Иррациональные уравнения определение, методы решения, алгоритмы нахождения корней, примеры с подробным решением, онлайн-калькулятор

Универсальный математический калькулятор

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам.

Также универсальный калькулятор умеет производить действия со скобками, дробями, тригонометрическими функциями, возведение в любую степень и многое другое (смотрите примеры ниже).

Онлайн калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов, дробей и пр.

Разделитель системы уравнений

Натуральный логарифм и предел:

Пояснения к калькулятору

  1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵ .
  2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и → .
  3. ⌫ – удалить в поле ввода символ слева от курсора.
  4. C – очистить поле ввода.
  5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
  6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½ , ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
  7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками a b и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей → .

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. Результат выводится в нескольких вариантах упрощения/разложения/раскрытия скобок и пр.

Решение уравнений и неравенств

Математический калькулятор может решать уравнения и неравентства относительно переменной “x”. Если есть необходимость найти другую переменную, например “y”, то следует просто поменять их местами в выражении. Ввод переменных “x”,”y”,”z” производится в группе xyz нажатием соответствующих кнопок x , y , z .

Примеры решений уравнений и неравенств:

Решение систем уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ; .

Примеры вычислений систем уравнений и неравенств:

Вычисление выражений с логарифмами

В калькуляторе кнопкой loge(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием “e”: loge(x) – это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$log_a left(bright) = frac$$ Например, $$log_ <3>left(5x-1right) = frac$$

Примеры решений выражений с логарифмами:

Вычисление пределов функций

Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim .

Примеры решений пределов:

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
∫ f(x) – для неопределенного интеграла;
b a∫ f(x) – для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Примеры вычислений интегралов:

Вычисление производных

Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке “x”. Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
f'(x) – производная первого порядка;
f”(x) – производная второго порядка;
f”'(x) – производная третьего порядка.
f n (x) – производная любого n-о порядка.

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом “i” и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

Иррациональные уравнения (ЕГЭ 2022)

Знаешь, за что, согласно легендам, убили одного древнего математика-философа по имени Гиппас?

За то, что он открыл иррациональные числа! А другие философы сочли, что такое открытие нарушает «идеальность» окружающей нас природы.

Сегодня ты узнаешь, что такое иррациональность, как решать иррациональные уравнения и почему нам не следует бояться их, как это делали древние математики!

Иррациональные уравнения — коротко о главном

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Для того, чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

  • Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его);
  • Повторять эту процедуру, пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
  • Решить получившееся рациональное уравнение;
  • Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Что такое иррациональные уравнения?

Не секрет же, что большинство чисел можно представить в виде обыкновенной дроби с натуральными числами в числителе и знаменателе?

Например, число 7 – это (frac<21><3>)

Иррациональные числа не такие. Их невозможно представить в виде дроби. Они странные.

Читайте также:
Объем цилиндра определение, формулы расчета через диаметр и площадь

Гиппас создал античным математикам множество проблем: их теории о том, что все в мире соизмеримо целым числам, рушились одна за другой. И они боялись.

Но мы будем смелыми

Сначала разберемся, что такое рациональные уравнения, а потом научимся находить решение иррациональных уравнений.

Итак, что из себя представляют рациональные уравнения, а что – иррациональные:

  • ( 3cdot (x+1)=x) – как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!
  • ( 3cdot (x+1)=sqrt) – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);
  • ( 3cdot (x+1)=frac<1>) – а это – рациональное;
  • ( 3cdot (x+1)=<^<2>>) – тут вот степень, но она с целым показателем степени (( 2)– целое число) – значит, это тоже рациональное уравнение;
  • ( 3cdot (x+1)=<^<-1>>) – даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь, по сути, ( <^<-1>>) – это ( frac<1>);
  • ( 3cdot (x+1)=<^<0>>) – тоже рациональное, т.к. ( <^<0>>=1);
  • ( 3cdot (x+1)=<^<2>>>) – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней ( <^<2>>>=sqrt), как ты помнишь, корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различить, к какому виду относится то или иное уравнение.

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так?

Так избавься от них, вот и все дела!

Если еще не догадался, как, то я подскажу: просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение.

Но проверяй все корни! Позже ты поймешь, почему делать это необходимо.

Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать «Рациональные уравнения».

Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего алгоритма:

Алгоритм решения рациональных уравнений

  • Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  • Определить ОДЗ;
  • Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  • Решить получившееся целое уравнение;
  • Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Вроде все объяснил, давай решать, математика слов не любит.

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Как решать иррациональные уравнения. Примеры.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 – 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x1 = -2 – истинно:
При x2 = -2– истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x – 90;

x9;

б) 1 – x0;

-x-1 ;

x1.

ОДЗ данного уранения: x.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение=+ 2.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x – 1 – 8= x 3 – 1 + 4+ 4x;
=0;
x1=1; x2=0.
Произведя проверку устанавливаем, что x2=0 лишний корень.
Ответ: x1=1.

Пример 4. Решить уравнение x =.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:

x1 =

x2 =

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Ответ:

Пример 5 . Решить уравнение+= 7.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 – х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 – 15x + 44 =0.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x1 = 4, х2 = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения= 12, пишут уравнение = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение= 3.

Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x 2 + 5x + 2 = x 2 – 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

4x – 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 – 40x + 25 = 9(x 2 – Зх + 3), или

7x 2 – 13x – 2 = 0.

Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x2 =– не удовлетворяет.

Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 7. Решить уравнение 2x 2 – 6x ++ 2 = 0.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y =, где y0, тогда получим уравнение 2y 2 + y – 10 = 0;
y1 = 2; y2 = –. Второй корень не удовлетворяет условию y0.
Возвращаемся к x:
= 2;
x 2 – 3x + 6 = 4;
x 2 -3x + 2 = 0;
x1 = 1; x2 = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями иисходного уравнения.
Ответ: x1 = 1; x2 = 2.

Пример 8. Решить уравнение+=

Положим= t, Тогда уравнение примет вид t +=откуда получаем следствие: 2t 2 – 5t + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня: t1 = 2 t2 =. Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:
= 2,(*)=(**)

Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 – 2x = 8x – 8; x1 = 2.

Аналогично, решив (**), находим x2 =.

Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)][f n (x) = g n (x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

Ответ: х1 = 2, x2 =.

Иррациональные уравнения (со знаком корня)

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную (x) под знаком корня любой степени.

Стандартное иррациональное уравнение:

(blacktriangleright) Если (n) – четное, то данное уравнение имеет решения только при (g(x)geqslant 0) и (f(x)geqslant 0) ввиду определения корня четной степени. Значит:

(условие (f(x)geqslant 0) автоматически выполняется в данной системе)

(blacktriangleright) Если (n) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых (f(x)) и (g(x)) . Значит:

Найдите корень уравнения (sqrt = 6) .

ОДЗ: (x geq -12) . Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: (x + 12 = 36) , что равносильно (x = 24) .

Подставим в исходное уравнение: (sqrt <24 + 12>= 6) – верное равенство, таким образом, ответ (x = 24) .

Найдите корень уравнения (sqrt <4x + 5>= 6) .

ОДЗ: (4x + 5 geq 0) , что равносильно (x geq -1,25) . Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: (4x + 5 = 36) , что равносильно (x = 7,75) .

Подставим в исходное уравнение: (sqrt <4 cdot 7,75 + 5>= 6) – верное равенство, таким образом, ответ (x = 7,75) .

Найдите корень уравнения (sqrt <6 - x>= 3) .

ОДЗ: (6 – x geq 0) , что равносильно (x leq 6) . Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: (6 – x = 9) , что равносильно (x = -3) .

Подставим в исходное уравнение: (sqrt <6 - (-3)>= 9) – верное равенство, таким образом, ответ (x = -3) .

Найдите корень уравнения (sqrt<5>> = dfrac<2><5>) .

ОДЗ: (dfrac<2x - 9> <5>geq 0) , что равносильно (x geq 4,5) . Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: [dfrac<2x - 9> <5>= dfrac<4><25>qquadLeftrightarrowqquad 2x – 9 = dfrac<4><5>qquadLeftrightarrowqquad x = 4,9.] Подставим в исходное уравнение: [sqrt<5>> = dfrac<2><5>] – верное равенство, таким образом, ответ (x = 4,9) .

Найдите корень уравнения (sqrt<10>> = dfrac<4><25>) .

ОДЗ: (dfrac<13 - 2x> <10>geq 0) , что равносильно (x leq 6,5) . Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: [dfrac<13 - 2x> <10>= dfrac<16><625>qquadLeftrightarrowqquad 13 – 2x = dfrac<256><1000>qquadLeftrightarrowqquad x = 6,372.] Подставим в исходное уравнение: [sqrt<10>> = dfrac<4><25>] – верное равенство, таким образом, ответ (x = 6,372) .

Найдите корень уравнения [sqrt<2x+31>=9]

ОДЗ уравнения: (2x+31geqslant 0) . Так как правая часть уравнения неотрицательна, то данное уравнение имеет решения и преобразуется в: [2x+31=81quadRightarrowquad x=25] Данный корень подходит под ОДЗ.

ОДЗ: (dfrac <6>geq 0) , что равносильно (x geq -23) . Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: [dfrac <6>= dfrac<25><3>qquadLeftrightarrowqquad x + 23 = 50qquadLeftrightarrowqquad x = 27.] Подставим в исходное уравнение: [sqrt<6>> = dfrac<5>>] – верное равенство, таким образом, ответ (x = 27) .

При подготовке к ЕГЭ по математике у многих выпускников вызывает трудности решение иррациональных уравнений и неравенств. Вывод переменных из-под знака корня и возведение в степени часто сопровождаются ошибками в вычислениях, поэтому стоит обратить внимание на подобные задания. Мы предлагаем школьникам изучить теоретические материалы, рассмотреть типовые примеры с решениями иррациональных уравнений. Также ученики могут попробовать свои силы в выполнении более сложных задач с неизвестными.

Подготовка к ЕГЭ по математике со «Школково» — залог успеха!

Чтобы легко решать иррациональные уравнения со знаком корня, советуем регулярно заниматься на нашем портале. С помощью «Школково» вы сможете получить всю необходимую теоретическую информацию по теме, а также попрактиковаться в решении типовых задач, которые обязательно будут включены в итоговое тестирование.

Наши преподаватели собрали все полезные материалы, систематизировали и изложили их таким образом, чтобы школьникам было проще вспомнить и усвоить информацию даже по сложным темам. База постоянно обновляется и дополняется новыми упражнениями, поэтому выпускники будут получать и решать задания без повторений.

Мы предлагаем начать с легких уравнений и постепенно переходить к более сложным. Так ученикам проще определить свои слабые стороны и сделать упор на те темы, которые даются сложнее всего.

Если простые примеры не вызывают трудностей, пропускайте несколько упражнений и переходите к уравнениям профильного уровня. При необходимости повторите правила и вернитесь к заданию.

Обратите внимание, что занятия на нашем портале доступны не только старшеклассникам из Москвы, но и учащимся из других городов России.

Иррациональные уравнения. Решение иррациональных уравнений.

Иррациональные уравнения – это один из видов уравнений, изучаемых на уроках математики в школе. Сейчас мы познакомимся с иррациональными уравнениями: узнаем определение иррациональных уравнений, рассмотрим примеры, взглянем на простейшие иррациональные уравнения. После этого переключимся на решение иррациональных уравнений: запишем универсальный алгоритм, изучим все методы решения иррациональных уравнений и детально разберем примеры решения иррациональных уравнений.

