Алгебра как наука – происхождение, основы, понятия и правила

Реферат на тему: История появления алгебры как науки

Содержание:

  1. Введение
  2. Деление алгебры
  3. История алгебры
  4. Самые старые комбинации в алгебре
  5. Арабская алгебра
  6. Возрождение алгебры в Европе
  7. Решение уравнений третьей и четвертой степени
  8. Развитие алгебры в Европе
  9. Приобретение полной формы алгебры
  10. Заключение
  11. Список литературы

Введение

Алгебра, наряду с арифметикой, является наукой о числах и, через числа, о количествах вообще. Не изучая свойств каких-либо частных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства абстрактных величин как таковых, независимо от того, на какие конкретные приложения они способны. Разница между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука изучает свойства данных, определенных величин, в то время как алгебра изучает общие величины, значение которых может быть произвольным, и, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые являются общими для всех величин, независимо от их значений. Таким образом, алгебра-это обобщенная арифметика. Это заставило Ньютона назвать свой трактат по алгебре “Общей арифметикой”. Гамильтон, полагая, что так же, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру “Наукой о чистом времени” – название, которое Морган предложил изменить на “Исчисление последовательности”. Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни ее исторического развития. Алгебру можно определить как “науку о количественных отношениях”.

Деление алгебры

В настоящее время, отчасти по педагогическим соображениям, отчасти в силу исторического развития этой науки, алгебра делится на низшую и высшую. К низшей алгебре относятся теория элементарных арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теория степеней и корней, теория логарифмов и комбинаторика. Высшая алгебра включает в себя теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметричных функций, теорию подстановок и, наконец, представление различных частных способов разделения корней уравнений, определения числа действительных или мнимых корней данного уравнения с числовыми коэффициентами и приближенных или аналитических (когда это возможно) уравнений произвольных степеней.

История алгебры

Происхождение термина “алгебра”.

Происхождение самого слова “алгебра” не совсем ясно. По мнению большинства исследователей, слово “алгебра” происходит от названия работы арабского математика аль-Хорезми (от названия которого, по мнению большинства исследователей, происходит популярное слово “алгоритм”) “аль-Джабр аль-мукабала”, то есть “учение о перестановках, соотношениях и решениях”, но некоторые авторы производят слово “алгебра” от имени математики ГЕБЕРА, но само существование такой математики подлежит сомнению.

Самые старые комбинации в алгебре

Первой дошедшей до нас работой, содержащей исследование алгебраических вопросов, является трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы находим, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), изучение степеней чисел и решение многих неясных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное собрание сочинений Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно сложные алгебраические задачи. Мы не знаем никаких других работ по алгебре в древности, кроме утраченной работы знаменитой дочери Теона, Ипатии.

Арабская алгебра

В Европе алгебра вновь появляется только в эпоху Возрождения, и то от арабов. Как арабы достигли истин, которые мы находим в их писаниях, дошедших до нас в большом количестве, неизвестно. Возможно, они были знакомы с трактатами греков или, как некоторые думают, получили свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры. Магомед ибн Муса, живший примерно в середине девятого века в царствование халифа Аль-Мамуна. Во всяком случае, греческие авторы были известны арабам, которые собирали древние труды по всем отраслям науки. Магомед Абульвафа переводил и комментировал труды Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в X веке). Но ни он, ни другие арабские математики не привнесли в алгебру много своего. Они изучили его, но не улучшили.

Возрождение алгебры в Европе

Первым произведением, появившимся в Европе после долгого перерыва со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим торговым делам на Восток, познакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) числами, а также с арифметикой и алгеброй арабов. По возвращении в Италию он написал сочинение, охватывающее как арифметику, так и алгебру, а также частично геометрию. Однако эта работа не имела большого значения в истории науки, поскольку оставалась малоизвестной и была вновь открыта только в середине xviii века во флорентийской библиотеке. Тем временем сочинения арабов начали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Известно, например, что древнейший арабский труд по алгебре Магомеда-бен-Мусы был переведен на итальянский язык, но этот перевод не сохранился до нашего времени. Первый известный печатный трактат по алгебре – “Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita”, написанный итальянцем Лукасом де Бурго. Первое издание вышло в 1494 году, а второе-в 1523 году. Она показывает нам состояние алгебры в начале XVI века в Европе. Здесь не видно большого прогресса по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения некоторых частных задач высшей арифметики, автором решаются только уравнения первой-второй степени, и притом из-за отсутствия символического обозначения все задачи и способы их решения приходится излагать словами, предельно пространно. Наконец, нет общих решений даже для квадратичного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится специальный метод решения, так что наиболее существенная особенность современного А. – общность его решений еще полностью отсутствует в начале XVI века.

Читайте также:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности доказательство

Решение уравнений третьей и четвертой степени

В 1505 году Сципион Феррео впервые решил частный случай кубического уравнения. Это решение, однако, не было им опубликовано, а было сообщено одному студенту – Флориде. Последний, находясь в Венеции в 1535 году, вызвал на соревнование известного тогда математика Тарталья из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для решения которых необходимо было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже сам нашел решение таких уравнений, причем не только в одном частном случае, который был решен Феррео, но и в двух других частных случаях. Тарталья принял вызов и предложил Флориде свои собственные задачи. Результатом состязания стало полное поражение от Флориды. Тарталья решал предложенные ему задачи в течение двух часов, в то время как Флориде не мог решить ни одной из задач, предложенных ему противником (число задач, предложенных с обеих сторон, составляло 30). Тарталья, как и Феррео, продолжал скрывать свое открытие, которое заинтересовало Кардано, профессора математики и физики в Милане. Последний готовил к изданию обширный труд по арифметике, алгебре и геометрии, в котором он также хотел дать решение уравнений 3-й степени. Но Тарталья отказался рассказать ему о своем методе. И только когда Кардано принес клятву на Евангелии и дал честное слово дворянина, что не откроет метод решения уравнений Тартальи, а запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья после долгих колебаний согласился открыть свою тайну любопытному математику и довольно туманно показал ему правила решения кубических уравнений, изложенные в стихах. Остроумный Кардано не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но и нашел им подтверждение. Однако, несмотря на свое обещание, он опубликовал метод Тартальи, и этот метод до сих пор известен как “формула Кардано”.

Вскоре было найдено решение уравнений четвертой степени. Итальянский математик предложил задачу, решение которой по известным до того времени правилам было недостаточным и требовало умения решать биквадратичные уравнения. Большинство математиков считали эту проблему неразрешимой. Но Кардано предложил его своему ученику Луиджи Феррари, который не только решил задачу, но и нашел способ решения уравнений четвертой степени в целом, сведя их к уравнениям третьей степени. В работе Тартальи, напечатанной в 1546 году, мы также находим изложение метода решения не только уравнений первой и второй степени, но и кубических уравнений, и описан инцидент между автором и Кардано, описанный выше. Работа Бомбелли, опубликованная в 1572 году, интересна тем, что в ней рассматривается так называемый неприводимый случай кубического уравнения, который смутил Кардано, не сумевшего решить его с помощью своего правила, а также указывается на связь этого случая с классической задачей о трисекции угла. алгебра уравнения математической

Развитие алгебры в Европе

В Германии первая работа по алгебре принадлежит Христиану Рудольфу Яуэрскому и впервые появилась в 1524 году, а затем снова была опубликована Штифелем в 1571 году. Сами Штифель и Шейбл, независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы.

В Англии первый трактат по алгебре принадлежит Роберту Рекорду, профессору математики и медицины в Кембридже. Его сочинение по алгебре называется “Точильный камень остроумия”. Здесь впервые вводится знак равенства ( = ). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение по алгебре Пелетария; в Голландии в 1585 году Стевин не только представил уже известные ему исследования, но и внес некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он обозначал неизвестное. Однако для обозначения неизвестного он использовал только цифры, обведенные по кругу. Итак, первое неизвестное (теперь обычно обозначаемое х) В его случае обозначалось обведенной единицей, второе-обведенной двойкой и так далее. Большие успехи были сделаны в алгебре после трудов Виеты, который первым рассмотрел общие свойства уравнений произвольных степеней и показал методы приближенного нахождения корней любых алгебраических уравнений. Он первым обозначил буквами величины, входящие в уравнения, и тем самым придал алгебре ту общность, которая является характерной чертой алгебраических исследований нового времени. Он также очень близко подошел к открытию биномиальной формулы, найденной позднее Ньютоном, и, наконец, в его трудах можно даже найти разложение отношения стороны квадрата, вписанного в окружность, к дуге окружности, выраженной в виде бесконечного произведения. Фламандец Альберт Жирар, или Жерар, чей трактат по алгебре появился в 1629 году, первым ввел в науку понятие мнимых величин. Англичанин Харриот показал, что каждое уравнение можно рассматривать как произведение некоторого числа факторов первого порядка, и ввел знаки > и

Читайте также:
Формулы площадей всех фигур

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

История появления алгебры как науки

Деление и история алгебры, происхождение ее термина. Древнейшие сочетания по алгебре, появление от арабов и ее развитие в Европе в эпоху Возрождения. Решение уравнений третей и четвёртой степени. Некоторые математические знаки и даты их возникновения.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 27.09.2014
Размер файла 344,3 K
  • посмотреть текст работы
  • скачать работу можно здесь
  • полная информация о работе
  • весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра математических и естественно – научных дисциплин.

на тему: История появления алгебры как науки.

студент 1 курса 1 группы

Карлова Елена Сергеевна

План реферата

1. Деление алгебры

2. История алгебры

2.1 Происхождение термина “алгебра”

2.2 Древнейшие сочетания по алгебре

2.3 Алгебра арабов

2.4 Возрождение алгебры в Европе

2.5 Решение уравнений третей и четвёртой степени

2.6 Развитие алгебры в странах Европы

2.7 Приобретение алгеброй законченного вида

3. Некоторые математические знаки и даты их возникновения

Список используемой литературы

Введение

Алгебра, вместе с арифметикой, есть наука о числах и через посредство чисел – о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких-нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин, как таковых, независимо от того, к каким конкретным приложениям они способны. Различие между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука исследует свойства данных, определенных величин, между тем как алгебра занимается изучением общих величин, значение которых может быть произвольное, а, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые общи всем величинам, независимо от их значений. Таким образом, алгебра есть обобщенная арифметика. Это подало повод Ньютону назвать свой трактат об алгебре “Общая арифметика”. Гамильтон, полагая, что подобно тому, как геометрия изучает свойства пространства, алгебра изучает свойства времени, назвал алгебру “Наукою чистого времени” – название, которое Морган предлагал изменить на “Исчисление последовательности”. Однако такие определения не выражают ни существенных свойств алгебры, ни исторического ее развития. Алгебру можно определить как “науку о количественных соотношениях”.

1. Деление алгебры

В настоящее время, отчасти из педагогических соображений, отчасти вследствие исторического развития этой науки, алгебру делят на низшую и высшую. К низшей алгебре относят теорию простейших арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теорию степеней и корней, теорию логарифмов и комбинаторику. К высшей алгебре относят теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметрических функций, теорию подстановок, и, наконец, изложение различных частных способов отделения корней уравнений, определения числа вещественных или мнимых корней данного уравнения с численными коэффициентами, и приближённое или аналитическое (когда это возможно) уравнений произвольных степеней.

2. История алгебры

2.1 Происхождение термина “алгебра”

Происхождение самого слова “алгебра” не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово “алгебра” произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово “алгоритм”) “Аль-джабр-аль-мукабалла”, то есть “учение о перестановках, отношениях и решениях”, но некоторые авторы производят слово “алгебра” от имени математика Гебера, однако само существование такого математика подвержено сомнению.

2.2 Древнейшие сочетания по алгебре

Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, есть трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи. Нам неизвестно о каких бы то ни было иных сочинениях об алгебре в древности, кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона, Гипатии.

Читайте также:
Производная сложной функции - теорема, примеры вычислений

2.3 Алгебра арабов

В Европе алгебра снова появляется только в эпоху Возрождения, и именно от арабов. Каким образом арабы дошли до тех истин, которые мы находим в их сочинениях, дошедших до нас в большом количестве, – неизвестно. Они могли быть знакомы с трактатами греков, или, как думают некоторые, получить свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры. Магоммеду-бен-Муза, жившему около середины IХ-го века в царствование халифа Аль-Мамуна. Во всяком случае, греческие авторы были известны арабам, которые собирали древние сочинения по всем отраслям наук. Магоммед-Абульвефа перевел и комментировал сочинения Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в Х веке). Но ни он, ни другие арабские математики не внесли много нового, своего в алгебру. Они изучали ее, но не совершенствовали.

2.4 Возрождение алгебры в Европе

Первым сочинением, появившимся в Европе после продолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим коммерческим делам на Востоке, ознакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) цифрами, и с арифметикой и алгеброй арабов. По возвращении в Италию, он написал сочинение, охватывающее одновременно арифметику и алгебру и отчасти геометрию. Однако сочинение это не имело большого значения в истории науки, ибо осталось мало известным и было открыто вновь только в середине 18-го века в одной Флорентийской библиотеке. Между тем сочинения арабов стали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Известно, например, что старейшее арабское сочинение об алгебре Магоммеда-бен-Музы было переведено на итальянский язык, но перевод этот не сохранился до нашего времени. Первым известным печатным трактатом об алгебре является “Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita”, написанное итальянцем Лукасом дэ Бурго. Первое издание его вышло в 1494 г. и второе в 1523 г. Оно указывает нам, в каком состоянии находилась алгебра в начале XVI века в Европе. Здесь нельзя видеть больших успехов по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения отдельных частных вопросов высшей арифметики, только уравнения первой к второй степени решаются автором, и притом вследствие отсутствия символического обозначения, все задачи и способы их решения приходится излагать словами, чрезвычайно пространно. Наконец нет общих решений даже квадратного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится особый метод решения, так что самая существенная черта современной А. – общность даваемых ею решений – еще совершенно отсутствует в начале XVI века.

2.5 Решение уравнений третей и четвёртой степени

В 1505 году Сципион Феррео впервые решил один частный случай кубического уравнения. Это решение однако не было им опубликовано, но было сообщено одному ученику – Флориде. Последний, находясь в 1535 году в Венеции, вызвал на состязание уже известного в то время математика Тарталью из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для разрешения которых нужно было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже нашел раньше сам решение таких уравнений и, мало того, не только одного того частного случая, который был решен Феррео, но и двух других частных случаев. Тарталья принял вызов и сам предложил Флориде также свои задачи. Результатом состязания было полное поражение Флориде. Тарталья решил предложенные ему задачи в продолжение двух часов, между тем как Флориде не мог решить ни одной задачи, предложенной ему его противником (число предложенных с обеих сторон задач было 30). Тарталья продолжал, подобно Феррео, скрывать свое открытие, которое очень интересовало Кардано, профессора математики и физики в Милане. Последний готовил к печати обширное сочинение об арифметике, алгебре и геометрии, в котором он хотел дать также решение уравнений 3-ей степени. Но Тарталья отказывался сообщить ему о своем способе. Только когда Кардано поклялся над Евангелием и дал честное слово дворянина, что он не откроет способа Тартальи для решения уравнений и запишет его в виде непонятной анаграммы, Тарталья согласился, после долгих колебаний, раскрыть свою тайну любопытному математику и показал ему правила решений кубических уравнений, изложенные в стихах, довольно туманно. Остроумный Кардано не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но и нашел доказательства для них. Не взирая, однако, на данное им обещание, он опубликовал способ Тартальи, и способ этот известен до сих пор под именем “формулы Кардано”.

Читайте также:
Гиперболический синус производная, график функции, формула через экспоненту

Вскоре было открыто и решение уравнений четвертой степени. Один итальянский математик предложил задачу, для решения которой известные до той поры правила были недостаточны, а требовалось умение решать биквадратные уравнения. Большинство математиков считало эту задачу неразрешимою. Но Кардано предложил ее своему ученику Луиджи Феррари, который не только решил задачу, но и нашел способ решать уравнения четвертой степени вообще, сводя их к уравнениям третьей степени. В сочинении Тартальи, напечатанном в 1546 году, мы также находим изложение способа решать не только уравнения первой и второй степени, но и кубические уравнения, причем рассказывается инцидент между автором и Кардано, описанный выше. Сочинение Бомбелли, вышедшее в 1572 г., интересно в том отношении, что рассматривает так называемый неприводимый случай кубического уравнения, который приводил в смущение Кардано, не сумевшего решить его посредством своего правила, а также указывает на связь этого случая с классическою задачей о трисекции угла. алгебра уравнение математический

2.6 Развитие алгебры в странах Европы

В Германии первое сочинение об алгебре принадлежит Христиану Рудольфу из Иayepa, и появилось впервые в 1524 г. а затем вновь издано Стифелем в 1571 г. Сам Стифель и Шейбль, независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы.

В Англии первый трактат об алгебре принадлежит Роберту Рекорду, преподавателю математики и медицины в Кембридже. Его сочинение об алгебре называется “The Whetstone of Wit”. Здесь впервые вводится знак равенства (=). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение об алгебре, принадлежащее Пелетариусу; в Голландии Стевин в 1585 г. не только изложил исследования, известные уже до него, но и ввел некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он уже обозначал неизвестные. Правда, для обозначения неизвестных он использовал всего лишь числа, обведенные в кружочек. Так первая неизвестная (теперь обычно обозначаемая x) у него обозначалась обведенной в кружочек единицей, вторая – обведенной двойкой, и так далее. Громадные успехи сделала алгебра после сочинений Виета, который первый рассмотрел общие свойства для уравнений произвольных степеней и показал способы для приблизительного нахождения корней каких бы то ни было алгебраических уравнений. Он же первый обозначил величины, входящие в уравнения буквами, и тем придал алгебре ту общность, которая составляет характеристическую особенность алгебраических исследований нового времени. Он же подошел весьма близко к открытию формулы бинома, найденной впоследствии Ньютоном, и, наконец, в его сочинениях можно даже встретить разложение отношения стороны квадрата вписанного в круг к дуге круга, выраженное в виде бесконечного произведения. Фламандец Албер Жирар или Жерар, трактат которого об алгебре появился в 1629 г. первый ввел понятие мнимых величин в науку. Агличанин Гарриот показал, что всякое уравнение может рассматриваться, как произведение некоторого числа множителей первого порядка, и ввел в употребление знаки > и 2 , a 3 , a n

История возникновения алгебры и ее развития

История возникновения алгебры уходит своими корнями в глубокую древность. Очевидно, ее появление было вызвано и непосредственно связано с первыми астрономическими и другими расчетами, так или иначе использующими натуральные числа и арифметические операции. История возникновения алгебры подтверждается подобными оригинальными записями, найденными среди образцов письменности самых ранних цивилизаций.

Содержимое разработки

История возникновения алгебры уходит своими корнями в глубокую древность. Очевидно, ее появление было вызвано и непосредственно связано с первыми астрономическими и другими расчетами, так или иначе использующими натуральные числа и арифметические операции. История возникновения алгебры подтверждается подобными оригинальными записями, найденными среди образцов письменности самых ранних цивилизаций. К примеру, египтяне и вавилоняне уже умели решать простейшие уравнения первой и второй степеней, квадратные уравнения. Но их вычисления носили строго практический характер. История возникновения алгебры, как теоретической науки, приводит нас в античную Грецию. Именно здесь в IV веке появилось первое сочинение, которое являлось непосредственным исследованием абстрактных алгебраических вопросов. Это был трактат мыслителя Диофанта. Здесь уже четко обозначены простейшие алгебраические аксиомы: правила знаков (минус на минус – плюс, и так далее), примеры достаточно сложных задач, исследование числовых степеней, решения вопросов, связанных с теорией чисел и так далее. К сожалению, это единственный труд, который дошел до нас из седых древних времен, да и то не в полном объеме.

Арабская математика С крушением античной цивилизации под натиском варварских народов теряются и многие ее достижения. В том числе и история алгебры прерывает свое развитие у европейских народов на целое тысячелетие. С VII века центром множества наук, а математики и медицины особенно, становится мусульманский Восток. Собственно, само слово «алгебра», как считается сегодня, происходит от названия трактата арабского ученого Ал-Хорезми «Аль-джабо-аль-мукабалла», что переводилось, как «учение об отношениях, перестановках и решениях». Интересно, что от самого имени этого математика некоторые ученые выводят этимологию слова «алгоритм». Как бы то ни было, но именно арабский мир на долгие столетия становится светочем науки. Вместе с тем восточные последователи, очевидно, опирались на некоторые греческие достижения. Во всяком случае, точно известно, что им были известны труды античных математиков. С одной стороны, мусульманам действительно принадлежит заслуга сохранения для мира античного алгебраического наследия, но вместе с тем, за несколько столетий они так и не внесли в развитие этой науки новых существенных открытий. Математика изучалась, но не совершенствовалась.

Читайте также:
Область значения функции как определить и найти, примеры решения

Математика и другие цивилизации Интересно, что история возникновения алгебры вовсе не ограничивается Европой и имеющей с ней связь арабской цивилизацией. Так, существенных результатов в этой науке достигли индийские математики. В частности, именно они ввели понятие «нуля», которое позже через арабский мир пришло в Европу и стало использоваться учеными. Китайцы совершенно независимо, еще на заре нашей эры, научились решать уравнения первой степени. Им были известны иррациональные и отрицательные числа.

Европа возвращает лидерство Прерванная история развития алгебры вновь начинает свой отсчет уже в Новое время. Первым сочинением после трактата Диофанта считается труд купца из Италии Леонардо, который познакомился с арифметикой и алгеброй, путешествуя по востоку. Постепенное разложение феодализма, а вместе с ним церковной схоластики и догматики, неторопливая поступь капитализма и стремление к территориальным открытиям привели к возрождению все научные отрасли на континенте. И уже спустя пару столетий Европа вновь становится передовым в научном и техническом плане регионом.

Доклад на тему Возникновение алгебры сообщение

Алгебра – это один из основных отделов арифметики. Эта наука является основной в сфере исследования специфики вычислительных операций и действий с различными арифметическими величинами. Этот раздел науки изучает последовательность решения всевозможных задач. Алгебра представляет собой дисциплину, которая отличается наиболее углубленным подходом к работе с изучаемым предметом.

Этот раздел науки возник еще в древние времена. Четыре тысячи лет назад люди могли решать непростые квадратные уравнения. В то время у греков был популярен один интересный подход к решению различных алгебраических задач. Из них большая часть решалась геометрическим путем. Это привело к замедлению процесса эволюции алгебры. Тогда отсутствовали особые системы обозначения, большинство многосложных формул обретало лишь словесное определение, все это приводило к замедлению эволюции науки.

Изучить этот отдел арифметики, в основе которой лежит алгебра, позволили исследования Диофанта. Он сумел ввести обозначения буквами. Новые величины он именовал «число». Также ввел обозначения степеням: вторую степень — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», 6 — «кубо-куб». Еще он ввел символы для определения знака равенства, чисел со знаком отрицания и степеней. Математик для того, чтобы обнаружить рациональную точку, расположенной на какой-либо кривой, применял необычный на то время способ. Он либо проводил касательную в рациональную точку, либо проводил прямую линию сквозь несколько таких точек.

Леонардо Пизанский являлся первым человеком, у которого получилось ответить почти на все вопросы других математиков, он сыграл важную роль в развитии математики. Все труды он описал в книге ”Книга абака”. Там он описал решение разнообразных задач, линейных и квадратных уравнений. Все это было выполнено с необычайной на то время точностью и полнотой.

На сегодняшний день в ходе изучения такой науки, как алгебра, часто используются новейшие технологии. Многие компьютерные программы позволяют использовать ранее неизвестные приемы в решении определенных задач. Это способствует развитию дисциплины, помогает ей выйти на совершенно новый этап эволюции.

Вариант №2

Родина вычислительной науки

Указать место, являющиеся родиной математики и алгебры довольно трудно. Мудрецы различных цивилизаций практически одновременно стали выяснять всё больше и больше закономерностей и числовых правил. Индийские мудрецы, например, ввели такое понятие как “нуль”, которое используется и по сей день. А математики Древнего Китая в первые века нашей эры (не зависимо от мудрецов Древней Греции) практиковали решения уравнений первой степени. Им были известны также и отрицательные числа.

Угасание науки

Из-за многочисленных войн за территорию, наука прекратила своё развитие у некоторых государств на несколько веков. Именно с этого момента первенство в изучении алгебры и многих других наук переходит на мусульманский Восток. Но открытия восточных мудрецов не могли сравниться с теми, что были в древности. Поэтому учёными принято считать, что в этот период времени происходило изучение науки, но не её совершенствование. Но тем не менее арабские математики подготовили достаточно прочный фундамент для дальнейших открытий и продвижений алгебры.

Интересный факт: существует ложное предположения, что знаменитый Альфред Нобель не включил в список дисциплин своей премии алгебру, из-за измены его жены с математиком. Но это совсем не так! На самом деле он считал, что открытия в математических науках не оказывают никакой пользы человечеству и носят только теоретический характер.

Читайте также:
Правило Лопиталя для вычисления пределов, примеры с подробным решением

Алгебра – наука древности. Это наследие пришедшее с первых веков разумной жизни человека. Именно поэтому каждый обязан чтить и изучать данную науку.

Возникновение алгебры

Популярные темы сообщений

Ученые относят лягушек к бесхвостым земноводным. То есть это животные, которые могут жить как в воде, так и на земле. Всего же существует более 500 видов лягушек. Они живут везде, по всей земле, кроме крайнего севера. Больше всего их водится

Природа – это весь окружающий нас мир. Наша планета – единственная на данный момент, на которой обнаружена жизнь. Все ее особенности трудно перечислить. Например, она является самой крупной из всех планет земной группы.

Владимир является самым известным князем, о котором до сих пор говорят и помнят. Мало кто никогда не слышал о нем. Именно поэтому о его биографии знают все, а вот по-настоящему интересные факты доступны не всем.

Секреты мира

Все открытия впереди!

Кто придумал алгебру

История возникновения алгебры и ее развития

История возникновения алгебры уходит своими корнями в глубокую древность. Очевидно, ее появление было вызвано и непосредственно связано с первыми астрономическими и другими расчетами, так или иначе использующими натуральные числа и арифметические операции. История возникновения алгебры подтверждается подобными оригинальными записями, найденными среди образцов письменности самых ранних цивилизаций. К примеру, египтяне и вавилоняне уже умели решать простейшие уравнения первой и второй степеней, квадратные уравнения. Но их вычисления носили строго практический характер. История возникновения алгебры, как теоретической науки, приводит нас в античную Грецию. Именно здесь в IV веке появилось первое сочинение, которое являлось непосредственным исследованием абстрактных алгебраических вопросов. Это был трактат мыслителя Диофанта. Здесь уже четко обозначены простейшие алгебраические аксиомы: правила знаков (минус на минус – плюс, и так далее), примеры достаточно сложных задач, исследование числовых степеней, решения вопросов, связанных с теорией чисел и так далее. К сожалению, это единственный труд, который дошел до нас из седых древних времен, да и то не в полном объеме.

Арабская математика

С крушением античной цивилизации под натиском варварских народов теряются и многие ее достижения. В том числе и история алгебры прерывает свое развитие у европейских народов на целое тысячелетие. С VII века центром множества наук, а математики и медицины особенно, становится мусульманский Восток. Собственно, само слово «алгебра», как считается сегодня, происходит от названия трактата арабского ученого Ал-Хорезми «Аль-джабо-аль-мукабалла», что переводилось, как «учение об отношениях, перестановках и решениях». Интересно, что от самого имени этого математика некоторые ученые выводят этимологию слова «алгоритм». Как бы то ни было, но именно арабский мир на долгие столетия становится светочем науки. Вместе с тем восточные последователи, очевидно, опирались на некоторые греческие достижения. Во всяком случае, точно известно, что им были известны труды античных математиков. С одной стороны, мусульманам действительно принадлежит заслуга сохранения для мира античного алгебраического наследия, но вместе с тем, за несколько столетий они так и не внесли в развитие этой науки новых существенных открытий. Математика изучалась, но не совершенствовалась.

Математика и другие цивилизации

Интересно, что история возникновения алгебры вовсе не ограничивается Европой и имеющей с ней связь арабской цивилизацией. Так, существенных результатов в этой науке достигли индийские математики. В частности, именно они ввели понятие «нуля», которое позже через арабский мир пришло в Европу и стало использоваться учеными. Китайцы совершенно независимо, еще на заре нашей эры, научились решать уравнения первой степени. Им были известны иррациональные и отрицательные числа.

Европа возвращает лидерство

Прерванная история развития алгебры вновь начинает свой отсчет уже в Новое время. Первым сочинением после трактата Диофанта считается труд купца из Италии Леонардо, который познакомился с арифметикой и алгеброй, путешествуя по востоку. Постепенное разложение феодализма, а вместе с ним церковной схоластики и догматики, неторопливая поступь капитализма и стремление к территориальным открытиям привели к возрождению все научные отрасли на континенте. И уже спустя пару столетий Европа вновь становится передовым в научном и техническом плане регионом.

Кто придумал алгебру?

К временам глубокой древности уходят истоки алгебры. Арифметические действия над дробями и натуральными числами, которые представляют собой простейшие алгебраические операции, можно встретить в ранних математических текстах. В 1650 году до нашей эры писцы из Египта умели решать отвлеченные уравнения первой степени, а так же простейшие уравнения степени под номером два, для того чтобы было проще воспринимать отметим, что к числу вышеуказанных уравнений относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса. По многочисленным предположениям ученых, для решения данных задач использовалось правило ложного положения, данное правило изредка использовалось вавилонами.

Читайте также:
Теорема Пифагора - доказательство, решения задач

Математики из Вавилона умели решать квадратные уравнения, при этом дело имелось исключительно с положительными корнями уравнения и коэффициентами, все дело в том, что люди еще не предполагали о существовании отрицательных чисел. Если обратиться к древним реконструкциям, то из них следует, что вавилоняне могли знать либо правило для произведения суммы и разницы либо правило для квадрата суммы, стоит отметить, что метод вычисления корня того времени полностью соответствует формуле современного типа. Иногда можно встретить уравнения третьей степени, так же непосредственно в Вавилоне была выведена терминология особого типа, для обозначения первого неизвестного использовались шумерские клинописные знаки, данные знаки так же предусматривались для обозначения второго и третьего неизвестного. Для того чтобы уметь решать квадратные уравнения необходимо обладать навыками по осуществлению различных тождественных алгебраических преобразований, а так же оперировать неизвестными величинами. В процессе продвижения был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами.

Алгебра представляет собой науку, которая занимается изучением алгебраических систем с точностью до изоморфизма. В свою очередь алгебра разделяется на следующие классы:

  1. Элементарная алгебра.
  2. Общая алгебра.
  3. Линейная алгебра.
  4. Универсальная алгебра.
  5. Алгебраическая численная теория.
  6. Алгебраическая геометрия.
  7. Алгебраическая комбинаторика.

Кто придумал алгебру? История алгебры.. Содержание Определение История развития Греция Азия Ученые Список литературы Авторы. – презентация

1 Кто придумал алгебру? История алгебры.

2 Содержание Определение История развития Греция Азия Ученые Список литературы Авторы

3 Определение Алгебра (от араб. الجبر, «аль-джабр» восполнение) раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.араб.

4 История развития алгебры Больше 4000 лет назад вавилонские ученые решали квадратные уравнения системы двух уравнений, из которых одно – второй степени. К содержанию

5 Греция Первые сокращенные обозначения для неизвестных величин. К содержанию Диофант (2-3 век)

6 Азия Основоположником алгебры, как особой науки нужно считать среднеазиатского ученого Мухаммеда из Хорезма, известного под арабским прозвищем Аль- Хорезми (Хорезмианец). К содержанию Аль-Хорезми ( )

7 Выдающиеся ученые Лука Пачоли ( ) Леонардо Пизанский (Фибоначчи) ( ) Рене Декарт ( ) Пифагор Самосский ( до н.э.) К содержанию

9 Список литературы Ru.wikipedia.org/wiki/История_алгебры К содержанию

10 Авторы Дивисенко Дарья Завгородняя Альбина К содержанию

Умности: о происхождении слова «алгебра»

Ещё давным-давно слышал, что слово алгебра имеет арабское происхождение и восходит к названию какой-то книги ал-Хорезми. Но как именно восходит — нигде не объяснялось (ну, во всяком случае, мне такое объяснение не попадалось). К счастью, сегодня это выяснилось вполне исчерпывающим образом, чем и спешу поделиться с вами. Ниже приводится цитата из книги Г. И. Глейзера «История математики в школе» (изд. «Просвещение», М., 1964, стр. 143-144), которую я читаю в настоящее время.

В истории арифметики и алгебры большое значение имеют труды Мухаммеда ал-Хорезми. Написанный им в начале IX века алгебраический трактат, известный под названием «Китаб ал-джебр ва-л-мукабала» (Книга об алджебр и алмукабале), явился первым в мире самостоятельным сочинением по алгебре. Для ал-Хорезми алгебра — это искусство решения уравнений, необходимое людям — как писал он — «в случаях наследования, наследственных пошлин, раздела имущества, торговли и во всех их деловых взаимоотношениях, или же в случае измерения земель, проведения каналов, геометрических вычислений и других предметов различного рода. »Уравнения ал-Хорезми решает с помощью двух приёмов:

а) aлджебр («восстановление»), то есть перенесение вычитаемых (отрицательных) членов из одной части уравнения в другую. Дело в том, что в то время отрицательные числа считались абсурдными, фиктивными; перенесение же их с противоположным знаком в другую часть уравнения и превращение их таким образом в положительные числа как бы восстанавливало их, превращало в настоящие числа;

б) алмукабала («противопоставление») — отбрасывание из обеих частей уравнения одинаковых членов, вроде нашего приведения подобных членов.Пусть, например, имеется уравнение:7x − 11 = 3x − 3Приём «алджебр» даст:7x + 3 = 3x + 11.Применяя «алмукабала», отнимаем 3x и 3 из обеих частей уравнения, после чего получаем:4x = 8.Отсюда:x = 2.

Из заглавия книги ал-Хорезми и взято название «алгебра».

К слову, злосчастную комету, о которой писал в предыдущей записи, понаблюдать пока что не довелось — погода в Симферополе стоит пасмурная, и даже при некоторых прояснениях запад (где и должна наблюдаться комета) вечером постоянно затянут. Будем ждать. Кто-нибудь видел?

Алгебра как наука — история появления алгебры и её понятия и определения

История возникновения алгебры как науки уходит корнями в далекие глубины древности. Затем был заложен фундамент для обобщения арифметических операций. Этот раздел можно описать как продолжение арифметики, когда числа заменяются буквенными символами. Существует задача работы с элементами множества для обобщения обычных операций сложения и вычитания.

Читайте также:
Гипербола - определение, свойства и виды, уравнение

Алгебра

Алгебра — это раздел математики. Он делится на несколько типов:

  • Базовый. В этом разделе все числа (как постоянные, так и переменные) обозначены буквами. В общем, он изучает всю систему, включая алгебраические структуры в виде полей.
  • Универсальный. Это всего лишь малая часть науки. Он изучает общие свойства алгебраических систем.
  • Линейный Этот раздел содержит векторные и линейные пространства. Каждый из этих разделов решает определенную задачу. В то же время наука не стоит на месте и продолжает развиваться. evkova.org/algebra

История алгебры

Сведения об истории происхождения алгебры связаны с древними рукописями. В то время появилось понятие натуральных чисел, которые могут выполнять арифметические операции. Такая необходимость возникла в связи с астрономическими и другими видами расчетов. Изучая историю алгебры, становится ясно, что ее зарождение произошло в Древней Греции. Зарождение науки связано с мыслителем Диофантом.

На сегодняшний день трудно сказать, кто изобрел алгебру, но именно этот человек первым ввел обозначение букв в цифрах. На основании полученных отчетов известно, что Диофантос знал об уменьшении числа и смог перенести члены из разных частей уравнения.

Поскольку информация об ученом содержится только в 1 историческом труде, нельзя с уверенностью сказать, что математики создали алгебры. Кроме того, этот источник не полностью дошел до нашей эры. Продвижение на Восток Достижения европейцев в области алгебраического развития были прерваны после вторжения варварских племен. Кроме того, снижение интереса к ней произошло с открытием геометрии, которая считалась основной отраслью математики.

В этот период на Востоке было развито много отраслей науки. Здесь также продолжалось формирование алгебр. Ала-Хорезми считается создателем этой науки в исламском мире, поскольку все достижения Европы практически забыты. Это произошло после того, как он создал диссертацию под названием «Учение об отношениях, перестановках и решениях».»Некоторые ученые полагают, что слово «алгебра» может происходить от термина «алгоритм».

Существует задача работы с элементами множества для обобщения обычных операций сложения и вычитания. Содержание: Классификация раздела древней истории Продвижение к восточному вкладу других стран.

Классификация раздела алгебры

Классификация раздела алгебры — это раздел математики. Он делится на несколько типов: базовый. В этом разделе все числа (как постоянные, так и переменные) обозначены буквами. В общем, он изучает всю систему, включая алгебраические структуры в виде полей. Это всего лишь малая часть науки. Он изучает общие свойства алгебраических систем.

Алгебра раздел содержит векторные и линейные пространства. Каждый из этих разделов решает определенную задачу. В то же время наука не стоит на месте и продолжает развиваться.

Информация об истории происхождения алгебры связана с древними рукописями. В то время появилось понятие натуральных чисел, которые могут выполнять арифметические операции. Такая необходимость возникла в связи с астрономическими и другими видами расчетов. Изучая историю алгебры, становится ясно, что ее зарождение произошло в Древней Греции. Зарождение науки связано с мыслителем Диофантом.

На сегодняшний день трудно сказать, кто изобрел алгебру, но именно этот человек первым ввел обозначение букв в цифрах. На основании полученных отчетов известно, что Диофантос знал об уменьшении числа и смог перенести члены из разных частей уравнения.

Поскольку информация об ученом содержится только в 1 историческом труде, нельзя с уверенностью сказать, что математики создали алгебры. Кроме того, этот источник не полностью дошел до нашей эры. Продвижение на Восток Достижения европейцев в области алгебраического развития были прерваны после вторжения варварских племен. Кроме того, снижение интереса к ней произошло с открытием геометрии, которая считалась основной отраслью математики. В этот период на Востоке было развито много науки.

Формирование алгебры

Ала-Хорезми считается создателем этой науки в исламском мире, поскольку все достижения Европы практически забыты. Это произошло после того, как он создал диссертацию под названием «Учение об отношениях, перестановках и решениях».»Некоторые ученые полагают, что слово «алгебра» может происходить от термина «алгоритм».

В то же время существует гипотеза, что исламский мир в своих исследованиях опирался на европейские достижения. В некоторых их летописях есть фамилия греческих последователей Диофанта, и приводятся их высказывания об этой науке. Считается, что вкладом других стран, основоположником алгебры, является Ала-Хорезми, но получил особое развитие у арабов. Но именно они изобрели в своем языке арабские цифры, используемые в современном мире.

Представители других стран также внесли значительный вклад в развитие науки. Проще говоря, их достижения представлены следующим образом: Индия. Вклад индийцев заключается в том, что они ввели такое понятие, как ноль, которое позже было использовано арабами и европейцами. Китай… Эта страна внесла значительный вклад в область математики, научившись выполнять операции с отрицательными и иррациональными числами.

Читайте также:
Степени чисел - возведение в степень в алгебре, таблица, правила

Местные вавилонские математики не знали, как обращаться с отрицательными числами, но научились решать квадратные уравнения. Поэтому в разработке этого раздела приняли участие многие страны мира. Их исследовательские работы внесли общий вклад в формирование алгебры.

В конце XVI века эта часть математики снова возвращается в Европу с того места, где она началась. Его продвигали торговцы, которые путешествовали по всему миру и были сведущи в математике. После краха феодальной системы произошел еще один толчок. Страны, вставшие на путь капиталистического развития, больше не могли обходиться без алгебраических действий.

Алгебра — одна из самых интересных наук, изучаемых школьниками и студентами колледжей. Студенты всегда пишут эссе и готовят доклады на различные темы, связанные с этим разделом математики. В будущем они читают свои работы в классе.

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — наглядно.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х – 2. Значит:

  • если х = 0, то у = -2;
  • если х = 2, то у = -1;
  • если х = 4, то у = 0;
  • и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х 2 4
y -2 -1

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Функция Коэффициент «k» Коэффициент «b»
y = 2x + 8 k = 2 b = 8
y = −x + 3 k = −1 b = 3
y = 1/8x − 1 k = 1/8 b = −1
y = 0,2x k = 0,2 b = 0

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Свойства линейной функции

  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.
  2. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
  3. График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
  4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  5. Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
    b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
    b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
    b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
    b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
  6. Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
  7. График функции пересекает оси координат:
    ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
    ось ординат OY — в точке (0; b).
  8. x=-b/k — является нулем функции.
  9. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
    Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
  10. Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, – b /k) и положительные значения на промежутке (- b /k, +∞)
    При k b /k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, – b /k).
  11. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
    Если k > 0, то этот угол острый, если k
Читайте также:
Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин - формула

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

  • если k > 0, то график наклонен вправо;
  • если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
  • если b 1 /2x + 3, y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = – 1 /2x + 3, y = -x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x – 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

  • график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
  • график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
  • график функции y = 2x – 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png” style=”height: 600px;”>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png” style=”height: 600px;”>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

  • С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
    Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
  • С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = – b /k.
    Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /k; 0)

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

  • В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
    Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
    Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
    2 = -4(-3) + b
    b = -10
  • Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x – 10
    Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
    Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

  1. Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
    Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
  2. Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
  3. Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
    Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: