжённость поля направлена к заряду (рис. 3).

Напряжённость системы зарядов. Принцип суперпозиции напряжённости.

В случае, если в задаче источниками поля являются несколько зарядов, тогда напряжённость в интересующей точке можно найти как векторную сумму напряжённостей от каждого из зарядов:

• где
  • — общая (суммарная) напряжённость в точке,
  • — напряжённость в точке от каждого из зарядов.

Важно: поиск векторной суммы чаще всего сопряжён с реализацией теоремы Пифагора, теоремы косинусов или синусов, иногда с проецированиием векторов напряжённости на оси с последующим суммированием.

Рис. 4. Принцип суперпозиции напряжённости

Проиллюстрируем: пусть в системе присутствует 3 заряда ( , , ), найти напряжённость в точке А, находящейся на заданном расстоянии от каждого из них ( , , ) (рис. 4).

Пользуясь знаниями о зарядах, расставляем направления напряжённостей от каждого из зарядов, значение модуля каждой из них можем найти из (4). А далее геометрически складываем, получая искомый .

Напряжённость поля бесконечной заряженной плоскости.

Отдельно в школьной физике рассматривается бесконечная (осень большая) заряженная равномерно плоскость (рис. 5).

Рис. 5. Напряжённость бесконечной плоскости

Напряжённость такой плоскости вблизи её:

(6)

• где
  • — поверхностная плотность заряда,
  • — диэлектрическая проницаемость среды (табличная величина),
  • Ф/м — электрическая постоянная

В (6) использовалось определение поверхностной плотности заряда:

• где
  • — полный заряд плоскости,
  • — площадь поверхности плоскости.

Важно: напряжённость бесконечной плоскости не зависит от расстояния от плоскости.

Напряжённость поля двух бесконечных заряженных плоскостей (конденсатор).

Рис. 6. Напряжённость двух бесконечных плоскостей

Если составить систему из двух бесконечных плоскостей, заряженных одинаковым по модулю и различным по знаку зарядом (при этом площади плоскостей одинаковы), то общая напряжённость между ними:

(8)

Уравнение (8) характеризует напряжённость внутри конденсатора (рис. 6).

Вывод: в случае, если в задаче требуется найти напряжённость, она дана, достаточно рассмотреть систему. Различных систем, а соответственно, и формул, немного: точечный заряд, шар, система точечных зарядов и бесконечные плоскости. Для каждой системы — своё решение.

Напряженность электрического поля ⚡ формула, единица измерения, значение, сила напряженности точечного заряда электрического поля, модуль, от чего зависит напряженность

Напряженность электрического поля

Сложение электрических полей (принцип суперпозиции)

Распределение зарядов

Линии напряженности электрического поля

Теорема Гаусса для поля в вакууме

Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Поле объемно заряженного шара

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электрическое поле.

Если все заряды, создающие поле, в данной системе отсчета неподвижны, то поле называется электростатическим.

Электрическое поле – векторное поле, определяющее воздействие на заряженные частицы, не зависящее от их скоростей. Электрическое поле является одной из компонент единого электромагнитного поля.

Пробным зарядом называется положительный точечный заряд, который вносится в данное электромагнитное поле для измерения его характеристик.

На пробный заряд q_пр в поле, которое создает неподвижный точечный заряд q, действует сила Кулона (рис.1.2):

здесь – единичный вектор, направленный от заряда q к пробному заряду q_пр, – радиус-вектор, направленный от заряда в данную точку поля, определяющий положение пробного заряда q_пр относительно заряда q.

Отношение для пробного заряда любой величины будет одним и тем же и зависит только от величины заряда q и . Поэтому это отношение принято в качестве величины, характеризующей электрическое поле.

Напряженностью электрического поля в данной точке называется отношение силы, действующей со стороны электрического поля на покоящийся пробный заряд

Единица измерения в СИ: 1Н/Кл = 1 В/м.

Напряженность численно равна силе, действующей со стороны электрического поля на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

Напряженность точечного заряда в вакууме

где – радиус-вектор, направленный от заряда в данную точку поля, а r – модуль этого вектора.

Направление этого вектора определяет направление силы, действующей на положительный заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля (рис. 1.3).

Если известна напряженность поля в какой-либо точке, то тем самым определена и сила, действующая на электрический заряд, помещенный в эту точку:

Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:

В качестве примера рассмотрим поле двух точечных зарядов q₁ и q₂ (рис. 1.4). – напряженность поля в точке а, создаваемая зарядом q₁, а – напряженность поля заряда q₂. – напряженность результирующего поля.

Если заряженное тело настолько велико, что его нельзя рассматривать как точечный заряд, то в этом случае необходимо знать распределение зарядов внутри тела, пространственное расположение зарядов принято описывать с помощью: объемной плотности заряда ( r ), поверхностной плотности заряда ( s ) и линейной плотности заряда ( l ). Эти величины определяются формулами:

где dq – заряд, заключенный соответственно в объеме dV , на поверхности dS и на длине dl .

При непрерывном распределении зарядов

Например, если заряд распределен по объему с плотностью r , то формула (1.9) примет вид

где интегрирование проводят по всему пространству, в котором r отлично от нуля.

1.3.4. Линии напряженности электрического поля

Рис. 1.5. К определению линий напряженности

На рис. 1.6 показана картина линий напряженности точечного заряда. Густота линий напряженности на каком-либо расстоянии r от заряда равна отношению полного числа N линий напряженности, вышедших из заряда, к поверхности сферы радиуса r, т.е. N/(4 p r 2 ). Она убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда, т.е. так же, как и напряженность поля.

На рис. 1.7 показано электрическое поле между двумя одинаковыми шариками, заряженными разноименно.

Рис. 1.8. Электрическое поле плоского конденсатора

Если вектор напряженности в любой точке поля постоянен по модулю и направлению, то такое поле называется однородным. Таким полем является, например, электрическое поле между двумя параллельными металлическими пластинами, заряженными разноименными зарядами (плоский конденсатор), если расстояние между пластинами мало по сравнению с размерами пластин (рис. 1.8).

1.3.5. Теорема Гаусса для поля в вакууме

Основной задачей электростатики является вычисление полей заряженных тел. Найти напряженность поля заряженного тела можно с помощью:

1) принципа суперпозиции – это сложная математическая задача, решаемая только в некоторых простых случаях;

2) теоремы Гаусса, которая упрощает расчеты, но только в случае бесконечной плоскости, бесконечной нити (цилиндра) или сфер и шаров (см. ниже).

Сначала введем понятие «поток вектора» – это скалярная величина.

где E _n – проекция вектора на нормаль к площадке dS ; – вектор, модуль которого равен dS , направление совпадает с нормалью к площадке.

Поток вектора сквозь произвольную замкнутую площадку S :

Теорема Гаусса.

Поток Ф вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на e :

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностью r , то теорема Гаусса для электрического поля в вакууме:

Рассмотрим некоторые простые примеры вычисления электрического поля с помощью теоремы Гаусса. Чтобы найти напряженность с помощью теоремы Гаусса, нужно взять интеграл. Надо суметь выбрать такую замкнутую поверхность, в каждой точке которой было бы Е = const , и cosa = const . Тогда в левой части теоремы Е и cosa можно будет вынести из-под знака интеграла. Поэтому практически теорему Гаусса можно применить только в следующих случаях: сфера, шар, длинная нить, длинный цилиндр, бесконечная плоскость.

1. Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью s .

или

.

2. Поле объемно заряженного шара

Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r .

Учитывая соображения симметрии, при r ³ R получим, как и в случае сферической поверхности:

,

График зависимости E от r приведен на рис. 1.11.

3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной плотностью + s .

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Поскольку через боковую поверхность цилиндра поток равен нулю, весь поток проходит сквозь его основания (рис. 1.12 а). По теореме Гаусса

Отсюда напряженность электрического поля равна

.

4. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно; линейная плотность заряда равна l . Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l (рис. 1.13 а). Поскольку вектор напряженности параллелен торцам, поток сквозь основания цилиндра равен нулю, и

.

Отсюда при r ³ R

.

График зависимости E от r приведен на рис. 1.13 б.

1.3.6. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора напряженности.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль любого контура равна нулю. Это утверждение называют теоремой о циркуляции вектора .

Силовое поле, обладающее свойством (1.15), называют потенциальным.

Теорема о циркуляции вектора напряженности позволяет сделать вывод, что в электростатическом поле замкнутых линий вектора напряженности не существует: линии начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (или уходят в бесконечность).

Напряженность поля точечного заряда

Обозначим: q – заряд, создающий поле,

q – заряд, помещенный в поле (внешний заряд).

Закон Кулона: . Напряженность поля: .

Тогда напряженность поля точечного заряда:

Теорема Гаусса.

Потоком вектора напряженности наз. величина Ф, равная произведению модуля вектора напряженности на площадь контура S, ограничивающую некоторую площадь, и на косинус угла между вектором напряженности и нормалью (перпендикуляром) к площадке.

Если считать, что напряженность пропорциональна числу силовых линий, приходящихся на единицу площади поверхности (т.е. густоте), то поток напряженности пропорционален полному числу силовых линий, пересекающих данный контур.

Поток линий напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность прямо пропорционален величине заряда, находящегося в области пространства, ограниченного данной поверхностью.

Применения теоремы Гаусса.

1. Напряженность поля заряженной проводящей сферы радиуса R. Сфера заряжена по поверхности.

А) Внутри сферы заряда нет . Е=0

Б) Снаружи сферы.

На поверхности сферы:

2. Напряженность поля шара заряженного по объему.

Введем понятие объемной плотности заряда:

Объемная плотность заряда показывает, какой заряд содержится в единице объема заряженного по всему объему тела.

Объем шара произвольного радиуса .

Обозначим q – заряд шара, q – заряд, находящийся внутри объема произвольного радиуса.

Тогда заряд сферы радиуса r , будет:

Следовательно: .

– напряженность поля внутри шара, равномерно заряженного по объему. Снаружи – см. 1.

3. Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости.

Введем понятие поверхностной плотности заряда: .

Тогда .

Коэффициент 2 появляется, т.к. плоскость окружена двумя поверхностями площадью S. Поле бесконечной заряженной плоскости не зависит от расстояния от плоскости! Можно пользоваться, когда расстояние много меньше размеров плоскости.

4. Напряженность поля плоского воздушного конденсатора.

Из рисунка видим, что снаружи конденсатора поля пластин взаимно скомпенсированы, и общее поле равно нулю. Внутри конденсатора поля складываются.

Используя вывод п.3 получаем: .

Формула справедлива при условии, что расстояние между пластинами много меньше размеров самих пластин и вдали от краев пластин.

Электростатика — основные понятия и формулы раздела физики с примерами

Электрический заряд – это физическая величина, характеризующая способность частиц или тел вступать в электромагнитные взаимодействия. Электрический заряд обычно обозначается буквами q или Q. В системе СИ электрический заряд измеряется в Кулонах (Кл). Свободный заряд в 1 Кл – это гигантская величина заряда, практически не встречающаяся в природе. Как правило, Вам придется иметь дело с микрокулонами (1 мкКл = 10 –6 Кл), нанокулонами (1 нКл = 10 –9 Кл) и пикокулонами (1 пКл = 10 –12 Кл). Электрический заряд обладает следующими свойствами:

1. Электрический заряд является видом материи.

2. Электрический заряд не зависит от движения частицы и от ее скорости.

3. Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.

4. Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.

5. Все заряды взаимодействуют друг с другом. При этом одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Силы взаимодействия зарядов являются центральными, то есть лежат на прямой, соединяющей центры зарядов.

6. Существует минимально возможный (по модулю) электрический заряд, называемый элементарным зарядом. Его значение:

e = 1,602177·10 –19 Кл ≈ 1,6·10 –19 Кл.

Электрический заряд любого тела всегда кратен элементарному заряду:

где: N – целое число. Обратите внимание, невозможно существование заряда, равного 0,5е; 1,7е; 22,7е и так далее. Физические величины, которые могут принимать только дискретный (не непрерывный) ряд значений, называются квантованными. Элементарный заряд e является квантом (наименьшей порцией) электрического заряда.

7. Закон сохранения электрического заряда. В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел остается постоянной:

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака. Из закона сохранения заряда так же следует, если два тела одного размера и формы, обладающие зарядами q₁ и q₂ (совершенно не важно какого знака заряды), привести в соприкосновение, а затем обратно развести, то заряд каждого из тел станет равным:

С современной точки зрения, носителями зарядов являются элементарные частицы. Все обычные тела состоят из атомов, в состав которых входят положительно заряженные протоны, отрицательно заряженные электроны и нейтральные частицы – нейтроны. Протоны и нейтроны входят в состав атомных ядер, электроны образуют электронную оболочку атомов. Электрические заряды протона и электрона по модулю в точности одинаковы и равны элементарному (то есть минимально возможному) заряду e.

В нейтральном атоме число протонов в ядре равно числу электронов в оболочке. Это число называется атомным номером. Атом данного вещества может потерять один или несколько электронов, или приобрести лишний электрон. В этих случаях нейтральный атом превращается в положительно или отрицательно заряженный ион. Обратите внимание, что положительные протоны входят в состав ядра атома, поэтому их число может изменяться только при ядерных реакциях. Очевидно, что при электризации тел ядерных реакций не происходит. Поэтому в любых электрических явлениях число протонов не меняется, изменяется только число электронов. Так, сообщение телу отрицательного заряда означает передачу ему лишних электронов. А сообщение положительного заряда, вопреки частой ошибке, означает не добавление протонов, а отнимание электронов. Заряд может передаваться от одного тела к другому только порциями, содержащими целое число электронов.

Иногда в задачах электрический заряд распределен по некоторому телу. Для описания этого распределения вводятся следующие величины:

1. Линейная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по нити:

где: L – длина нити. Измеряется в Кл/м.

2. Поверхностная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по поверхности тела:

где: S – площадь поверхности тела. Измеряется в Кл/м 2 .

3. Объемная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по объему тела:

где: V – объем тела. Измеряется в Кл/м 3 .

Обратите внимание на то, что масса электрона равна:

Закон Кулона

Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. На основании многочисленных опытов Кулон установил следующий закон:

Силы взаимодействия неподвижных точечных зарядов прямо пропорциональны произведению модулей зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

где: ε – диэлектрическая проницаемость среды – безразмерная физическая величина, показывающая, во сколько раз сила электростатического взаимодействия в данной среде будет меньше, чем в вакууме (то есть во сколько раз среда ослабляет взаимодействие). Здесь k – коэффициент в законе Кулона, величина, определяющая численное значение силы взаимодействия зарядов. В системе СИ его значение принимается равным:

Силы взаимодействия точечных неподвижных зарядов подчиняются третьему закону Ньютона, и являются силами отталкивания друг от друга при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения друг к другу при разных знаках. Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием. Раздел электродинамики, изучающий кулоновское взаимодействие, называют электростатикой.

Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел, равномерно заряженных сфер и шаров. В этом случае за расстояния r берут расстояние между центрами сфер или шаров. На практике закон Кулона хорошо выполняется, если размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними. Коэффициент k в системе СИ иногда записывают в виде:

где: ε = 8,85∙10 –12 Ф/м – электрическая постоянная.

Опыт показывает, что силы кулоновского взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции: если заряженное тело взаимодействует одновременно с несколькими заряженными телами, то результирующая сила, действующая на данное тело, равна векторной сумме сил, действующих на это тело со стороны всех других заряженных тел.

Запомните также два важных определения:

Проводники – вещества, содержащие свободные носители электрического заряда. Внутри проводника возможно свободное движение электронов – носителей заряда (по проводникам может протекать электрический ток). К проводникам относятся металлы, растворы и расплавы электролитов, ионизированные газы, плазма.

Диэлектрики (изоляторы) – вещества, в которых нет свободных носителей заряда. Свободное движение электронов внутри диэлектриков невозможно (по ним не может протекать электрический ток). Именно диэлектрики обладают некоторой не равной единице диэлектрической проницаемостью ε.

Для диэлектрической проницаемости вещества верно следующее (о том, что такое электрическое поле чуть ниже):

Электрическое поле и его напряженность

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле. Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не вносит заметного перераспределения исследуемых зарядов. Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика – напряженность электрического поля E.

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора напряженности совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим.

Для наглядного представления электрического поля используют силовые линии. Эти линии проводятся так, чтобы направление вектора напряженности в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии. Силовые линии обладают следующими свойствами.

• Силовые линии электростатического поля никогда не пересекаются.
• Силовые линии электростатического поля всегда направлены от положительных зарядов к отрицательным.
• При изображении электрического поля с помощью силовых линий их густота должна быть пропорциональна модулю вектора напряженности поля.
• Силовые линии начинаются на положительном заряде или бесконечности, а заканчиваются на отрицательном или бесконечности. Густота линий тем больше, чем больше напряжённость.
• В данной точке пространства может проходить только одна силовая линия, т.к. напряжённость электрического поля в данной точке пространства задаётся однозначно.

Электрическое поле называют однородным, если вектор напряжённости одинаков во всех точках поля. Например, однородное поле создаёт плоский конденсатор – две пластины, заряженные равным по величине и противоположным по знаку зарядом, разделённые слоем диэлектрика, причём расстояние между пластинами много меньше размеров пластин.

Во всех точках однородного поля на заряд q, внесённый в однородное поле с напряжённостью E, действует одинаковая по величине и направлению сила, равная F = Eq. Причём, если заряд q положительный, то направление силы совпадает с направлением вектора напряжённости, а если заряд отрицательный, то вектора силы и напряжённости противоположно направлены.

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рисунке:

Принцип суперпозиции

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции. В соответствии с законом Кулона, напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.