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения – это… Определение

Иррациональные уравнения – это уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Приведенное определение объективно является самым простым, понятным и удобным определением иррационального уравнения. Оно позволяет по одному взгляду на уравнение определить, является оно иррациональным уравнением или нет: для этого нужно лишь посмотреть, есть переменная под знаком корня или нет.

Необходимо заметить, что в некоторых учебниках алгебры и начал анализа иррациональные уравнения определяются немного иначе. В одних книгах уточняется вид выражений, которые могут находиться под знаками корней, в других – к иррациональным уравнениям причисляют уравнения с переменной, находящейся в основании степени с дробным рациональным показателем. Эти нюансы раскрыты в материале что такое иррациональные уравнения. Там же упомянуто про иррациональные уравнения с несколькими переменными и про иррациональные уравнения с параметром.

Примеры иррациональных уравнений

Запишем несколько иррациональных уравнений, отвечающих определению из предыдущего пункта:

Во всех записанных уравнениях есть переменная под знаком корня, значит, это иррациональные уравнения.

Простейшие иррациональные уравнения

В некоторых задачниках можно встретить словосочетание «простейшие иррациональные уравнения». Обычно под простейшими иррациональными уравнениями понимают иррациональные уравнения, которые можно описать формулой или более общей формулой , где f(x) и g(x) – некоторые рациональные выражения, часто многочлены, причем низких степеней, первой или второй. Вот примеры простейших иррациональных уравнений: , и т.п. За более полной информацией обращайтесь к статье что такое простейшие иррациональные уравнения.

Решение иррациональных уравнений

Алгоритм решения иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений проводится в соответствии с универсальным алгоритмом решения иррациональных уравнений. Чтобы решить иррациональное уравнение, надо:

  1. Выбрать подходящий метод решения
  2. Провести решение.

Методы решения иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений упирается в

  • знание методов решения иррациональных уравнений,
  • умение выбирать подходящий метод в каждом конкретном случае
  • и в умение проводить решение иррационального уравнения выбранным методом.

Сейчас мы перечислим и разберем все основные методы решения иррациональных уравнений, после этого дадим рекомендации по выбору метода.

Из представленной таблицы видно, что для решения иррациональных уравнений используются практически все известные методы решения уравнений. Давайте уделим внимание каждому из них:

    Метод решения иррациональных уравнений по определению корня наиболее удобно использовать при решении иррациональных уравнений , в левых частях которых находятся корни, а в правых – числа. В частности, метод позволяет констатировать отсутствие решений в случае четного показателя корня и отрицательного числа в правой части. Например, иррациональное уравнение с квадратным корнем в левой части и отрицательным числом в правой части не имеет решений. В случае неотрицательного числа в правой части или нечетного показателя корня иррациональное уравнение по определению корня заменяется решением уравнения C n =f(x) . Так решение иррационального уравнения заменяется решением уравнения 2 2 =x 2 −5 , а от иррационального уравнения можно перейти к уравнению (−1) 3 =x+5 .

Метод решения иррациональных уравнений по определению корня применяется и для решения иррациональных уравнений , с корнем в левой части и некоторым выражением с переменной в правой части. В случае четных показателей корня решение иррационального уравнения по методу решения через определение корня заменяется решением системы , а в случае нечетных показателей корня решение уравнения заменяется решением уравнения g 2·k+1 (x)=f(x) . Например, иррациональное уравнение по определению корня можно заменить системой , а от иррационального уравнения перейти к уравнению (x+1) 3 =x 3 +4·x 2 +3·x−3 .

  • Самым характерным методом решения иррациональных уравнений является, пожалуй, метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень. Его целесообразно применять тогда, когда возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень позволяет избавиться от знаков корней. В этом свете первыми на ум приходят иррациональные уравнения с корнем в одной из частей и числом или выражением без знаков корней в другой части. Приведем пример: иррациональное уравнение по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат сводится к уравнению 1−5·x=(x−3) 2 , не содержащему знаков корней в записи. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень позволяет решать и многие другие иррациональные уравнения более сложного вида с двумя, тремя и большим количеством корней в записи, с корнями под корнями и т.д. Например, методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень могут быть решены следующие иррациональные уравнения: , , и т.п. При этом к возведению частей уравнения в степень приходится прибегать несколько раз и пользоваться дополнительным техническим приемом, называемым уединение радикала. Наконец, необходимо помнить, что при решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в четную степень (в квадрат, четвертую, шестую и так далее) необходимо проводить отсеивание посторонних корней.
  • Метод введения новой переменной широко применяется при решении иррациональных уравнений. Самым верным признаком того, что иррациональное уравнение может быть решено методом введения новой переменной является присутствие переменной только в составе одинаковых выражений. Например, в иррациональном уравнении переменная находится только в составе корней , значит, для решения целесообразно использовать метод введения новой переменной. Обязательно стоит изучить возможность введения новой переменной в случаях, когда в иррациональных уравнениях фигурируют корни с одинаковыми подкоренными выражениями, но разными показателями корня, корни из взаимно обратных выражений. Для наглядности приведем несколько характерных иррациональных уравнений: , .
  • Метод разложения на множители используется для решения иррациональных уравнений, в левой части которых находится произведение нескольких выражений с переменной, а в правой – нуль. Например, он подходит для решения иррационального уравнения . Это иррациональное уравнение по методу разложение на множители на области допустимых значений переменной x для этого уравнения заменяется совокупностью трех уравнений x−2=0 , x 2 −x−12=0 и .
  • Решение иррациональных уравнений почти никогда не обходится без проведения преобразований. Преобразования проводятся в согласии с методом решения уравнений через преобразования. Самыми характерными для иррациональных уравнений являются преобразования, базирующиеся на определении корня и свойствах корней. При их проведении необходимо внимательно следить за тождественностью и за областью допустимых значений при замене одного выражения другим. Эти моменты детально разобраны на примере решения иррационального уравнения. Также очень широко используются и другие преобразования, хорошо известные к моменту изучения иррациональных уравнений, такие как перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением их знаков на противоположные, умножение и деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число и др. Например, вынесение за скобки общего множителя в уравнении позволяет проводить дальнейшее решение методом разложения на множители.
  • Метод решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам, применяется для решения иррациональных уравнений, которые в результате проведения преобразований сводятся к числовым равенствам. Например, с его помощью могут быть решены иррациональные уравнения и . Первое из них сводится к верному числовому равенству 0=0 , его решением является любое число из ОДЗ. А второе иррациональное уравнение сводится к неверному числовому равенству 0=3 , оно решений не имеет.
  • Решение иррациональных уравнений с дробью в левой части и нулем в правой части проводится методом решения уравнений «дробь равна нулю». Например, указанный метод решения уравнений подходит для решения иррационального уравнения . По этому методу на ОДЗ для исходного уравнения нужно решить уравнение, являющееся результатом приравнивания числителя дроби к нулю.
  • Метод освобождения от внешней функции применяется для решения иррациональных уравнений, имеющих вид h(f(x))=h(g(x)) , где внешняя функция h принимает каждое свое значение только один раз. Выполнение указанного условия позволяет отбросить внешнюю функцию и перейти к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного иррационального уравнения. Методом освобождения от внешней функции можно решить, например, иррациональное уравнение .
  • Метод решения уравнений по ОДЗ позволяет решать иррациональные уравнения, ОДЗ для которых есть пустое множество или состоит из нескольких чисел. Приведем пример: для иррационального уравнения ОДЗ есть пустое множество, это позволяет констатировать, что уравнение не имеет решений.
  • Когда все упомянутые выше методы решения иррациональных уравнений не позволяют справиться с заданным иррациональным уравнением остается надежда на функционально-графический метод решения уравнений.
    • Графический метод решения уравнений может выручить, когда функции, отвечающие частям иррационального уравнения, довольно простые в плане построения графиков. В частности, графически могут быть решены иррациональные уравнения и .
    • Решение иррациональных уравнений проводится методом решения уравнений через возрастание-убывание, когда очевиден или легко подбирается корень иррационального уравнения, а также просматривается возможность обосновать возрастание одной из функций, отвечающих частям уравнения, и убывание другой функции. Например, несложно подобрать корень иррационального уравнения , также несложно обосновать убывание функции в левой части уравнения и возрастание функции в правой части уравнения.
    • Иногда решить иррациональное уравнение позволяет метод оценки. Это касается тех случаев, когда не видно альтернативных более простых методов решения иррациональных уравнений, а также есть возможность получить подходящие оценки значений частей уравнения. В качестве примера приведем иррациональное уравнение . Оценки его частей и позволяют получить решение.
  • В особо хитрых случаях приходится искать какие-либо специфические методы решения иррациональных уравнений.
  • Итак, мы рассмотрели все основные методы решения иррациональных уравнений. Хорошее владение ими позволяет довольно быстро выбрать подходящий метод решения для каждого конкретного иррационального уравнения. Также в этом помогают следующие рекомендации по выбору метода решения иррационального уравнения.

    Примеры решения иррациональных уравнений

    В этом пункте собраны примеры решения иррациональных уравнений. На них мы разберем все основные тонкости, возникающие при решении иррациональных уравнений. Для удобства разобьем примеры по группам в соответствии с применяемыми методами решения.

    Первыми рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений по определению корня. Три следующих примера демонстрируют, как определение корня позволяет решать иррациональные уравнения с корнем в левой части и числом в правой части:

    График линейной функции, его свойства и формулы

    О чем эта статья:

    Понятие функции

    Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

    Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

    • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
    • Графический способ — наглядно.
    • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
    • Словесный способ.

    График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

    Понятие линейной функции

    Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

    Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

    Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

    Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

    Нам дана функция: у = 0,5х – 2. Значит:

    • если х = 0, то у = -2;
    • если х = 2, то у = -1;
    • если х = 4, то у = 0;
    • и т. д.

    Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

    х 2 4
    y -2 -1

    Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

    Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

    Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

    Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

    Функция Коэффициент «k» Коэффициент «b»
    y = 2x + 8 k = 2 b = 8
    y = −x + 3 k = −1 b = 3
    y = 1/8x − 1 k = 1/8 b = −1
    y = 0,2x k = 0,2 b = 0

    Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

    Свойства линейной функции

    1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.
    2. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
    3. График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
    4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
    5. Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
      b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
      b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
      b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
      b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
    6. Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
    7. График функции пересекает оси координат:
      ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
      ось ординат OY — в точке (0; b).
    8. x=-b/k — является нулем функции.
    9. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
      Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
    10. Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, – b /k) и положительные значения на промежутке (- b /k, +∞)
      При k b /k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, – b /k).
    11. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
      Если k > 0, то этот угол острый, если k

    Построение линейной функции

    В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

    Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

    В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

    • если k > 0, то график наклонен вправо;
    • если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
    • если b 1 /2x + 3, y = x + 3.

    Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

    В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

    Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = – 1 /2x + 3, y = -x + 3.

    В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

    Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

    Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x – 2.

    Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

    При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

    • график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
    • график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
    • график функции y = 2x – 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

    Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

    Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

    Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

    0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png” style=”height: 600px;”>

    Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

    0 и b > 0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png” style=”height: 600px;”>

    Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

    • С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
      Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
    • С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = – b /k.
      Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /k; 0)

    Решение задач на линейную функцию

    Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

    Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

    • В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
      Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
      Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
      2 = -4(-3) + b
      b = -10
    • Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x – 10
      Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
      Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

    Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

    1. Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
      Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
    2. Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
    3. Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
      Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

    Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: