Число сочетаний основные свойства, применение математических формул

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №31. Сочетания без повторений. Бином Ньютона

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие сочетания без повторения и их свойства;

2) правила подсчета числа сочетаний из n-элементов по m без повторений;

3) бином Ньютона;

4) треугольник Паскаля.

Глоссарий по теме

Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из n различных элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Общим термином «соединения» в комбинаторике называют три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству. Ранее уже рассматривались два вида комбинаций. Это перестановки и размещения. В данных соединениях важен порядок размещения элементов. В случае, когда этот порядок не важен, то мы имеем дело с сочетаниями.

Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n ) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Иногда такие сочетания называют сочетаниями без повторений.

Число всевозможных сочетаний из из n элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Используя данную формулу можно отметить основные свойства сочетаний.

Простейшие свойства сочетаний:

1)

2)

3)

Доказательства свойства сочетаний

1)

2)

3)

При возведении суммы или разности двух чисел во вторую или третью степень мы пользовались формулами сокращенного умножения, которые являются частным случаем бинома Ньютона.

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Для более простого подсчета коэффициентов Бинома Ньютона для невысоких степеней удобно пользоваться треугольником Паскаля:

По бокам в каждой строчки имеется коэффициент, равный единице. Все средние коэффициенты считаются, как сумма верхних, которые находятся над ними.

Читайте также:
Числовые выражения - определение, значения, формулы для 7 класса

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Не трудно заметить, что строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Это еще одно замечательное свойство треугольника Паскаля

Историческая справка

Исаак Ньютон (1642-1727 гг.) – выдающийся английский ученый, один из создателей классической физики. Биография Ньютона богата во всех смыслах этого слова. Он сделал немало открытий в области физики, астрономии, механике и математике. Ньютон является автором фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.

А при чем же здесь бином Ньютона и биномиальные коэффициенты? Формула

была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени произвольное рациональное число (возможно, отрицательное).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

В вазе лежат двенадцать конфет, четыре из которых шоколадные, а остальные карамель. Вы хотите угоститься, выбрав две шоколадные и три карамельные конфеты. Сколькими способами вы можете это сделать?

Мы имеем два события. Это выбор шоколадных и выбор карамельных конфет. Порядок конфет не важен. Поэтому мы можем использовать формулу сочетания для каждого из событий. Так, как шоколадных конфет всего четыре, а выбрать мы хотим две, то это можно сделать способами .

1)

Теперь посчитаем количество выбора карамельных конфет. Их общее количество в вазе 12-4=8, а выбрать мы хотим три. Рассчитаем сочетание из восьми по три.

2)

События выбора разных видов конфет между собой независимы, поэтому по правилу умножения получаем

3)

Представить разложение двучлена в n степени в виде многочлена, где n=0, 1, 2, …,5

Первые четыре разложения мы хорошо умеем делать, используя формулы квадрата и куба разности.

А для представления бинома четвертой и пятой степени воспользуемся треугольником Паскаля.

Комбинаторика: основные правила и формулы.

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Читайте также:
Определитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Читайте также:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности доказательство

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ “КОМБИНАТОРИКА”

1.3.3. Сочетания

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Читайте также:
Осевая симметрия - определение, виды, свойства, примеры

Сочетаниями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .
Задача 3

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, обращаю внимание на то, что по логике такого условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать
).

В задаче речь идёт о выборке из четырёх деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

(прерываю решение для промежуточных объяснений)

И здесь, конечно, не нужно «тягать» значения . В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:

способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетаний из 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

– единственным способом можно не выбрать ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
– единственным способом можно выбрать все пятнадцать деталей.

Рекомендую вновь обратиться к Приложению Формулы комбинаторики и внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля (пункт 3), по которому очень удобно выполнять проверку вычислений количества сочетаний при небольших значениях «эн».

Для самостоятельного решения:

Задача 4

а) Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

б) В шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Читайте также:
Коллинеарные векторы - определение, свойства, обозначения

Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. Решения и ответы в конце книги.

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Сочетания

п.1. Сочетания без повторений

Например:
Из 10 программистов нужно отобрать 4 для участия в проекте. Сколькими способами это можно сделать?
$$mathrm< n = 10, k=4 >$$ В данном случае, порядок отбора не важен (выборка неупорядоченная); каждый кандидат может войти только один раз в выборку (выборка без повторений). Поэтому рассматриваем неупорядоченные 〈10,4〉 –выборки без повторений. Количество способов отбора равно: $$mathrm< C_<10>^4=frac<10!><6! 4!>=frac<10cdot 9cdot 8cdot 7><1cdot 2cdot 3cdot 4>=210 >$$ Ответ: 210.

п.2. Сочетания с повторениями

Например:
Нужно отобрать 4 программистов для участия в проекте. Многочисленных претендентов можно разделить на две категории: желающих работать удаленно и предпочитающих работу в офисе. Сколько всего комбинаций из любителей офиса и удалёнки может оказаться в выбранной четвёрке? $$mathrm< n = 2, k=4 >$$ Порядок отбора не важен; кандидатов из каждой категории может быть несколько или ни одного. Поэтому рассматриваем неупорядоченные 〈2,4〉 –выборки с повторениями: $$ mathrm< overline_2^4=frac<(2+4-1)!><(2-1)4!>=frac<5!><4!>=5 > $$ Всего – 5 комбинаций: OOOO,OOOD,OODD,ODDD,DDDD
где O – любитель офиса; D – любитель удалёнки. Напоминаем, что порядок не важен – важен только состав группы.
Ответ: 5.

п.3. Биномиальные коэффициенты и их свойства

Подробно о биноме – см. §28 справочника для 7 класса.
Для n-й степени бинома справедливо выражение: $$ mathrm< (apm b)^n=a^n+C_n^1a^bpm C_n^2a^b^2+. +C_n^b^n > $$ где (mathrm) – биномиальные коэффициенты, к оторые одновременно являются количествами сочетаний без повторений из n по k: $$ mathrm< C_n^k=frac <(n-k)!k!>> $$ Таким образом, биномиальные коэффициенты можно определять как с помощью треугольника Паскаля, так и с помощью данной формулы.
Заметим, что в литературе также часто встречается обозначение (mathrm) для биномиальных коэффициентов (mathrm).

Свойства биномиальных коэффициентов

Свойство симметрии

Свойство Паскаля

Замена индексов

Вынесение за скобки

Рекуррентные формулы

Свойство суммы

Свойство разности

Свойства максимума

Если n – четное, то максимальное значение (mathrm) имеет при (mathrm<2>>).
Если n – нечетное, то максимальное значение имеют два коэффициента (mathrm), при (mathrm<2>>) и (mathrm<2>>)

Читайте также:
Степени чисел - возведение в степень в алгебре, таблица, правила

Свёртка Вандермонда

Сумма квадратов

Взвешенное суммирование

Связь с числами Фибоначчи

п.4. Примеры

Пример 1. На столе лежит 10 яблок и 5 груш.
1) Сколькими способами можно выбрать 7 фруктов?
2) Сколькими способами можно выбрать 7 фруктов, чтобы среди них было 3 груши?

1) Всего у нас n = 10 + 5 = 15 фруктов. Нужно выбрать k = 7 фруктов.
Порядок выбора не важен, т.е. выборка неупорядоченная. Находим: $$ mathrm< C_n^k=C_<15>^7=frac<15cdot 14cdot 13cdot 12cdot 11cdot 10cdot 9><1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7>=6435 > $$ Существует 6435 способов выбрать 7 фруктов из 15.

2) Выбираем 4 яблока из 10 и 3 груши из 5.
Для яблок: $$ mathrm< C_<10>^4=frac<10cdot 9cdot 8cdot 7><1cdot 2cdot 3cdot 4>=210 > $$ Для груш: $$ mathrm< C_3^5=C_<5>^2=frac<5cdot 4><1cdot 2>=10 > $$ По правилу произведения, общее количество способов выбрать 4 яблока и 3 груши: $$ mathrm< C_<10>^3cdot C_<5>^3=210cdot 10=2100 > $$ Ответ: 1) 6435; 2) 2100.

Пример 2. В кондитерском магазине продаётся 4 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? $$ mathrm < n=4, k=7 >$$ Порядок выбора пирожных неважен – выборка неупорядоченная; пирожные одного вида могут повторяться. Значит, находим количество сочетаний с повторениями: $$ mathrm< overline_4^7=C_<7+4-1>^7=C_<10>^7=C_<10>^3=frac<10cdot 9cdot 8><1cdot 2cdot 3>=120 > $$ Ответ: 120

Пример 3. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 15 рядовых. Сколькими способами можно выбрать из них отряд, состоящий из 1 офицера, 2 сержантов и 5 рядовых?

По всем трём множествам делаем неупорядоченную выборку (т.е., сочетания) без повторений.
Выбираем офицеров: (mathrm)
Выбираем сержантов: (mathrm<1cdot 2>=15>)
Выбираем рядовых: (mathrm^6=frac<15cdot 14cdot 13cdot 12cdot 11><1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5>=3003>)
По правилу произведения, отряд можно выбрать:
(mathrm<3cdot 15cdot 3003=135135>) способами.
Ответ: 135135.

Пример 5. Рассчитайте все (mathrm^k>) по рекуррентной формуле (mathrm^k=fracC_n^>).
Постройте график (mathrm^k(k)>). Сделайте выводы.

Начальное значение (mathrm^0=1>).

Число сочетаний основные свойства, применение математических формул

Допустим теперь, что нас не интересует порядок, в котором идут выбранные элементы. Например, нужно из десяти человек выбрать троих дежурных. Такая операция называется неупорядоченной выборкой , или сочетанием, в отличие от упорядоченной выборки – размещений.

Всякая неупорядоченная выборка объёма из множества, состоящего из элементов, называется сочетанием из элементов по . Количество сочетаний обозначается и вычисляется по формуле

Символ читается «це из эн по ка».

Формулу для можно получить из следующих соображений.

Из любого набора, содержащего элементов, можно получить ! перестановок. Поэтому упорядоченных выборок объёма существует

штук. Значит,

Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Задачи первого варианта можно выбрать способами. После этого останется 10 задач, следовательно, второй вариант можно составить способами. Для третьего варианта задачи можно выбрать способом. По правилу произведения получаем, что число способов равно Однако нам всё равно, какой вариант будет первым, какой – вторым, а какой – третьим. Потому найденное число нужно разделить на число перестановок из трёх элементов, то есть на 3!. Окончательно получаем, что число способов равно способов.

Читайте также:
Множество - обозначение, виды, свойства операций, теория, примеры

Сколькими способами можно разместить 10 различных шаров по 4 ящикам так, чтобы в первом ящике оказалось 2 шара, во втором – 3, в третьем – 3 и в четвёртом снова два?

Пусть в первый ящик попадет шаров, во второй – в третий – шаров, а в четвёртый – Тогда количество способов выборки в первый ящик из шаров определяется числом количество способов выборки во второй ящик шаров из оставшихся – числом для 4-го ящика – а для ящика то же число будет равно Ответ найдётся по правилу произведения: В нашем случае

Для числа сочетаний справедливы некоторые тождества, в частности:

Докажите тождество

С помощью формулы для получаем:

Запишем в «нулевой» строке число В первой строке напишем значения чисел и каждое из которых тоже равно 1, так, чтобы значение оказалось над промежутком между этими двумя числами. Во второй строке запишем числа и тоже равные 1, а между ними – число Обратим внимание, что число равно сумме двух чисел, стоящих над ним: Продолжим построение, записывая в строке числа от до включительно.

Полученный числовой треугольник называется треугольником Паскаля . Согласно свойству любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.

При помощи треугольника Паскаля удобно доказывать различные комбинаторные тождества.

Доказать, что

Рассмотрим строку треугольника Паскаля. Каждое число этой строки входит в качестве слагаемого в два соседних числа следующей строки. Таким образом, сумма чисел очередной строки в два раза больше суммы чисел предыдущей строки.

Эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, 16 и так далее. При этом сумма чисел в нулевой строке в первой строке во второй строке и так далее. Строгое доказательство этого факта производится методом математической индукции.

Итак,

На языке множеств утверждение, доказанное в задаче, выглядит по-другому.

Число подмножеств множества из элементов равно .

Еще один интересный факт, связанный с треугольником Паскаля, мы приведём здесь без доказательства:

Приведённое тождество называется биномом Ньютона .

Как и в случае с размещениями, существует понятие числа сочетаний с повторениями. Рассмотрим его на следующем примере.

В палитре художника 8 различных красок. Художник берет кистью наугад любую из красок и ставит цветное пятно на ватмане. Затем берет следующую кисть, окунает её в любую из красок и делает второе пятно по соседству. Сколько различных комбинаций существует для шести пятен? Порядок пятен на ватмане не важен.

Решим задачу следующим образом. Пусть количество пятен первого цвета равно , второго цвета – , третьего – и так далее. Запишем каждое из этих чисел последовательностью из соответствующего количества единиц, а на границах между числами поставим нули. Так, если у нас первого цвета 1 пятно, второго – 3 пятна, третьего и четвёртого – ни одного, пятого и шестого – по одному пятну, а седьмого и восьмого – снова не одного, то запись будет выглядеть следующим образом: 1011100010100. В этой цепочке содержится , нулей – всего . Количество перестановок с повторениями этих цифр равно

Именно столько существует различных вариантов раскраски ватмана (без учёта порядка цветных пятен).

Вообще, можно сформулировать следующее правило.

Если из множества, содержащего элементов, выбирается поочередно элементов, причём выбранный элемент каждый раз возвращается обратно, то количество способов произвести неупорядоченную выборку – число сочетаний с повторениями – составляет

Доказательства свойства сочетаний

Конспект урока математики Урок 1

Дата

89 90 91 92 3 4
09.04.20( 2 ур)

Группа № 89 профессия мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей курс 1

Группа №90 профессия повар, кондитер курс1

Группа №91 профессия машинист крана(крановщик)

Группа №92 профессия тракторист-машинист сельскохозяйственного производства

Группа №3 специальность механизация сельского хозяйства

Группа № 4 специальность Техническая эксплуатация подъемно-транспотных, строительных дорожных машин и оборудования ( по отраслям)

Тема : Сочетания. Бином Ньютона

Форма работы: индивидуальная, электронное обучение

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: познакомить с сочетаниями, их свойствами, с формулой бинома Ньютона, научить применять формулы при выполнении заданий по теме.

Основные понятия: Сочетания без повторений, сочетания из n элементов по m элементов, бином Ньютона . коэффициент.

Используемая литература: Алгебра и начала математического анализа , 10-11 классы, учебник для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Ш.А. Алимов и др., М: Просвещение, 2016 г.

Интернет-ресурсы:https://mathematics.ru/courses/function/content/

Ход урока

1. Организационный этап
Мотивационный модуль. Формулируется тема урока.

2.Ребята, на этом уроке вы рассмотрите понятие сочетаний, сочетания без повторений, их свойства. Бином Ньютона.

2.Основная часть.
Объясняющий модуль. Предлагается изучить материал по теме. Рассмотреть применение при решении заданий на подсчет сочетаний.

План изучения:
1Сочетаниями
из n элементов по m

2.Формула для подсчёта числа сочетаний:

3.Свойства сочетаний

1. Общим термином «соединения» в комбинаторике называют три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству. Ранее уже рассматривались два вида комбинаций. Это перестановки и размещения. В данных соединениях важен порядок размещения элементов. В случае, когда этот порядок не важен, то мы имеем дело с сочетаниями.

Определение :Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n) называются такие соединения, каждое из которых содержит mэлементов, взятых из данных nразличных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Иногда такие сочетания называют сочетаниями без повторений.

Число всевозможных сочетаний из из n элементов по m элементов обозначают

2.Формула для подсчёта числа сочетаний:

Простейшие свойства сочетаний:

1)

2)

3)

Доказательства свойства сочетаний

1)

2)

3)

При возведении суммы или разности двух чисел во вторую или третью степень мы пользовались формулами сокращенного умножения, которые являются частным случаем бинома Ньютона.

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Комбинаторика: размещения и сочетания

При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия

Факториалы
Перестановки
Размещения
Сочетания

Размещения

Рассмотрим следующую задачу.

Задача . 9 карточек пронумерованы числами 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных четырехзначных чисел?

Решение .Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое.

На первое место можно положить одну из 9 карточек. Для этого есть 9 способов. В каждом из этих 9 способов на второе место можно положить одну из оставшихся 8 карточек. Таким образом, существует

способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих 72 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 7 карточек. Следовательно, существует

способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 504 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 6 карточек. Отсюда вытекает, что существует

различных способа, чтобы выложить в ряд 4 карточки из набора, состоящего из 9 пронумерованных карточек. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 3024 различных четырехзначных числа.

Ответ : 3024 .

При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем.

Определение 1 . Рассмотрим множество, содержащее n элементов, и все его упорядоченные подмножества, содержащие k элементов. Каждое из этих подмножеств называют размещением из n элементов по k элементов.

Если обозначить символом число размещений из n элементов по k элементов , то будет справедлива формула:

В соответствии с определением факториала, формулу (1) можно также записать в виде:

В задаче множеством из n элементов является исходный набор из 9 пронумерованных карточек, а упорядоченным подмножеством из k элементов – 4 карточки, выложенные в ряд.

Таким образом, при решении задачи мы на частном примере подсчитали, чему равно число размещений из 9 элементов по 4 элемента, т.е. число

В соответствии с формулой (1),

что и было получено в задаче.

Замечание 1 . Введенные в данном разделе размещения также называют размещениями без повторений .

Замечание 2 . Из формул для числа перестановок и числа размещений вытекает формула

смысл которой заключается в следующем.

Утверждение . Размещение из n элементов по n элементов является перестановкой из n элементов.

Сочетания

Определение 2 . Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называют сочетанием из n элементов по k элементов .

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом

Замечание 3 . Важно отметить, что, в отличие от определения размещений, рассмотренные в определении сочетаний подмножества, содержащие k элементов, не являются упорядоченными. Поэтому, если в каждом подмножестве, содержащем k элементов (из определения 2), совершить всевозможные перестановки, количество которых равно k ! , то мы получим все размещения.

Таким образом, справедлива формула:

откуда вытекает формула

(2)

Теперь рассмотрим несколько примеров подсчета числа сочетаний, которые непосредственно вытекают из формулы (2):

В заключение приведем часто используемое равенство, также непосредственно вытекающее из формулы (2):

Замечание 4 . С разделом справочника «Сочетания» близко связан раздел «Бином Ньютона», где приведены и доказаны свойства чисел сочетаний.

С понятиями факториала числа n и перестановок из n элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: факториалы и перестановки» нашего справочника.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: