Что такое синус (sin) график, производная, таблица значений, свойства синуса

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Тригонометрия – раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) – отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса – вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от – ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α – это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α – это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α – это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α – это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , – 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Читайте также:
Биссектриса - определение и обозначение, теоремы

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят “синус угла поворота α “. Слова “угол поворота” просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности – точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t – ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t – абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t – отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α – это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс – основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Читайте также:
Коллинеарные векторы - определение, свойства, обозначения

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Функция y = sin x, её свойства и график

п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x синусоидой .
Часть синусоиды для 0≤x≤2π называют волной синусоиды .
Часть синусоиды для 0≤x≤π называют полуволной или аркой синусоиды .

п.2. Свойства функции y=sinx

1. Область определения (xinmathbb) – множество действительных чисел.

2. Функция ограничена сверху и снизу

Область значений (yin[-1;1])

3. Функция нечётная

4. Функция периодическая с периодом 2π

5. Максимальные значения (y_=1) достигаются в точках

Минимальные значения (y_=-1) достигаются в точках

Нули функции (y_<0>=sinx_0=0) достигаются в точках (x_0=pi k)

6. Функция возрастает на отрезках

$$ -fracpi2+2pi kleq xleqfracpi2+2pi k $$

Функция убывает на отрезках

$$ fracpi2+2pi kleq xleqfrac<3pi><2>+2pi k $$

7. Функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sinx на отрезке:

a) (left[fracpi6; frac<3pi><4>right]) $$ y_=sinleft(fracpi6right)=frac12, y_=sinleft(fracpi2right)=1 $$ б) (left[frac<5pi><6>; frac<5pi><3>right]) $$ y_=sinleft(frac<3pi><2>right)=-1, y_=sinleft(frac<5pi><6>right)=frac12 $$

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) (sinx=3x)

Один корень: x = 0

б) (sinx=2x-2pi)

Один корень: x = π

в) (sinx-sqrt=0)
(sinx=sqrt)

Один корень: x = π

г*) (sinx=left(x-fracpi2right)^2-frac<4>)
(y=left(x-fracpi2right)^2-frac<4>) – парабола ветками вверх, с осью симметрии (x_0=fracpi2) и вершиной (left(fracpi2; -frac<4>right)) (см. §29 справочника для 8 класса)

Два корня: (x_1=0, x_2=pi)

Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx, y=-sinx, y=2sinx, y=sinx+2 $$

(y=-sinx) – отражение исходной функции (y=sinx) относительно оси OX. Область значений (yin[-1;1]).
(y=2sinx) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений (yin[-2;2]).
(y=sinx+2) – исходная функция поднимается вверх на 2. Область значений (yin[1;3]).

Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=sinx, y=sin2x, y=sinfrac <2>$$

Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений (yin[-1;1]).
Множитель под синусом изменяет период колебаний.
(y=sin2x) – период уменьшается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок (0leq xleq pi).
(y=sinfrac<2>) – период увеличивается в 2 раза, полная волна укладывается в отрезок (0leq xleq 4pi).

Читайте также:
Алгебраические выражения - определение, виды, смысл значений

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №4. Свойства и график функции .

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • Изучение свойств графика функции ;
  • Определение промежутков монотонности, наибольшего и наименьшего значения, нулей функции ;
  • Определение свойств и положение графика тригонометрических функций вида и
  • Построение графика функции
  • Объяснять зависимость свойств и положения графика функции вида иот значения коэффициентов а, k, b;
  • Демонстрирование уверенного владения свойствами функции .

Глоссарий по теме

Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции , где a≠0.

Число │a│ называется амплитудой.

Основная литература:

Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На прошлом уроке мы говорили о свойствах графика косинуса:

1) область определения функции – множество R всех действительных чисел;

2) Множество значений функции – отрезок [–1;1];

3) Функция косинуса периодическая, ;

4) Функция чётная;

5) Функция принимает:

  • значение, равное 0, при ;
  • наименьшее значение, равное –1, при

;

  • наибольшее значение, равное 1, при ;

6) Функция

  • возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого интервала на .

Давайте сравним их со свойствами графика синуса, а для начала определим следующие моменты:

  • При движении точки до первой четверти ордината увеличивается;
  • При движении точки по второй четверти ордината постепенно уменьшается;
  • Функция возрастает на отрезке и убывает на отрезке .

Свойства функции :

3) Период функции равен ;

4) Функция чётная/нечётная;

5) Функция принимает:

  • значение, равное 0, при ;
  • наименьшее значение, равное –1, при ;
  • наибольшее значение, равное 1, при ;
  • положительные значения на интервале (0;) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на ;
  • отрицательные значения на интервале и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на .

6) Функция

  • возрастает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на ;
  • убывает на отрезке и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на .

Изменяя амплитуду и значение аргумента функции синуса график ведет себя следующим образом (рис.1)

Рис. 1 – графики синуса

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.

Правило:
1) чтобы построить график функции , нужно сдвинуть график вдоль оси Ох на b единиц влево;

2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. На следующие утверждения нужно ответить верно/неверно.

1) Тригонометрическая функция определена на всей числовой прямой.

2) График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.

Читайте также:
Числовые выражения - определение, значения, формулы для 7 класса

3) График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну.

Ответ: верно, неверно, верно.

2. Вспомним, что мы уже знаем о функции , ответив на вопросы:

1) Какие значения может принимать переменная х. Какова область определения этой функции?

2) В каком промежутке заключены значения выражения . Назови наибольшее и наименьшее значения функции .

3) Функция синуса чётная или нечётная?

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций и (рис. 6)

Рис. 7 – графики функций и .

Графики пересекаются в четырёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На выбранном отрезке от корни уравнения симметричны: и . Из рисунка видно, что симметричность корней объясняется периодичностью функции: аналогично для

Ответ: ; .

Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

Из рисунка 7 видно, что график функции лежит выше графика функции на промежутках и и

Ответ: , ,

Тригонометрические функции

В школьной программе изучаются четыре тригонометрических функции – синус, косинус, тангенс и котангенс. В этой статье мы рассмотрим графики и основные свойства этих функций.

1. Начнем с построения графика функции y = sin x.

Выберем подходящий масштаб. По оси X: три клетки примем за (это примерно полтора). Тогда – одна клеточка, – две клетки.
По оси Y : две клетки примем за единицу.

Область определения функции y = sin x – все действительные числа, поскольку значение sin α можно посчитать для любого угла α.

Вспомним, что у нас есть тригонометрический круг, на котором обозначены синусы и косинусы основных углов. Удобнее всего отметить на будущем графике точки, в которых значение синуса является рациональным числом.

Можем добавить, для большей плавности графика, точки и . В них значение синуса равно
Соединим полученные точки плавной кривой.

Мы помним, что . Это значит, что
Получается часть графика, симметричная той, которую нарисовали раньше.

Кроме того, значения синуса повторяются через полный круг или через целое число кругов, то есть

Это значит, что функция y = sin x является периодической. Мы уже построили уча-сток графика длиной 2π. А теперь мы как будто “копируем” этот участок и повторяем его с периодом 2π:

Синусоида построена.
Перечислим основные свойства функции y = sin x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения – все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = sin x равно единице, а наименьшее – минус единице.

3) Функция y = sin x – нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.

4) Функция y = sin x – периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

2. Следующий график: y = cos x. Масштаб – тот же. Отметим на графике точки, в которых косинус является рациональным числом:

Поскольку cos (−x) = cos x, график будет симметричен относительно оси Y , то есть левая его часть будет зеркальным отражением правой.

Функция y = cos x – тоже периодическая. Так же, как и для синуса, ее значения повторяются через 2πn. “Копируем” участок графика, который уже построили, и повторяем периодически.

Перечислим основные свойства функции y = cos x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения – все действительные числа.

Читайте также:
Параллельность плоскостей определение в геометрии, свойства, признаки

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = cos x равно единице, а наименьшее – минус единице.

3) Функция y = cos x – четная. Ее график симметричен относительно оси Y .

4) Функция y = cos x – периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

Отметим еще одно свойство. Графики функций y = sin x и y = cos x весьма похожи друг на друга. Можно даже сказать, что график косинуса получится, если график синуса сдвинуть на влево. Так оно и есть – по одной из формул приведения, .

Форма графиков функций синус и косинус, которые мы построили, очень характерна и хорошо знакома нам. Такой линией дети рисуют волны. Да, это и есть волны!

Функции синус и косинус идеально подходят для описания колебаний и волн – то есть процессов, повторяющихся во времени.

По закону синуса (или косинуса) происходят колебания маятника или груза на пружине. Переменный ток (тот, который в розетке) выражается формулой I(t) = I cos(ωt+α). Но и это не все. Функции синус и косинус описывают звуковые, инфра– и ультразвуковые волны, а также весь спектр электромагнитных колебаний. Ведь то, что наш глаз воспринимает как свет и цвет, на самом деле представляет собой электромагнитные колебания. Разные длины волн света воспринимается нами как разные цвета. Наши глаза видят лишь небольшую часть спектра электромагнитных волн. Кроме видимого цвета, в нем присутствуют радиоволны, тепловое (инфракрасное) излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма–излучение. Более того – объекты микромира (например, электрон) проявляют волновые свойства.

3. Перейдем к графику функции y = tg x.

Чтобы построить его, воспользуемся таблицей значений тангенса. Масштаб возьмем тот же – три клетки по оси X соответствуют , две клетки по Y – единице. График будем строить на отрезке от 0 до π. Поскольку tg (x + πn) = tg x, функ-ция тангенс также является периодической. Мы нарисуем участок длиной π, а затем периодически его повторим.

Непонятно только, как быть с точкой . Ведь в этой точке значение тангенса не определено. А как же будет вести себя график функции y = tg x при x, близких к , то есть к 90 градусам?

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем значение x, близкое к , и посчитаем на калькуляторе значения синуса и косинуса этого угла. Пусть .

Синус угла – это почти 1. Точнее, sin = 0,9998. Косинус этого угла близок к нулю. Точнее, cos = 0,0175.

Тогда
график уйдет на 59 единиц (то есть на 118 клеток) вверх. Можно сказать, что если x стремится к (то есть к , значение функции y = tg x стремится к бесконечности .

Аналогично, при x, близких к , график тангенса уходит вниз, то есть стремится к минус бесконечности .

Осталось только “скопировать” этот участок графика и повторить его с периодом π.

Перечислим свойства функции y = tg x.

1) .
Другими словами, тангенс не определен для где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) – все действительные числа.

3) Функция y = tg x – нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = tg x – периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = tg x возрастает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

Читайте также:
Гиперболический синус производная, график функции, формула через экспоненту

4. График функции y = ctg x строится аналогично. Вот он:

1) .
Другими словами, котангенс не определен для где n ∈ Z.
2) Область значений E(y) – все действительные числа.

3) Функция y = сtg x – нечетная. Ее график симметричен относительно начала координат.

4) Функция y = сtg x – периодическая. Ее наименьший положительный период равен π.

5) Функция y = сtg x убывает при то есть на каждом участке, на котором она непрерывна.

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  • Тригонометрический круг
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Таблица значений тригонометрических функций
  • Градусы и радианы
  • Формулы приведения
  • Теорема синусов
  • Расширенная теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
  • Примеры решений заданий из ОГЭ

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Читайте также:
Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин - формула

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

Читайте также:
Правило Лопиталя для вычисления пределов, примеры с подробным решением

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Что такое синус

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о том, что такие СИНУС.

Наверняка многие знают, что это понятие относится к математике. Все мы учились в школе и проходили тригонометрию.

С понятиями СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС и КОТАНГЕНС школьники знакомятся в 8 классе.

И сейчас без этих знаний не обойтись на ЕГЭ. И задачки по тригонометрии обязательно входят в программу тестов единого государственного экзамена.

Так что эта статья будет в первую очередь полезна старшеклассникам. А читателям более старшего возраста будет полезно лишний раз освежить давно забытые знания.

Что такое тригонометрия

Но давайте начнем совсем с азов. Раз уж мы сказали, что СИНУС – это некая тригонометрическая функция, давайте расскажем и что такое тригонометрия.

Тригонометрия – это раздел математики, который был основан еще в Древней Греции. Само слово состоит из двух половин «τρίγωνον» и «μετρέω», что можно дословно перевести как «изучение треугольников».

Впервые нечто похожее на тригонометрические функции появилось в Древней Греции. Во всяком случае, их можно отследить по трудам Евклида и Архимеда, то есть в III веке до нашей эры.

Хотя ученые не исключают, что похожими вычислениями пользовались и при строительстве Египетских пирамид. А это уже 2-2,5 тысячи лет до нашей эры.

И опять же, пирамиды ведь имеют треугольную форму (в плоскости). И тригонометрия связана напрямую с треугольниками. Возможно совпадение, а возможно и нет.

Правда, в тригонометрии рассматривают конкретные треугольники – прямоугольные. Напомним, это такие фигуры, у которых две стороны из трех пересекаются друг с другом под углом 90 градусов.

Выглядит такой треугольник вот так:

У такого треугольника стороны имеют определенные названия:

КАТЕТЫ – это стороны, которые пересекаются под прямым углом.

В нашем случае это стороны АВ и ВС. Это название также имеет древнегреческие корни. Так, слово «káthetos» переводится как «перпендикуляр, опущенный, ответственный».

ГИПОТЕНУЗА – сторона, которая идет под наклоном и соединяет между собой два катета.

В нашем случае это отрезок АС. Слово также родом из Древней Греции, «ὑποτείνουσα» означает «натянутая». И это очень хорошо характеризует этот отрезок, ведь он действительно выглядит как натянутая струна между двух опор. И даже если перевернуть треугольник, это ощущение не изменится.

Синус — это .

А вот теперь мы подобрались к самому главному, определению СИНУСА. Это величина не существует сама по себе. Она имеет отношение к какому-то углу треугольника. А конкретно к углам α (альфа) и β (бета), которые наглядно показаны на следующем рисунке.

А вот теперь долгожданное определение:

СИНУС угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Чтобы было понятно, о чем речь, взгляните еще раз на наш рисунок прямоугольного треугольника. В данном случае, противолежащим катетом к углу α будет сторона ВС. А противолежащим катетом к углу β будет сторона АС.

Читайте также:
Определитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение

Соответственно, катет ВС для угла α будет прилежащим. И точно таким же будет катет ВС для угла β.

Конкретные формулы синусов будут такими:

Значения синусов

Чаще всего школьники имеют дело с определенными углами. Например, 30, 45, 60, 90 градусов и так далее. И чтобы не высчитывать каждый раз значение тригонометрических функций через стороны треугольника, есть уже готовые таблицы:

  1. 0 градусов — SIN = 0;
  2. 30 градусов — SIN = ½;
  3. 45 градусов — SIN = √2/2;
  4. 60 градусов – SIN = √3/2;
  5. 90 градусов – SIN = 1;
  6. 180 градусов – SIN = 0;
  7. 270 градусов – SIN = -1;
  8. 360 градусов – SIN = 0.

Вместо заключения

СИНУС – это не единственная тригонометрическая функция, которую проходят в школе. Есть еще и другие, и все они также связаны с прямоугольным треугольником.

А называются они вот так:

    КОСИНУС – это обратная синусу величина (даже в переводе с латыни это слово означает «перевернутый синус»). Косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Вот и все, что мы хотели рассказать о тригонометрической функции СИНУС.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (3)

Вот я вроде школу давно окончил, а вот все равно помню все. Потому что учили нас на совесть, а не спустя рукава. Вот скажите мне, а где в школах есть такое, что если ученик не понял, то учитель был готов потратить на него субботу и воскресенье чтобы объяснить дополнительно? Именно поэтому даже ярые троешники что-то знали.

Сейчас если ты в школе не понял, то все. Я дочери сам объяснял все по синусам, хотя и не учитель вообще. И кстати в современных учебниках материал очень плохо подан. Качаю старые советские, там куда понятнее. У вас кстати в статье хорошо рассказано. Я кстати в свое время так и запоминал, что это противоположный катет к гипотенузе.

Вспомнить никогда не будет лишним. Согласна с вами, Владимир, учили нам на совесть, спасибо нашим учителям.

«Соответственно, катет ВС для угла α будет прилежащим.»

Ошибка, для угла α прилежащим будет катет AC!

Синус

Синус – одна из тригонометрических функций. Значение синуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).

Аргумент и значение

Синус острого угла

Синус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника – он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

1) Пусть дан угол и нужно определить синус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить (sinA).

Синус числа

Синус числа можно определить с помощью числовой окружности – синус числа равен ординате соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи : (frac<π><2>) , (frac<3π><4>) , (-2π).

Например, для числа (frac<π><6>) – синус будет равен (0,5). А для числа (-) (frac<3π><4>) он будет равен (-) (frac><2>) (приблизительно (-0,71)).

Читайте также:
Параллелепипед определение, свойства, виды, формулы расчета площади

Подробнее как вычисляется синус разных чисел можно прочитать в этой статье .

Значение синуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1). При этом вычислен он может быть для абсолютно любого угла и числа.

Синус любого угла

Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем (360°) (полный оборот). Как это делать – проще один раз увидеть, чем (100) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить (sin∠КОА) с градусной мерой в (150°). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью (x). После этого откладываем (150°) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам (sin⁡∠KOA).

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в (-60°) (угол КОВ), делаем также, но (60°) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше (360°) (угол КОС) – всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол (405°) отложен как (360° + 45°).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в (960°), надо сделать уже два оборота ((360°+360°+240°)), а для угла в (2640°) – целых семь.

Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

косинусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством (sin^2⁡x+cos^2⁡x=1)
тангенсом и косинусом того же угла (или числа): формулой (tg⁡x=) (frac)
котангенсом того же угла (или числа): формулой (1+сtg^2⁡x=) (frac<1>)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Функция (y=sin⁡x)

Если отложить по оси (x) углы в радианах, а по оси (y) – соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:

– область определения – любое значение икса: (D(sin⁡x )=R)
– область значений – от (-1) до (1) включительно: (E(sin⁡x )=[-1;1])
– нечетная: (sin⁡(-x)=-sin⁡x)
– периодическая с периодом (2π): (sin⁡(x+2π)=sin⁡x)
– точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: ((πn;0)), где (n ϵ Z)
ось ординат: ((0;0))
– промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: ((2πn;π+2πn)), где (n ϵ Z)
функция отрицательна на интервалах: ((π+2πn;2π+2πn)), где (n ϵ Z)
– промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: ((-) (frac<π><2>) (+2πn;) (frac<π><2>) (+2πn)), где (n ϵ Z)
функция убывает на интервалах: (() (frac<π><2>) (+2πn;) (frac<3π><2>) (+2πn)), где (n ϵ Z)
– максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение (y=1) в точках (x=) (frac<π><2>) (+2πn), где (n ϵ Z)
функция имеет минимальное значение (y=-1) в точках (x=-) (frac<π><2>) (+2πn), где (n ϵ Z).

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: