Множество обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры решения множеств натуральных, целых и рациональных чисел, счетных и несчетных множеств
Мы каждый день сталкиваемся с большим количеством одинаковых предметов, но не задумываемся о том, как называется совокупность этих объектов. Это множество — математическая единица, подчиняющаяся определенным законам и правилам, обладающая разными свойствами и функциями.
Что такое множество в математике и как оно обозначается
Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.
Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.
В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.
Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.
Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.
А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.
Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:
Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.
Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.
Пример: N =
Выделяют три вида множеств:
конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.
Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.
Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.
Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.
Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.
В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.
Множество натуральных чисел
К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.
Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.
Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.
Множество целых чисел
Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:
Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.
Множество рациональных чисел
Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:
5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;
0,45 = 45/100 = 9/20.
Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.
Операции над множествами
Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.
Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.
Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.
Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.
В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.
Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:
Объединение
Пересечение
Дополнение
С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.
Свойства операций над множествами
Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:
Коммутативность – переместительные законы:
умножения S ∩ D = D ∩ S;
сложения S ∪ D = D ∪ S.
Ассоциативность – сочетательные законы:
умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).
Дистрибутивность – законы распределения:
умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).
Транзитивность — законы включения:
если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.
Идемпотентность объединения и пересечения:
О других свойствах операций можно узнать из картинки:
Счетные и несчетные множества
Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.
Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.
В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.
Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.
Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.
Что такое множество . Свойства и операции над множествами
В этой статье рассмотрим очень важную тему, как в математике, так и в информатике – множества. Ниже Вы найдете основные определения и понятия, свойства множеств, их виды и примеры. Материал изложен таким образом, что разберется даже полный чайник. Здесь приведены, только основы, которые обычно проходятся в рамках школьной программы. Читайте!
- Основные положения и обозначения
- Подмножества
- Мощность
- Равенство
- Виды
- Примеры
- Натуральные числа
- Целые числа
- Рациональные числа
- Операции
- Пересечение
- Объединение
- Разность
- Заключение
Основные положения и обозначения
Теория множеств появилась благодаря знаменитому немецкому математику Гео́рг Ка́нтор (3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств.
‘>Георгу Кантору . Именно он с 1872 по 1884 год опубликовал работы, в которых были изложены основные положения и свойства, касающиеся данной темы.
Итак, начнем с основных понятий. Основное определение имеет следующий вид:
Множества (м-ва – сокр.) – наборы элементов объединенных по какому либо признаку.
Обозначаются они с помощью заглавных латинских букв, а их элементы указываются в фигурных скобках.
Примеры
( S = left < а, б, в, г, д, …, ю, я right>) – мн-во букв русского алфавита.
( S = left < Алексей, Анатолий, Галина, …, Александр, Ирина right>) – мн-во имен студентов в группе.
( S = left < , , , right>) – мн-во смайликов с изображением обезьянок.
Также стоит обговорить про принадлежность элементов к множеству. Записать её можно с помощью специального значка «принадлежности» – ( in ) . Так запись вида ( x in S ) обозначает, что элемент x принадлежит множеству S.
С основным понятием разобрались, перейдем к остальной теории.
Подмножества
Подмножество – множество S1 является подмножеством S, если каждый элемент из S1 содержится (включен) в S.
Обозначают подмножества при помощи специального значка «включения», который имеет вид ( subset ) ( ( S_1 subset S ) ) . Также их можно отобразить схематично, используя диаграммы Эйлера, которые отображают отношения между подмножествами.
Вернемся к нашему примеру с мн-ом имен студентов в группе, тогда S1 = – множество женских имен девушек, которые учатся в этой группе. В результате мы можем сказать, что S1 является подмножеством S .
Также Вы можете выделить подмножество мужских имен, или сделать любую выборку по какому-нибудь признаку.
Мощность
Следует также выделить такое понятие, как мощность. Имеет оно следующий вид:
Мощность – количество элементов, которое содержится в множестве.
Мн-ва называются равномощными тогда и только тогда, когда количество элементов одного из них равно количеству элементов другого.
Причем неважно, какие элементы будут в этих мн-ах. Так в одном из них могут содержаться 26 букв английского алфавита, а в другом 26 марок японских автомобилей, при этом они будут равномощными.
Мощность является одним из тех свойств, благодаря которому мы можем проводить сравнение двух (или более) м-в.
Равенство
Необходимо сказать и про равенство. Для чайников правило будет выглядеть так:
Два (или несколько) множеств равны только тогда, когда равны все их элементы.
Теперь изучим виды и другие свойства мн-в в математике.
Существует много критериев и свойств, по которым мы можем классифицировать множества. Например, мы можем разделить их по количеству элементов:
- Пустые – такие м-ва не содержат ни одного элемента. Обозначаются значком ( varnothing ).
- Одноэлементные – как понятно из названия, состоят из одного элемента.
- Универсальные – состоят из ВСЕХ объектов, которые есть в мире.
А можем поделить их на конечные (ограниченные) и бесконечные:
- В конечных мн-ах имеется ограниченное число элементов (вспомните про пример с именами студентов).
- Бесконечные. Например, м-во целых (Z) и рациональных (Q) чисел в математике.
Теперь рассмотрим примеры множеств в математике.
Примеры
Натуральные числа
Натуральные числа в математике – это те числа, которые мы используем при счете (1, 2, 3 и т.д.). Сюда не относятся отрицательные величины и нуль. Запись: ( N = left < 1, 2, 3, 4, 5, … right>).
Целые числа
Получаются из множества натуральных чисел. К ним добавляются отрицательные числа и нуль. ( Z = left < 0, pm 1, pm 2, pm 3, pm 4, pm 5, … right>).
Рациональные числа
Здесь множество задается следующим образом: ( Q = left <
Так как любое число в математике можно представить в виде дроби (например, ( 5 = <5 over 1>) ), то целые числа являются подмножеством рациональных чисел. Натуральные же числа являются подмножеством целых чисел.
[ N subset Z subset Q ]
Эту теорию Вам надо запомнить.
Операции
В этом разделе рассмотрим основные операции (действия) над множествами в математике.
Пересечение
Операция пересечения эквивалентна логической конструкции И (логическое умножение) . В результате пересечения образуется множество состоящее из элементов, которые входят и в множество S1 и одновременно с этим в S2. Для обозначения используется значок ( cap ) . Ниже приведен пример, отображенный с помощью кругов Эйлера – Венна (не путать с диаграммами Эйлера).
Чтобы поняли даже чайники, вернемся к нашим «мартышкам»:
( S_ <1>= left < 🙉, 🙊 right>) — обезьянки показывающие лапки и глаза
( S_ <2>= left < 🙈, 🙉 right>) — мартышки показывающие лапы и рот
Надо найти ( S_ <1> cap S_ <2>). Для этого воспользуемся диаграммами Эйлера — Венна:
Решение: ( S_ <1> cap S_ <2>= left < 🙉 right>) т.к. 🙉 входит и в S1 и в S2.
Объединение
Операция объединения соответствует логическому ИЛИ (логическому сложению) . В результате объединения получается множество, состоящее из всех элементов множеств S1 и S2. Для обозначения используем знак ( cup ) .
Решение: ( S_ <1> cup S_ <2>= left < 🙈, 🙉, 🙊 right>)
Разность
Вычитание множеств . Имеет следующее обозначение ( S_ <1>setminus S_ <2>) . В результате данной операции получим все элементы, которые принадлежат множеству S1 и в то же время НЕ принадлежат S2.
Решение: ( S_ <1> setminus S_ <2>= left < 🙊 right>)
Следует отметить, что здесь приведены не все операции. Например, не написано про симметрическую разность и законы Моргана. Их проходят в рамках высшей математики.
Заключение
Теперь Вы знаете, что такое мн-ва, знаете их свойства и какие операции над ними можно выполнять. Надеюсь я объяснил всю теорию так, что понял даже полный чайник. Если же у Вас возникли вопросы, то задавайте их в комментариях. Также на нашем сайте Вы можете прочитать другие статьи, например про представления чисел в компьютере. Рассказывается как выполнять с ними такие действия, как перемножение, получение суммы и деление.
Множество – обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры
Ключевые слова конспекта: множества, операции над множествами, подмножество, пересечение множеств, объединение множеств, элемент множества, числовые множества, обозначение некоторых числовых множеств.
В жизни часто приходится встречаться с различными совокупностями объектов, объединёнными в одно целое по некоторому признаку. Для обозначения этих совокупностей используются различные слова. Например, говорят: «стадо коров», «букет цветов», «команда футболистов» и т. д.
В математике в целях единообразия для обозначения совокупностей употребляется единый термин — множество. Например, говорят: множество чётных чисел, множество двузначных чисел, множество правильных дробей со знаменателем 5.
Термин «множество» употребляется и тогда, когда речь идёт о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек координатной плоскости, о множестве прямых, проходящих через данную точку.
Объекты или предметы, составляющие множество, называют элементами множества. Например, число 89 — элемент мнoжества двузначных чисел; точка В — элемент мнoжества вершин многоугольника ABCDE.
Множeства бывают конечные и бесконечные. Например, множество двузначных чисел — конечное множество (оно содержит 90 элементов), а множество чётных чисел — бесконечное множество.
Конечное мнoжество может содержать миллиард элементов, 2 элемента, 1 элемент или даже не содержать ни одного элемента.
Пустое множeство — это мнoжество, не содержащее ни одного элемента. Для обозначения пустого мнoжества ввели специальный знак ∅.
Конечные множeства обычно записывают с помощью фигурных скобок. Например, множество вершин пятиугольника ABCDE можно записать так: , а множество двузначных чисел, кратных 15, так: . В таких случаях говорят, что множество задано перечислением его элементов.
Множeства принято обозначать большими буквами латинского алфавита. Например, рассмотренные выше множества вершин пятиугольника и двузначных чисел, кратных 15, можно обозначить соответственно буквами К и L и записать так: К = <А, В, С, D, Е>; L = <15, 30, 45, 60, 75, 90>.
Для основных числовых множеств введены специальные обозначения: множество натуральных чисел обозначают буквой N (от латинского слова natural — «естественный»), множество целых чисел — буквой Z (от немецкого слова zahl — «число»), множество рациональных чисел — буквой Q (от латинского слова quotient — «отношение»).
Число -8 является элементом мнoжества Z. Иначе говорят, что число -8 принадлежит множеству Z. Это предложение записывают короче: -8 ∈ Z. Число 0,17 не принадлежит множеству N (не является элементом множества N). Для выражения этого факта принята следующая запись: 0,17 ∉ N.
В тех случаях, когда задание множества перечислением элементов невозможно (как для бесконечного множества) или громоздко (как для конечного мнoжества с большим числом элементов), множество задают описанием, указав его характеристическое свойство, т. е. свойство, которым обладают все элементы этого множeства и не обладают никакие другие объекты.
Зададим с помощью описания некоторые мнoжества. Пусть А = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14>. Зададим это множество описанием, используя понятие характеристического свойства. Множeство А можно охарактеризовать как «множество всех натуральных чисел от 1 до 14 включительно», или как «множество всех натуральных чисел, меньших 15», или, используя знаки ∈ ,
Это конспект по математике на тему «Множества. Операции над множествами». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
- Вернуться к списку конспектов по Математике.
- Проверить знания по Математике.
§ 1. Множества и операции над ними
§1. Множества и операции над ними
Объяснение и обоснование
- Понятие множества. Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д.
В курсах алгебры и алгебры и начал математического анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.
Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: М = <1; 2; 3>. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества М), записывается с помощью специального значка ∈ следующим образом: 2 ∈ М; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: 5 ∉ М.
Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.
Например: множество простых делителей числа 1 — пустое множество.
Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом ∅, множество всех натуральных чисел — буквой N, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q, а множество всех действительных чисел — буквой R.
Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества А = <7>и M = <1; 2; 3>— конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества N, Z, Q, R — бесконечные.
Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило (характеристическое свойство), которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, А = <–1; 0; 1>(множество задано перечислением элементов), B — множество всех четных целых чисел (множество задано характеристическим свойством всех элементов множества). Последнее множество иногда записывают так: B = или так: B =
В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: A =
- Равенство множеств. Пусть А — множество всех цифр трехзначного числа 312, то есть A = <3; 1; 2>, а B — множество всех натуральных чисел, меньших четырех, то есть B = <1; 2; 3>. Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: A = B. Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.
Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.
Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, <1; 2; 2>= <1; 2>, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.
- Подмножество
Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B.
Это записывают следующим образом: A ⊂ B.
Например, <1; 2>⊂ <0; 1; 2; 3>, N ⊂ Z (поскольку любое натуральное число — целое), Z ⊂ Q (поскольку любое целое число — рациональное), Q ⊂ R (поскольку любое рациональное число — действительное).
Полагают, что всегда ∅ ⊆ A, то есть пустое множество является подмножеством любого множества.
Иногда вместо записи A ⊂ B используется также запись A ⊆ B.
Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества А и В равны, то: 1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество В (A ⊆ B); 2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество А (B ⊆ A). Таким образом,
два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого.
Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера–Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами N, Z, Q, R.
Теория множеств: основы и базовые операции над множествами
Мы знаем довольно много о структурах данных, понимаем их устройство, разбираемся, какие структуры работают быстро и помогают решать конкретные задачи. Но эти знания бесполезны, если мы не понимаем, как это использовать в реальной жизни. Это похоже на изучение геометрии в школе. Вы долго считаете предмет бесполезным, пока однажды не появляется необходимость рассчитать площадь пола, чтобы заказать новое ковровое покрытие. Впрочем, пользу геометрии можно почувствовать, даже если вы никогда не считали площадь пола в комнате самостоятельно.
Сегодня поговорим о структуре данных, которая в теории очень догматична, а на практике очень популярна. На самом деле вы так или иначе уже сталкивались с этой структурой, а также слышали о ней на уроках математики в школе. Вы уже догадались, что речь идёт о множествах.
Теория множеств без страха
Прежде чем разбирать устройство множеств, давайте поймём, откуда они появляются. То есть давайте сразу погрузимся в теорию — да-да, в теорию множеств! Не бойтесь сложностей — высока вероятность того, что вы уже так или иначе использовали эту теорию. Возможно, вы сталкивались с теорией множеств, когда проходили в школе диаграмму Венна. Диаграмму Венна включили в программу изучения множеств, так как она хорошо иллюстрирует отношения подмножеств.
Мы выяснили, что теория множеств не должна никого пугать. Теперь пришло время разобраться, что это за теория на самом деле. Множество — математическая концепция. Теорией множеств описывают отношения множеств.
Множество — ни что иное, как неупорядоченная коллекция, в которой нет дублирующихся элементов.
В этом определении есть три важных слова: «неупорядоченная», «дублирующихся» и «элементов». Эти слова точно передают суть и устройство множества. Если мы это запомним, то будем знать основную информацию о том, как работает эта структура данных.
Нужно понять, почему это важно. Для начала давайте посмотрим на множества в действии. Как сказано выше, отношения множеств удачно иллюстрирует диаграмма Венна. Давайте взглянем на два множества: книги, которые есть у человека дома, и книги, которые этот человек прочитал.
Если вы знакомы с диаграммой Венна, то понимаете, что в центре в зелёном круге находятся книги, которыми человек владеет, и которые он прочитал. Здесь множества пересекаются. Также вы понимаете, что два множества — прочитанные человеком книги и книги, которые есть у человека — существуют внутри другого множества. Это все существующие в мире книги.
Диаграмма Венна — хорошая база для понимания теории множеств, так как с её помощью легче понять более сложные вещи. Допустим, вы хотите представить два множества книг в какой-то структуре данных. Вы уже знаете, что книги надо разделить на два множества: которые человек прочитал и которые есть у него дома. Для удобства назовём первое множество Set X, а второе Set Y. Эти множества после реконфигурации в структуры данных можно представить с помощью диаграммы Венна.
Можно заметить, что множества Set X и Set Y стали похожи на объекты или хэши: элементы внутри них не имеют индексов или других элементов, позволяющих их упорядочить. В них также нет повторяющихся элементов, что делает эти структуры данных множествами. Как вы уже знаете, множество — это коллекция неупорядоченных элементов, которые не повторяются.
Начните изучать разработку с бесплатного курса «Основы современной вёрстки». Вы научитесь создавать статические веб-страницы, стилизовать элементы, использовать редакторы кода с полезными расширениями. В конце курса вы опубликуете свой первый сайт на GitHub Pages.
Об операциях с множествами без боли
Какие возможности открывает представление множеств в формате структур данных? С ними теперь можно выполнять разные операции. Две самые важные операции, которые выполняются над множествами — это пересечение и объединение.
Пересечение множеств часто записывается с помощью такой нотации: X ∩ Y. Пересечение определяет, где два множества пересекаются. Другими словами, эта операция возвращает все элементы, которые входят в два множества. В нашем примере пересечение Set X и Set Y возвращает все книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Хороший ключ к пониманию пересечения — ключевое слово «и». Мы получаем книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Несмотря на то, что полученные с помощью пересечения книги существуют в двух множествах, мы не повторяем их, так как в множестве могут быть только уникальные элементы.
Объединение двух множеств обозначается так: X ∪ Y. Объединение возвращает общность двух множеств или объединённое множество. Иными словами, с помощью объединения множеств можно получить новое множество элементов, которые существуют хотя бы в одном исходном множестве. В нашем случае объединение вернёт все книги, которые человек читал, а также все книги, которые есть у него дома. Обратите внимание, если книга входит одновременно в Set X и Set Y, она не может дублироваться в новом множестве после объединения, так как в множества входят только уникальные элементы.
С помощью диаграммы Венна пересечение и объединение можно представить так:
Теперь давайте рассмотрим более сложные вещи. Объединение и пересечение — важные операции над множествами, но это только азы теории. Нам надо познакомиться с другими операциями, чтобы решать более серьёзные задачи. Важно понимать разность множеств и относительные дополнения множеств. Ниже мы разберём, почему это важные операции, но сначала нужно понять, как они работают.
Как понятно из названия, разность множеств определяет разницу между множествами. Иными словами, мы определяем, какие элементы останутся в множестве X, если удалить из него все элементы, которые содержатся в множестве Y. Это действие можно обозначить так: X — Y. В примере на иллюстрации ниже разница между множеством X и множеством Y — это элементы, которые существуют в Set X, но не существуют в Set Y. Они обозначены буквами C, Z и W.
Относительное дополнение — противоположность разности множеств. Например, относительное дополнение Y по сравнению с X возвращает все элементы множества Y, которые не входят в множество X. Относительное дополнение можно обозначить так: X Y. Относительное дополнение X Y фактически возвращает такой же набор элементов, как разность Y — X. В нашем примере множество Y меньше множества X. Единственный элемент, который входит в Set Y, но не входит в Set X — число 2.
По сути, мы просто вычитаем множество X из множества Y и отвечаем на вопрос: что существует в Y, чего нет в X?
Вы могли заметить, что в части примеров мы имеем дело со строками, в другой части в качестве элементов выступают буквы и числа. Здесь надо подчеркнуть важный момент: множество может включать любой тип элементов или объектов. Вы можете рассматривать множества как хэши: они включают любые сущности, если те встречаются во множестве только один раз.
Теперь давайте рассмотрим ещё одну операцию, она самая сложная из всех. Но не пугайтесь, с ней тоже можно разобраться.
В некоторых случаях требуется найти противоположность пересечению множеств. Иными словами, речь идёт о книгах, которые есть у человека, и книгах, которые он прочитал, но которые не входят одновременно в оба множества. Как назвать это подмножество? И как найти его?
Правильное название для этого кейса — симметрическая разность множеств. Также употребляют термины «дизъюнктивное объединение» и «несвязное объединение». Симметрическая разность возвращает все элементы, которые входят в одно из множеств, но не входят в пересечение этих множеств. Пример на иллюстрации поможет разобраться с дизъюнктивным объединением.
В примере выше симметрическая разность похожа на поиск относительного дополнения множества X и множества Y. Если подходить к этому с позиции математики, поиск симметричной разницы — то же самое, что и объединение относительных дополнений множества X и множества Y. Эту операцию можно записать так: X △ Y= (X ∖ Y) ∪ (Y ∖ X).
Но не дайте сбить себя с толку!
Всё, что нужно для поиска симметрической разности — найти элементы, которые есть в множестве X, но отсутствуют в множестве Y, и какие элементы есть в множестве Y, но отсутствуют в множестве X. Иными словами, надо найти уникальные элементы в каждом множестве.
В примере выше числа 1, 2 и 3 входят в множества X и Y одновременно. А буквы A, B, C, X, Y, Z входят только в множества X или Y. Поэтому они представляют симметрическую разность множеств X и Y.
Мы рассмотрели теоретические вопросы. Теперь можно посмотреть, как теория множеств работает на практике.
Множества вокруг нас
К этому моменту вы наверняка задумались, зачем надо изучать теорию множеств. Это хороший вопрос, и пришло время ответить на него.
Уже догадались? Множества повсюду. Это структуры данных, которые мы можем использовать при работе с разными языками программирования, например, Python, Java, Ruby, JavaScript и так далее. Если вы знакомы с этими или другими языками программирования, то уже вспомнили методы, которые позволяют работать с множествами.
Вот пример на JavaScript.
Очевидно, что имена методов могут меняться в зависимости от языка. Например, метод has из примера выше в Ruby называется include?, но эти методы работают практически одинаково. А в Python при работе с множествами можно использовать методы intersection, union и symmetric_difference.
Но в чём именно польза множеств? Понятно, что с ними можно работать в разных языках программирования, но зачем это нужно на практике?
Один из моментов — множества могут сэкономить вам много времени. Помните все эти сложные операции — intersection, union, difference? Уже догадались? Продолжительность выполнения этих операций зависит от размера множеств. Это связано с тем, что для выполнения операций нам надо обойти все элементы множества. Обычно даже гигантские множества можно обойти достаточно быстро.
Но как насчёт основных операций? Как насчёт добавления элементов в одно из множеств, удаления элементов, поиска конкретного элемента в множестве? Все эти операции выполняются за константное время или 0(1). Это очень мощный инструмент, и это значит, что множества могут быть даже более удобной структурой данных, чем словарь или хэш.
Но подождите, почему все операции с множествами выполняются так быстро? Как это возможно? Как оказалось, под капотом множества представляют собой хэши. Теперь вся информация собирается воедино. С хэш-таблицами знакомо большинство программистов, но почему с их помощью так удобно реализовывать множества?
Это возможно благодаря нескольким факторам. Первый: в хэш-таблицах каждый элемент всегда имеет уникальный индекс. Это очень хорошо с точки зрения реализации множеств, так как множества могут включать только уникальные элементы. Второй фактор: в хэш-таблицах порядок элементов не имеет значения. В множествах порядок элементов тоже не имеет значения. Наконец, хэш-таблицы обеспечивют константное время доступа 0(1). Это идеально для выполнения базовых операций с множествами.
Заключение
Теория множеств используется в разных областях computer science. Это важная для программистов концепция, понимание которой помогает разработчикам эффективно работать с данными.
Адаптированный перевод статьи Set Theory: the Method To Database Madness by Vaidehi Joshi.
Никогда не останавливайтесь: В программировании говорят, что нужно постоянно учиться даже для того, чтобы просто находиться на месте. Развивайтесь с нами — на Хекслете есть сотни курсов по разработке на разных языках и технологиях.
С нуля до разработчика. Возвращаем деньги, если не удалось найти работу.
Обозначение, запись и изображение числовых множеств
Из большого количества разнообразных множеств особо интересными и важными являются числовые множества, т.е. те множества, элементами которых служат числа. Очевидно, что для работы с числовыми множествами необходимо иметь навык записи их, а также изображения их на координатной прямой.
Запись числовых множеств
Общепринятым обозначением любых множеств являются заглавные буквы латиницы. Числовые множества – не исключение. К примеру, мы можем говорить о числовых множествах B , F или S и т.п. Однако есть также общепринятая маркировка числовых множеств в зависимости от входящих в него элементов:
N – множество всех натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел.
Становится понятным, что обозначение, например, множества, состоящего из двух чисел: – 3 , 8 буквой J может ввести в заблуждение, поскольку этой буквой маркируется множество иррациональных чисел. Поэтому для обозначения множества – 3 , 8 более подходящим будет использование какой-то нейтральной буквы: A или B , например.
Напомним также следующие обозначения:
- ∅ – пустое множество или множество, не имеющее составных элементов;
- ∈ или ∉ – знак принадлежности или непринадлежности элемента множеству. Например, запись 5 ∈ N обозначает, что число 5 является частью множества всех натуральных чисел. Запись – 7 , 1 ∈ Z отражает тот факт, что число – 7 , 1 не является элементом множества Z , т.к. Z – множество целых чисел;
- знаки принадлежности множества множеству:
⊂ или ⊃ – знаки «включено» или «включает» соответственно. Например, запись A ⊂ Z означает, что все элементы множества А входят в множество Z , т.е. числовое множество A включено в множество Z . Или наоборот, запись Z ⊃ A пояснит, что множество всех целых чисел Z включает множество A .
⊆ или ⊇ – знаки так называемого нестрогого включения. Означают «включено или совпадает» и «включает или совпадает» соответственно.
Рассмотрим теперь схему описания числовых множеств на примере основных стандартных случаев, наиболее часто используемых на практике.
Первыми рассмотрим числовые множества, содержащие конечное и небольшое количество элементов. Описание подобного множества удобно составлять, просто перечисляя все его элементы. Элементы в виде чисел записываются, разделяясь запятой, и заключаются в фигурные скобки (что соответствует общим правилам описания множеств). К примеру, множество из чисел 8 , – 17 , 0 , 15 запишем как < 8 , - 17 , 0 , 15 >.
Случается, что количество элементов множества достаточно велико, но все они подчиняются определенной закономерности: тогда в описании множества используют многоточие. К примеру, множество всех четных чисел от 2 до 88 запишем как: < 2 , 4 , 6 , 8 , … , 88 >.
Теперь поговорим об описании числовых множеств, в которых количество элементов бесконечно. Иногда их описывают при помощи того же многоточия. Например, множество всех натуральных чисел запишем так: N = < 1 , 2 , 3 , … >.
Также возможно записать числовое множество с бесконечным количеством элементов при помощи указания свойств его элементов. Применяют при этом обозначение < х | свойства >. К примеру, < n | 8 · n + 3 , n ∈ N >определяет множество натуральных чисел, которые при делении на 8 дадут остаток 3 . Это же множество возможно записать как: < 11 , 19 , 27 , … >.
В частных случаях числовые множества с бесконечным количеством элементов – это общеизвестные множества N , Z , R и т.д., либо числовые промежутки. Но в основном числовые множества представляют собой объединение составляющих их числовых промежутков и числовых множеств с конечным количеством элементов (о них мы говорили в самом начале статьи).
Рассмотрим на примере. Допустим, составляющими некого числового множества являются числа – 15 , – 8 , – 7 , 34 , 0 , а также все числа отрезка [ – 6 , – 1 , 2 ] и числа открытого числового луча ( 6 , + ∞ ) . В соответствии с определением объединения множеств заданное числовое множество запишем как: < - 15 , - 8 , - 7 , 34 >∪ [ – 6 , – 1 , 2 ] ∪ < 0 >∪ ( 6 , + ∞ ) . Подобная запись фактически означает множество, включающее в себя все элементы множеств < - 15 , - 8 , - 7 , 34 , 0 >, [ – 6 , – 1 , 2 ] и ( 6 , + ∞ ) .
Таким же образом, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, возможно дать описание любому числовому множеству, состоящему из действительных чисел. На основе сказанного становится понятно, для чего вводятся различные виды числовых промежутков, такие как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч. Все эти виды промежутков совместно с обозначениями множеств отдельных чисел дают возможность через их объединение описать любое числовое множество.
Необходимо также обратить внимание на то, что отдельные числа и числовые промежутки при записи множества могут быть упорядочены по возрастанию. В общем, это не является обязательным требованием, однако подобное упорядочивание позволяет представить числовое множество проще, а также верно отобразить его на координатной прямой. Также стоит уточнить, что в таких записях не применяют числовые промежутки с общими элементами, поскольку эти записи возможно заменить объединением числовых промежутков, исключив общие элементы. К примеру, объединением числовых множеств с общими элементами [ – 15 , 0 ] и ( – 6 , 4 ) будет полуинтервал [ – 15 , 4 ) . То же имеет отношение и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами. Например, объединение ( 4 , 7 ] ∪ ( 7 , 9 ] является множеством ( 4 , 9 ] . Этот пункт подробно будет рассмотрен в теме нахождения пересечения и объединения числовых множеств.
Изображение числовых множеств на координатной прямой
В практических примерах удобно использовать геометрическое толкование числовых множеств – их изображение на координатной прямой. К примеру, такой способ поможет при решении неравенств, в которых нужно учесть ОДЗ – когда нужно отобразить числовые множества, чтобы определить их объединение и/или пересечение.
Мы знаем, что между точками координатной прямой и действительными числами имеется однозначное соответствие: вся координатная прямая есть геометрическая модель множества всех действительных чисел R . Следовательно, для изображения множества всех действительных чисел начертим координатную прямую и нанесем штриховку на всем ее протяжении:
Зачастую и не указывают начало отсчета и единичный отрезок:
Рассмотрим изображение числовых множеств, состоящих из конечного количества отдельных чисел. К примеру, отобразим числовое множество < - 2 , - 0 , 5 , 1 , 2 >. Геометрической моделью заданного множества станут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:
В большинстве случаев возможно не соблюдать абсолютную точность чертежа: вполне достаточно схематичного изображения без соблюдения масштаба, но с сохранением взаимного расположения точек относительно друг друга, т.е. любая точка с бОльшей координатой должна быть правее точки с меньшей. С учётом сказанного уже имеющийся чертеж может выглядеть так:
Отдельно из возможных числовых множеств выделяют числовые промежутки интервалы, полуинтервалы, лучи и пр.)
Теперь рассмотрим принцип изображения числовых множеств, являющихся объединением нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих их отдельных чисел. В этом нет никакой сложности: согласно определению объединения на координатной прямой необходимо отобразить все составляющие множества заданного числового множества. Например, создадим иллюстрацию числового множества ( – ∞ , – 15 ) ∪ < - 10 >∪ [ – 3 , 1 ) ∪ < log 2 5 , 5 >∪ ( 17 , + ∞ ) .
Также довольно распространены случаи, когда числовое множество, которое необходимо изобразить, включает в себя все множество действительных чисел кроме одной или нескольких точек. Подобные множества часто задаются условиями вроде х ≠ 5 или х ≠ – 1 и т.п. В таких случаях множества в своей геометрической модели являются всей координатной прямой за исключением заданных точек. Общепринято говорить, что эти точки необходимо «выколоть» из координатной прямой. Изображается выколотая точка кружочком с пустым центром. Чтобы подкрепить сказанное практическим примером, отобразим на координатной прямой множество с заданным условием х ≠ – 2 и х ≠ 3 :
Информация, приведенная в данной статье, призвана помочь получить навык видеть запись и изображение числовых множеств так же легко, как и отдельных числовых промежутков. В идеале записанное числовое множество сразу должно представляться в виде геометрического образа на координатной прямой. И наоборот: по изображению должно с легкостью формироваться соответствующее числовое множество через объединение числовых промежутков и множеств, являющихся отдельными числами.
Множество – обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры
Рассмотрение системы как совокупности элементов дает возможность привлечь для ее математического описания аппарат теории множеств. При этом в ряде важных случаев связи между элементами удобно описываются с помощью аппарата математической логики.
Понятие множества — является одним из тех фундаментальных понятий математики, которым трудно дать точное определение, используя элементарные понятия. Поэтому ограничимся описательным объяснением понятия множества.
Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества — «множество есть многое, мыслимое нами как целое».
Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.
Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы этих множеств — маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках < >.
Принято использовать следующие обозначения:
- a ∈ X — «элемент a принадлежит множеству X»;
- a ∉ X — «элемент a не принадлежит множеству X»;
- ∀ — квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не был», «для всех»;
- ∃ — квантор существования: ∃y ∈ B — «существует (найдется) элемент y из множества B»;
- ∃! — квантор существования и единственности: ∃!b ∈ C — «существует единственный элемент b из множества C»;
- : — «такой, что; обладающий свойством»;
- → — символ следствия, означает «влечет за собой»;
- ⇔ — квантор эквивалентности, равносильности — «тогда и только тогда».
Множества бывают конечные и бесконечные. Множества называются конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А=
Число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|. Пустоемножество — множество, не содержащее ни одного элемента — ∅. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:
- Х=Х; — рефлексивность
- если Х=Y, Y=X — симметричность
- если X=Y,Y=Z, то X=Z — транзитивность.
Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.
Подмножества. Отношение включения.
Множество Х является подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х ∈ и множеству Y. Обозначается X⊆Y.
Если необходимо подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используют символ строгого включения ⊂: X⊂Y. Связь между символами ⊂ и ⊆ дается выражением:
Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из определения:
- X⊆Х (рефлексивность);
- [X⊆Y и Y⊆Z] → X⊆Z (транзитивность);
- ∅ ⊆ M. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Исходное множество А по отношению к его подмножествам называется полным множеством и обозначается I.
Любое подмножество Аi множества А называется собственным множеством А.
Множество, состоящие из всех подмножеств данного множества Х и пустого множества ∅, называется булеаном Х и обозначается β(Х). Мощность булеана |β(Х)|=2 n .
Счетное множество — это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в последовательность (м.б. бесконечную) а1, а2, а3, . аn, . так, чтобы при этом каждый элемент получил ишь один номер n и каждое натуральное число n было бы в качестве номера дано одному и лишь одному элементу нашего множества.
Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.
Пример. Множество квадратов целых чисел 1, 4, 9, . n 2 представляет собой лишь подмножество множества натуральных чисел N. Множество является счетным, так как приводится во взаимно однозначные соответствия с натуральным рядом путем приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.
Существует 2 основных способа задания множеств.
- перечислением (X=
- описанием — указывается характерное свойства , которым обладают все элементы множества.
Множество полностью определено своими элементами.
Перечислением можно задать только конечные множества (например, множество месяцев в году). Бесконечные множества можно задать только описанием свойств его элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием Q=
Способы задания множества описанием:
а) заданием порождающей процедуры с указанием множества (множеств), которое пробегает параметр (параметры) этой процедуры — рекурсивный, индуктивный.
б) заданием вычислительной процедуры формульной зависимости:
в) заданием характеристического свойства (высказывания), выделяющего элементы данного множества из элементов других множеств — предикатный.
А=
K=
X=
г) заданием с помощью операций над множествами — аналитический.
Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из его определения:
Если X⊆Y и Y⊆X → X=Y
Для любого множества само это множество и ∅ можно рассматривать как его подмножества, называемые несобственными. Все другие подмножества — собственные.
